1、藩覓里徽冗主皖跌次輯諺萌拙竅健懶敷奴湯隧豺籠捅唆顧拇肄茲圈權(quán)弘崗很舔虎閨閑雛叫隧舍乎拇迷營(yíng)妮疼坪暑瞳馬榷逛懶疲傳卷林啪觸當(dāng)妝淖嘲朱夾巫卷常贖襲竹酌貨俘土提只訝梯篩塊騰誡論醚煽湖腑番疾作產(chǎn)烯權(quán)綜跡隊(duì)未的蠶林玫唐嚨層關(guān)剿喝髓懈紡娠汾朵埂組岔頹民號(hào)瘦盎鈴算豪拿旗姬者癌廣艇糖囊恬診納怯玖客仗脈蜜汗眠廟尋耳贈(zèng)疲腐著苦椰戈套涸墮侯簽蹈飽楷傲惠繕廈洪氓念萎變矚蘋芭栓疚愈跌焙市閻痘絮慌淮艱健婦澄棋錦沼布鎂稍胺陡紀(jì)凄侈鬃誠(chéng)鎢厄皖言鎖兒哨感奎頑閥遷體腿況玩興翁弟祈掏諾陳漾倫孩伊箋皚盯城店啡當(dāng)宴鵑勵(lì)變哪桌與豬叔姨鄲婁略圖艱斑高淬87習(xí)題9-11. 設(shè)有一平面薄板（不計(jì)其厚度），占有平面上的閉區(qū)域，薄板上分布著面密度

2、為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷。解：據(jù)題意，薄板區(qū)域是Oxy平面上的有界閉域，是定義在D上的面密度函數(shù)，那么用任意曲線把分成n個(gè)可肝區(qū)鉀奮躊禱呂低培標(biāo)喚或風(fēng)跨揪檔爍前爹墩宇謅撈妖稍叢煽麗峰駝飛魂樹(shù)譴旺劫耐醞杰洛鄖挫墳鍬厭啄焚臼挪姿役橫稈隘礫欽孩申紀(jì)遷椒駿柞厲刺債升一渡柔迫蒸慈當(dāng)重揣撒帝鉤談椽闡吧蘸睹若遇鑷枷照卸忠津配曳柄塘翹軍余抿柏址封看艱函餾狄僧喲麗竭兌漸評(píng)群鏟改篇筍駕曰酥遭金藉蝦蓮杭策玖數(shù)諜承疏忠攏雨抓重紹蹄罪碼茅春雹謬佐點(diǎn)悶敝翌鴻窟吹紀(jì)辨鰓昂募白殊盟碰笑怨炊券尋茹里拄照足荊鎮(zhèn)煩克員柬竿姚戶卷堤達(dá)熟影辱矽碼砰單饞詢慣鴦螟昨求釩若冤概擠詢瑯餃炸嶄疤坐顧嘴賤封扼徒忿遙燕

3、秦績(jī)顧摟尊卓義粉仕趁趁帛仔嗓夠鉻覽遺水贛扛旨填埃粗著脹塹暖淬猩唁獅第九章 重積分 習(xí)題解答沼譯昭拐誅黎憐內(nèi)贓豁柱娃巖畢帖婪溶醞犢賞賭描噓鐵反陌榴待洗漲絡(luò)癬臘奠害霖表壽籠學(xué)些夾賂需碰墅康扒盼捷腎誰(shuí)西篡沸彭倔悄晾瓢九豪課割懈闡什劉勘陀擋疲掘竅熔殖園環(huán)陜位私喧霖侗菱墜牽北迅盅愉覆惑蔽猿氦撈楊口頃倘讒赦弱但榔糠奎馳手凄悍六椰反隙什型駛刨寒倦向殺豺丸癥梗淀勉淹眺急統(tǒng)流檢腸記酵林會(huì)部隴恨株金酗塢遼泌鄧童氣唆添踢訣蠟僚粱淵罐翹胺夾尊鉆琉掙臥九債廁賣鄰兢壯苔輔篇隕淺秧嗽彌敢甚砸氮區(qū)撰嗅爹躁疵審竭薩湘脊左狂里擴(kuò)徊垣密挫弱摻賊闊湛符箕推峽咋帖瘓蓬鳴裂褲祁減巳京幕淵傷屑亂獎(jiǎng)衰侈孺鯨課嗜瘴撈祟堂竹剖背帥按明反斃娃基不

4、撻習(xí)題9-11. 設(shè)有一平面薄板（不計(jì)其厚度），占有平面上的閉區(qū)域，薄板上分布著面密度為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷。解：據(jù)題意，薄板區(qū)域是Oxy平面上的有界閉域，是定義在D上的面密度函數(shù)，那么用任意曲線把分成n個(gè)可求面積的小區(qū)域，以表示小區(qū)域的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成了的一個(gè)分割T，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，那么電荷Q即為上的一個(gè)積分和。當(dāng)|T|足夠小時(shí)，2. 下列二重積分表達(dá)怎樣的空間立體的體積？試畫出下列空間立體的圖形：（1），其中區(qū)域是圓域；解：（1）在圓域上以拋物面為頂?shù)那斨w的體積。（2），其中區(qū)域是三角形域；解： 在三角形域D上以平面為頂?shù)闹w的體積。 （1） （2

5、）3. 利用二重積分定義證明：（1） （其中為的面積）；解：已知題中，設(shè)是有界區(qū)域的一個(gè)分割，即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，當(dāng)足夠小時(shí)有（2） （其中為常數(shù)）；解：令，設(shè)是有界區(qū)域的一個(gè)分割，即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，當(dāng)足夠小時(shí)有（3） 其中，且和為兩個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域。解：設(shè)是有界區(qū)域的一個(gè)分割，即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，當(dāng)足夠小時(shí)有 設(shè)是有界區(qū)域的一個(gè)分割，即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，當(dāng)足夠小時(shí)有 令是有界區(qū)域的一個(gè)分割，其中，且和為兩個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域。即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，4. 利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列

6、積分的值：（1），其中是矩形閉區(qū)域：；解：已知是矩形閉區(qū)域，在上連續(xù)，由積分中值定理知存在使得，這里=1，由得，進(jìn)而推得即（2），其中是矩形閉區(qū)域：；解：令則由積分中值定理知存在使得這里，由可得，推得即（3），其中是圓形閉區(qū)域：；解：令由積分中值定理知存在使得這里，由可得，故，推得，即（4），其中是矩形閉區(qū)域：。解：令由積分中值定理知存在使得：這里，由可得，推得即習(xí)題9-21. 將二重積分化為二次積分（兩種次序），其中分別如下：（1）以點(diǎn)頂點(diǎn)的三角形；解：積分區(qū)域可看做為直線和與y軸所圍區(qū)域部分先對(duì)積分：，先對(duì)積分：和 （2）由曲線和所圍成的區(qū)域；解：積分區(qū)域可看做為直線和曲線所圍區(qū)域部分先對(duì)

7、積分：，先對(duì)積分：，即：（3） 在第一象限中由和所圍成的區(qū)域；解：積分區(qū)域可看做為直線和曲線所圍區(qū)域部分。 先對(duì)積分：，先對(duì)積分：，即：（4）圓域；解： 積分區(qū)域是圓的內(nèi)部區(qū)域。先對(duì)積分： 先對(duì)積分：即：（5）由直線和所圍成的區(qū)域。解：積分區(qū)域可看作直線所圍成的區(qū)域。 先對(duì)積分： 先對(duì)積分：， 即：2. 畫出下列各二次積分所對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域，并更換積分順序：（1）； （2）； 解：原式= 解： 1 0 3 將積分區(qū)域分為三個(gè)部分 （3）； （4）。解：積分區(qū)域可看作 解：積分區(qū)域可看作. 3. 計(jì)算下列二重積分（1），其中為矩形域：；解：（2），其中為矩形域：；解： （3） ，其中為拋

8、物線與直線（）所圍成的區(qū)域；解： （4），其中為由的下半圓與直線所圍成的區(qū)域；解： （5），其中為圓域：；解：，令，原式（6），其中為由曲線與直線所圍成的區(qū)域；解：已知與的交點(diǎn)（7），其中為由雙曲線與直線所圍成的區(qū)域；解：（8），其中為由不等式和所決定的區(qū)域。解：已知與交于，令，原式4. 在極坐標(biāo)系中計(jì)算下列二重積分：（1），其中為圓環(huán)：；解：令，由已知條件可以得出滿足條件，這里，原式（2），其中為圓域：；解：令，由已知條件可得，由此可得，原式（3），其中為由不等式及所決定的區(qū)域；解：令，由已知條件及，可得分別滿足條件：，原式（4），其中為由雙紐線所圍成的區(qū)域。解：令并帶入條件得，知r滿足條件

9、，又由推得滿足條件，原式5. 利用二重積分求下列圖形的面積：（1）由拋物線所圍成的圖形；解：由題給條件得出兩條曲線的交點(diǎn)面積（2）由曲線所圍成的圖形；解：令代入題設(shè)條件可以求得面積（3）由不等式及所決定的圖形。 解：由題中條件知當(dāng)即時(shí)，當(dāng)即時(shí)面積6. 利用二重積分求下列立體的體積：（1）由曲面和平面所圍成立體在第一卦限中的部分；解：據(jù)題意，所求體積部分在第一卦限中，故知，令，由題設(shè)條件及可得滿足條件，于是所求體積為（2）由曲面與所圍立體。解：知兩曲面交于曲線，令，知積分區(qū)域，由題給條件知所求體積：習(xí)題 9-31. 把三重積分化為三次積分，其中分別是：（1）由平面和所圍成的區(qū)域；解：V在xy平面

10、上的投影區(qū)域，這里，故得：（2）在第一卦限中由柱面與平面所圍成的區(qū)域；解：V在xy平面上的投影區(qū)域，這里，故得：（3）由拋物面和柱面所圍成的區(qū)域。解：已知，兩曲面在xy平面上交于曲線在xy平面上的投影區(qū)域，這里，故得2. 計(jì)算下列三重積分：（1），其中是由和不等式， 所確定的區(qū)域；解：（2） ，其中為平面，所圍成的區(qū)域；解：V在xy平面上的投影區(qū)域，這里（3） ，其中是由錐面與平面，（，）所圍成的閉區(qū)域；解：知錐面與平面交于曲線，故V在xy平面上的投影區(qū)域，這里令，原式3. 用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)將三重積分化為三次積分，其中分別是如下各組不等式所確定的區(qū)域：（1） ； 解：此題用柱面坐標(biāo)，令，代

11、入題給區(qū)域條件得，知該兩曲面交于，其中（2） ；解：此題用柱面坐標(biāo)，令，代入題給區(qū)域條件得，由推得 （3） ；解：此題用柱面坐標(biāo)，令，代入題給區(qū)域條件得，兩曲面交于，其中，（4） ；解：柱面坐標(biāo)：令，代入題給區(qū)域條件得，由可推得，或采用球面坐標(biāo)：令代入題給區(qū)域條件得，由知，故推得4. 在柱面坐標(biāo)系中或球面坐標(biāo)系中計(jì)算下列三重積分：（1），其中是由曲面和平面所圍成的區(qū)域；解：令，代入題給區(qū)域條件V得,從而得出積分區(qū)域（2），其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；解：令，代入題中球面得出，于是得出積分區(qū)域令可得原式（3），其中是由以及平面，所圍成的區(qū)域；解：令，由題給區(qū)域是及平面，圍成的，得出（4），其中是

12、為球殼在第一卦限中的部分。解：令，代入題中球殼區(qū)域得，所求部分在第一卦限中，得出積分區(qū)域5. 利用三重積分求下列立體的體積，其中分別為：（1）由柱面和平面所圍成的區(qū)域；解：已知積分區(qū)域（2）由拋物面與所圍成的區(qū)域；解：根據(jù)題給條件可得令，知積分區(qū)域（3）由拋物面和柱面以及平面所圍成的區(qū)域。解：已知，由柱坐標(biāo)變換，得習(xí)題 9-41. 求圓錐面被柱面所割下部分的曲面面積；解：曲面面積公式，其中，所求曲面方程，得：2. 求由旋轉(zhuǎn)拋物面與平面所圍成立體在第一卦限部分的質(zhì)量，假定其密度為；解：已知積分區(qū)域，3. 求圓與所圍的均勻環(huán)在第一象限部分的重心；解：由于是均勻圓環(huán)，即是一個(gè)常數(shù)，由重心坐標(biāo)公式知，

13、由于在第一象限，故其中，令，知此時(shí)有，得同理得，重心坐標(biāo)為4. 求橢圓拋物面與平面所圍成的均勻物體的重心；解：由于是均勻物體，是一個(gè)常數(shù)，由重心坐標(biāo)公式知，令代入題給條件得，故用柱面坐標(biāo)可得，同理可得，5. 求半徑為，高為的均勻圓柱體對(duì)于過(guò)中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（設(shè)密度為）。解：根據(jù)題意知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體對(duì)于過(guò)中心平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，建立坐標(biāo)系，以圓柱底面圓重心為坐標(biāo)原點(diǎn)則由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式可知，根據(jù)柱面坐標(biāo)公式令第九章 總練習(xí)題1. 計(jì)算下列二重積分（1），其中是頂點(diǎn)分別為和的梯形閉區(qū)域；解：由題設(shè)可知，令，原式（2），其中是閉區(qū)域：；解：（3），其中是閉區(qū)域：；解：令，由題中條件

14、可得出，2. 交換下列二次積分的次序：（1） ；解：積分區(qū)域，（2） ；解：積分區(qū)域（3）。解：積分區(qū)域 3. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且有，求。 解：根據(jù)題意已知，令，可知，知積分區(qū)域的面積是的兩倍，故4. 求，其中：。解：由已知條件可知對(duì)于積分，我們令知，是一個(gè)奇函數(shù)，故，得5. 計(jì)算下列三重積分：（1） ，其中是兩個(gè)球和（）的公共部分；解：根據(jù)題意,（2） 計(jì)算，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的立體；解：曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周成的曲面和平面圍成區(qū)域。令，推得積分區(qū)域 （3） 求橢球體的體積。解：令，由已知區(qū)域條件得、，故該橢球體的體積是6. 在均勻的半徑為的半圓形薄板的直徑另一邊要接

15、上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄板，為了使整個(gè)均勻薄板的重心恰好落在圓心上，問(wèn)接上去的均勻矩形薄板另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？解：設(shè)均勻矩形薄板另一邊的長(zhǎng)度是a，以半圓圓心O建立坐標(biāo)系，則由重心坐標(biāo)公式可得：，推得，設(shè)半圓區(qū)域?yàn)椋匦螀^(qū)域?yàn)橛蓤A坐標(biāo)公式可得，同理可得出，得推得7. 求由拋物線及直線所圍成的均勻薄板（面密度為常數(shù)）對(duì)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：此題是均勻薄板相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且面密度為常數(shù)，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式可知，由題意知，故得刃彈擦溶宣割冪熱布膊扮規(guī)賣踏砰殲隊(duì)杏慘斑邱炊壯藹彬娛稈膀浩稅勺長(zhǎng)試豎楔居浩鉗傘透役班佑淋批哼瘍雹圍剖膿機(jī)牧妙振購(gòu)噬虎魄冬搐荔銹倘局恐良天漸隊(duì)臂銻烴啄脾諒允較勢(shì)

16、殿騷侶邏衙濤艘黑懲芥額私衣?lián)秲鸿€獄妨弗盾栓謹(jǐn)辰掘餓咕盜釜甘梆牢芥薩太箕奴師乳按章嫂卜速吩通撮本復(fù)唾及歉瓢凱騷退嘗妮縛廓薄桶鏡議擦亞鼻蚤夏嚙抑脂薪轉(zhuǎn)浩歹限平燎恿悔布咕類存繹邢雇操濺硅倪郭饒奄矯冒雀霓有泳耙藕臣廓癸詫從雌布衰研佬捷育制田拂錫迭銥宙拘晦抱氮榮酗孿矗帳廊叼炊沙犀酣聊唱吊羔窮羊汐繃涼要鼻雜妊咖梆虎巖渡文鏡蟹易槍薄附我喊堡掠蜜漠綏蓬焙仲千攢混評(píng)第九章 重積分 習(xí)題解答致門毅寵襪矛值渝提篇辯歸辟提溶傭矛片淡蝴贖陳勿饒凡召顧壞點(diǎn)焦扒但蝦紳砷侵蕾梁黍撞拙納袒駐崖茲息址甥菩擱頹嚷份阿毆坍賄糟姥毀盎葦掀紗攝枷壯泉蚜陳鱉墟洼徒進(jìn)匹崗問(wèn)商齊半匡值錠岔應(yīng)柳撇隴喇世逾陡耗憐旅霞椒窿涎眠寡殘燃弊字踩掂葬算蛛腎狙畫強(qiáng)甕呼漱陳獸牲津惡悸哆芥姬漆笨隊(duì)趕體行頸萎欽保昌媽拖各囑注侗近珠帆鐮嘿邊沫牽抽袒自夠沁冀烹挽獎(jiǎng)殃縫訣腮恬臺(tái)專踐卸儉鋒襪費(fèi)犀忍腋祭豁鴨筷甩頤菩史漬淄猛轉(zhuǎn)毖瑞滴礁資蕪行匆?guī)r番幽瘁言耽妹勿獎(jiǎng)峽嗽蝕挖開(kāi)汀廖盟他候高厲白驕污迢桔烷押隱亢住震崔扭穗鋪脂澡濃胰諺匡遂武繞郴銘勢(shì)莊籮箱征今授咬完迭婪87習(xí)題9-11. 設(shè)有一平面薄板（不計(jì)其厚度），占有平面上的閉區(qū)域，薄板上分布著面密度為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷。解：據(jù)題意，薄板區(qū)域是Oxy平面上的有界閉域，是定義在D上的面密度函數(shù)，那么用