1、 專題六 函數導數專題【命題趨向】函數是高考考查能力的重要素材，以函數為基礎編制的考查能力的試題在歷年的高考試卷中占有較大的比重這部分內容既有以選擇題、填空題形式出現的試題，也有以解答題形式出現的試題一般說來，選擇題、填空題主要考查函數的概念、單調性與奇偶性、函數圖象、導數的幾何意義等重要知識，關注函數知識的應用以及函數思想方法的滲透，著力體現概念性、思辨性和應用意識解答題大多以基本初等函數為載體，綜合應用函數、導數、方程、不等式等知識，并與數學思想方法緊密結合，對函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、有限與無限思想等進行較為深入的考查，體現了能力立意的命題原則這些綜合地統攬各種知識、

2、應用各種方法和能力的試題充分顯示了函數與導數的主干知識地位在中學引入導數知識，為研究函數的性質提供了簡單有效的方法解決函數與導數結合的問題，一般有規范的方法，利用導數判斷函數的單調性也有規定的步驟，具有較強的可操作性高考中，函數與導數的結合，往往不是簡單地考查公式的應用，而是與數學思想方法相結合，突出考查函數與方程思想、有限與無限思想等，所考查的問題具有一定的綜合性在一套高考試卷中一般有2-3個小題有針對性地考查函數與導數的重要知識和方法，有一道解答題綜合考查函數與導數，特別是導數在研究函數問題中的應用，這道解答題是試卷的把關題之一【考點透析】函數和導數的主要考點包括函數的概念、圖象與性質，函

3、數與方程，函數模型及其應用，導數及其應用、微積分及微積分基本定理等【例題解析】題型1 函數的概念及其表示例1 （2008高考山東文5）設函數則的值為（ ）abcd分析：由內向外逐步計算解析： ，故答案a點評：本題考查分段函數的概念和運算能力解決的關鍵是由內到外“逐步有選擇”的代入函數解析式，求出函數值例2（紹興市2008學年第一學期統考數學試題第14題）如圖，函數的圖象是曲線，其中點的坐標分別為，則的值等于 分析：從圖象上理解自變量與函數值的對應關系 解析：對于點評：圖象是表示函數的一種方法，圖象上反應了這個函數的一切性質題型2 函數的圖象與性質例3（浙江省2009年高考省教研室第一次抽樣測試

4、理科第14題）已知為非零實數，若函數的圖象關于原點中心對稱，則 分析：圖象的對稱性反應在函數性質上就是這個函數是奇函數，根據奇函數對定義域內任意都有點特點可得一個關于的恒等式，根據這個恒等式就可以確定的值，特別地也可以解決問題 解析： 對于函數的圖象關于原點中心對稱,則對于，因此有答案點評：函數的奇偶性是函數的重要性質之一，這兩個性質反應了函數圖象的某種對稱性，這二者之間是可以相互轉換的例4 （紹興市2008學年第一學期統考數學試題第5題）設，則（ ）a b c d分析：以和為分界線，根據指數函數與對數和的性質解決解析：對于，因此答案a點評：大小比較問題，可以歸結為某個函數就歸結為一個函數、利

5、用函數的單調性比較，不能歸結為某個函數一般就是找分界線題型3 函數與方程例5（浙江省2009年高考省教研室第一次抽樣測試理科第3題）函數的零點的個數是 a b c d分析：這是一個三次函數，可以通過研究這個函數的單調性與極值，結合函數圖象的基本特征解決解析：對于，因此函數在上單調遞增，而對于，因此其零點的個數為個答案b點評：本例和例9在本質方法上是一致的，其基本道理就是“單調函數至多有一個零點”，再結合連續函數的零點定理，探究問題的答案例6（浙江省五校2009屆高三第一次聯考理科第題）函數有且僅有一個正實數的零點，則實數的取值范圍是a b c d分析：函數中的二次項系數是個參數，先要確定對其分

6、類討論，再結合一次函數、二次函數的圖象布列不等式解決解析：當時，為函數的零點；當是，若，即時，是函數唯一的零點，若，顯然函數不是函數的零點，這樣函數有且僅有一個正實數零點等價與方程有一個正根一個負根，即，即綜合知答案b點評：分類討論思想、函數與方程思想是高考所著重考查的兩種數學思想，在本題體現的淋漓盡致還要注意函數的零點有“變號零點”和“不變號零點”，如本題中的就是函數的“不變號零點”，對于“不變號零點”，函數的零點定理是“無能為力”的，在解決函數的零點時要注意這個問題 題型4 簡單的函數模型及其應用例7（蘇州市2009屆高三教學調研測試第18題）經市場調查，某超市的一種小商品在過去的近天內的

7、銷售量（件）與價格（元）均為時間（天）的函數，且銷售量近似滿足（件），價格近似滿足（元）（1）試寫出該種商品的日銷售額與時間（）的函數表達式；（2）求該種商品的日銷售額的最大值與最小值分析：函數模型就是銷售量乘以價格，價格函數帶有絕對值，去掉絕對值后本質上是一個分段函數，建立起這個分段函數模型后，求其最值即可解析：（1） （2）當時，的取值范圍是，在時，取得最大值為；當1時，的取值范圍是，在時，取得最小值為 答案：總之，第天，日銷售額取得最大為元；第天，日銷售額取得最小為元 點評：分段函數模型是課標的考試大綱所明確提出要求的一個，分段函數在一些情況下可以用一個帶有絕對值的解析式統一表達，要知道

8、帶有絕對值的函數本質上是分段函數，可以通過“零點分區”的方法去掉絕對值號再把它化為分段函數題型5 導數的意義、運算以及簡單應用例8（2008高考江蘇8）直線是曲線的一條切線，則實數 分析：切線的斜率是，就可以確定切點的坐標，切點在切線上，就求出來的值解析：方法一，令得，即切點的橫坐標是，則縱坐標是，切線過點，所以方法二：設曲線上一點點坐標是，由知道過該點的曲線的切線的斜率是，故過該點的曲線的切線方程是，即，根據已知這條直線和直線重合，故答案：點評：本題考查導數幾何意義的應用，即曲線上一點處的導數值是曲線在該點的切線的斜率，解題的突破口是切點坐標，這也是解決曲線的切線問題時的一個重要思維策略在解

9、題中不少考生往往忽視“切點在切線上”這個簡單的事實，要引以為戒例9（中山市高三級20082009學年度第一學期期末統一考試理科第2題）已知物體 的運動方程為（是時間，是位移），則物體在時刻時的速度為 a b c d分析：對運動方程求導就是速度非常解析：，將代入即得答案d點評：本題考查導數概念的實際背景，考試大綱明確提出“了解導數概念的實際背景”，要注意這樣的考點例10（江蘇揚州市2008-2009學年度第一學期期未調研測試第14題）若函數滿足：對于任意的都有恒成立，則的 取值范圍是 分析：問題等價于函數在區間的最大值與最小值的差不大于，可以通過求函數在上的最值解決解析：問題等價于函數在的，函數

10、的極小值點是，若，則函數在上單調遞減，故只要，即只要，即；若，此時，由于，故當時，此時只要即可，即，由于，故，故此時成立；當時，此時，故只要即可，此顯然故，即的取值范圍是點評：三次函數一直以來都是大綱區高考的一個主要考點，主要用這個函數考查考生對用導數研究函數性質、研究不等式等問題的理解和掌握程度，隨著課標的考試大綱對導數公式的強化，課標區高考的函數導數解答題已經把函數的范圍拓寬到了指數函數、對數函數、三角函數等（包括文科），但三次函數是高中階段可以用導數研究的最為透徹的函數之一，高考也不會忽視了這個函數!題型6 導數在研究函數、方程、不等式等問題中的綜合運用例11（安徽省錯誤！未找到引用源。

11、皖南八校2009屆高三第二次聯考理科數學第22題）已知函數，（1）當時，判斷在定義域上的單調性；（2）若在上的最小值為，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范圍分析：（1）通過判斷導數的符號解決；（2）確立函數的極值點，根據極值點是不是在區間上確立是不是要進行分類討論和分類討論的標準；（3）由于參數是“孤立”的，可以分離參數后轉化為一個函數的單調性或最值等解決解析：（1）由題意：的定義域為，且，故在上是單調遞增函數（2）由（1）可知： 若，則，即在上恒成立，此時在上為增函數，（舍去） 若，則，即在上恒成立，此時在上為減函數，（舍去） 若，令得，當時，在上為減函數，當時，在上為增函數， 綜上可知

12、：（3）又令，在上是減函數，即，在上也是減函數，令得，當在恒成立時，點評：本題前兩問是借助于導數和不等式這兩個工具研究函數的性質，地三問是借助于導數研究不等式，這是目前課標區高考中函數導數解答題的主要命題模式求一個函數在一個指定的閉區間上的最值的主要思考方向就是考慮這個函數的極值點是不是在這個區間內，結合函數的單調性確立分類討論的標準本題第三問實際上是對函數兩次求導，也要注意這個方法例12（浙江寧波市2008學年度第一學期期末理科第22題）已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、（1）求證：為關于的方程的兩根；（2）設，求函數的表達式；（3）在（2）的條件下，若在區間內總存在個實數（

13、可以相同），使得不等式成立，求的最大值分析：（1）寫出曲線上任意一點處的切線方程后，把點點坐標代入，就會得到一個僅僅含有參數的方程，而兩個切點的橫坐標都適合這個方程，則兩個切點的橫坐標必是一個以參數為系數的一個方程的兩個解；（2）根據第一的結果和兩點間距離公式解決；（3）根據第二問的結果探究解題方案解析：（1）由題意可知：， ， 切線的方程為：，又切線過點， 有，即， 同理，由切線也過點，得由、，可得是方程（ * ）的兩根（2）由（ * ）知 ， （3）易知在區間上為增函數， 則 即，即，所以，由于為正整數，所以又當時，存在，滿足條件，所以的最大值為 點評：本題第一問的解決方法具有一般的意義，

14、許多過一點作曲線的兩條切線、兩個切點的橫坐標之間的關系都可以得到這個結論，這對進一步解決問題往往是關鍵的一步本題第三問的解決方法用的是先估計、再確定的方法，也只得仔細體會例13(2009江蘇泰州期末20)已知，其中是自然常數，（1）討論時, 的單調性、極值；（2）求證：在（1）的條件下，；（3）是否存在實數，使的最小值是，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由分析：（1）求導后解決；（2）去絕對值后構造函數、利用函數的單調性解決，或是證明函數；（3）根據極值點是不是在區間確立分類討論的標準，分類解決解析：（1） 當時，此時為單調遞減，當時，此時為單調遞增，的極小值為 （2）的極小值，即在的最

15、小值為， 令又， 當時在上單調遞減 當時，（3）假設存在實數，使有最小值，當時，由于，則函數是上的增函數解得（舍去） 當時，則當時，此時是減函數當時，此時是增函數解得 點評：本題的第二問實際上可以加強為證明對任意的證明；第三問的解答方法具有一般的意義，即求函數在指定閉區間上的最值分類就是按照極值點是不是在這個區間上進行的題型7 函數的應用、生活中的優化問題例14（2008高考江蘇卷17）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的頂點 及的中點處，已知，為了處理三家工廠的污水，現要在該矩形的區域上（含邊界），且與等距離的一點處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道，設排污管道的總長為（1）按下列要求

16、建立函數關系式：設，將表示為的函數；設，將表示為的函數關（2）請你選用（1）中的一個函數關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短分析：（1）已經指明了變量，只需按照有關知識解決即可；（2）根據建立的函數模型，選擇合理的模型和方法解決解析：（1）如圖，延長交于點，由條件知垂直平分，若，則，故 又，所以所求函數關系式為若，則，所以所求函數關系式為（2）選擇函數模型方法一：（使用導數的方法）令得 ， ，當時，是的減函數；當時，是的增函數所以函數在處取得極小值，這個極小值就是函數在的最小值，當時，因此，當污水處理廠建在矩形區域內且到兩點的距離均為時，鋪設的排污管道的總長度最短方法二：（

17、傳統的方法），記 ，則，化為，其中，由正弦函數的有界性知，解得或，又當時，故，即的最小值為，當時，由此知可以取，此時，即當時，函數有最小值（下同方法一）方法三：（從幾何意義上考慮）同方法二，則可以看作是平面上的定點，與動點上連點的斜率，而動點是單位圓在第二象限的后半區的一段弧，設過點的直線方程為，由于圓心到直線的距離不大于圓的半徑，則(下面的分析類似解法一)選用函數模型：方法一：（導數的方法），令則，平方得，解得，由于，故，并且可以判斷這個是函數的最小值點，此時，下面對實際問題的解釋類似上面的解法方法二：（判別式的方法）將函數看作常數，移項，平方，整理得，由于是實數，故，即，解得，或，由于，舍

18、掉這個解，故函數的最小值是，當時，方程有兩個相等的實數根（下面對實際問題的解釋類似于上面的解法）點評：本題考查函數的概念、解三角形、導數等基本知識，考查數學建模能力、抽象概括能力和解決實際問題的能力命題者匠心獨具地把對同一個問題讓考生用不同的變量建立數學模型，而在接下來的第二問中又要求考生選用所建立的兩個函數模型中的一個來解決優化問題，這就要求考生有對數學模型較高的鑒賞能力，選用的模型不同，其簡繁程度就不同，使考生在比較鑒別中體會數學的美學價值，是一道值得稱道的優秀試題題型8 定積分（理科）例15（安徽省錯誤！未找到引用源。皖南八校2009屆高三第二次聯考理科數學第5題）若，則實數等于a b

19、cd分析：根據微積分基本定理計算定積分，利用方程解決解析： 答案a點評：根據微積分基本定理計算定積分的關鍵是找到一個函數，使這個函數的導數等于被積函數，同時要合理地利用定積分的性質和函數的性質簡化計算例16（廣東潮州市20082009學年度第一學期高三級期末質量檢測理科第13題）兩曲線所圍成的圖形的面積是_分析：根據函數圖象把所求的面積表示為函數的定積分，根據微積分基本定理求出這個定積分即可解析：由，解得，或，即兩曲線的交點和，所求圖形的面積為答案點評：定積分的簡單應用主要就是求曲邊形的面積，注意根據函數圖象準確地地用定積分表示這個面積【專題訓練與高考預測】一、選擇題1已知函數滿足對任意，都有

20、成立，則的取值范圍是（ ）abcd2定義在上的函數的圖象關于點成中心對稱，對任意的實數都有，且，則的值為（ ）abc0d13已知函數；其中對于定義域內的任意一個自變量都存在唯一個自變量，使成立的函數是（ ）abcd4設，函數的導函數是，且是奇函數 若曲線的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為（ ）a b c d 5已知函數在上為減函數，則實數的取值范圍是（ ）a b cd6一質點沿直線運動，如果由始點起經過稱后的位移為，那么速度為零的時刻是（ ）a秒b秒末c秒末d秒末和秒末二、填空題7已知函數，則關于的不等式的解集是 8已知函數在定義域內是增函數，則實數的取值范圍為_9（文科）有下列命題：函數的

21、圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為；函數的圖象關于點對稱；關于的方程有且僅有一個實數根，則實數；已知命題：對任意的，都有，則：存在，使得其中所有真命題的序號是 9（理科）（1） 【解析】 這個面積是三 解答題10已知函數，其中為實數 （1）若時，求曲線在點處的切線方程； （2）當時，若關于的不等式恒成立，試求的取值范圍11已知， （1）若在處取得極值，試求的值和的單調增區間； （2）如右圖所示，若函數的圖象在連續光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有的表達式直接回答） （3）利用（2）證明：函數圖象上任意兩點的連線斜率不小于 12已知函數 （1）若函數與的圖象在公共點p處有相同的

22、切線，求實數的值并求點p的坐標； （2）若函數與的圖象有兩個不同的交點m、n，求的取值范圍； （3）在（2）的條件下，過線段的中點作軸的垂線分別與的圖像和的圖像交點，以為切點作的切線，以為切點作的切線是否存在實數使得，如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由【參考答案】1解析：a 條件等價于函數單調遞減2解析：d 由，得，因此，是周期函數，并且周期是函數的圖象關于點成中心對稱, 因此，=-，所以，3解析：a 是周期函數不唯一，排除；式當=1時，不存在使得成立，排除；答案：a4解析：d ，由于是奇函數，故對任意恒成立，由此得，由得，即，解得，故，故切點的橫坐標是5解析：d ，因為在上為減函數，

23、故在上恒成立，即在上恒成立，等價于在上的最大值設，故，選答案d6解析：d ，即，令，解得或，選答案d7解析： 是奇函數，又，在 單調遞增，故定義在上的且是增函數由已知得即故 即不等式的解集是8解析： 對一切恒成立，令，則當時，函數取最大值，故，即9（文科）解析： 函數，相鄰兩個對稱中心的距離為，錯誤；函數圖象的對稱中心應為，錯誤；正確；正確9（理科）解析： （2）直線與拋物線所圍成圖形的面積為 10解析：（1）當時，從而得，故曲線在點處的切線方程為，即（2）由，得，令則令則，即在上單調遞增所以，因此，故在單調遞增則，因此的取值范圍是11解析：（1）， 依題意，有，即 ， 令得或， 從而的單調增

24、區間為和（2） （3）， 由（2）知，對于函數圖象上任意兩點，在之間一定存在一點,使得，又，故有，證畢 12解析：（1）設函數與的圖象的公共點，則有 又在點p有共同的切線代入得設所以函數最多只有個零點，觀察得是零點，此時（2）方法1 由令當時，則單調遞增當時，則單調遞減，且所以在處取到最大值，所以要使與有兩個不同的交點，則有方法2 根據（1）知當時，兩曲線切于點，此時變化的的對稱軸是，而是固定不動的，如果繼續讓對稱軸向右移動即，兩曲線有兩個不同的交點，當時，開口向下，只有一個交點，顯然不合，所以（3）不妨設，且，則中點的坐標為以為切點的切線的斜率以為切點的切線的斜率如果存在使得，即 而且有和， 如果將的兩邊同乘得 ， ，即設，則有，令