1、例析數形結合思想在一次函數中的應用 例析數形結合思想在一次函數中的應用寧波市曙光中學 陳怡穎 數與形,是兩個最古老,最基本的研究對象,數是形的抽象概括,形是數的直觀表現。在數學中我們把數與形結合起來研究數學問題的方法叫做數形結合。數形結合,就是把問題的數量關系轉化為圖形的性質,把圖形性質轉化為數量關系,從而使復雜的問題簡單化,抽象的問題具體化。它主要有兩個方面:以“數”解“形”,以“形”助“數”。 一次函數是初中數學的一個重點,數形結合思想在一次函數中的應用也是中考命題的一個熱點。本文結合教學實踐,談談數形結合思想在一次函數解題中的幾個應用。 以“數”解“形”?把復雜的過程簡單化 函數圖象形象

2、地展示了函數的性質,為我們研究數量關系提供了“形”的基礎,因此在這類一次函數的問題中,我們應抓住特殊的點,及其所表示的實際意義,從而把復雜的過程簡單化,把幾何的問題代數化。 例1,如圖所示,在x軸上有五個點,它們的橫坐標依次為1,2,3,4,5.分別過這些點作x軸的垂線與三條直線yax,y(a+1)x,y(a+2)x相交,其中a0.則圖中陰影部分的面積是() a.12.5b.25c.12.5ad.25a 分析:此題初看比較復雜,從幾何的角度解題,首先想到的是平移,但圖中陰影部分的梯形和空白部分的梯形是不全等的,無法通過平移轉移到同一個三角形中;如果把圖中8條直線15個交點坐標都求出來,計算量太

3、大,不可行。但仔細分析可以發現,這些梯形的頂點都在一次函數圖象上,因此它們滿足函數解析式,而這三個一次函數解析式又是有聯系的,以最右邊的陰影部分梯形為例,雖然它與下面的空白部分梯形并不全等,但它們的上底都是4,下底都是5,可由當自變量分別為4和5所對應的函數值確定,梯形的高為1,因此它們的面積是相等的。其余陰影部分的面積亦同理可得。因此這里陰影部分的面積就是,直線yax,y(a+1)x,x5所圍成的三角形面積。,故選a。 解此題的關鍵在于,把不規則的圖形轉化為規則的圖形,光從“形”的角度無法從平移實現,那么就要借助“數”,通過一次函數圖象上的點滿足解析式,以及點的橫縱坐標所表示的實際意義解出梯

4、形的底和高。 例2,如圖,已知一次函數ykx+b的圖象經過a(-2,-1),b(1,3)兩點,并且交x軸于點c,交y軸于點d. (1)求一次函數解析式; (2)求線段cd的長; (3)求aob的度數。 分析:(1)是基礎題,根據兩點確定一條直線,用待定系數法把a,b兩點代入即可得函數解析式。(2)要求cd的長,可根據c,d兩點的坐標所表示的幾何意義得到線段od,oc的長度,通過解直角三角形來解決。在(3)中,aob是個鈍角三角形,直接求aob的度數比較復雜,可以轉化為求它的補角。且題中各點的坐標已知,可以用坐標的幾何意義求線段的長度,由勾股定理的逆定理將邊的條件轉化為角的條件。 解:(1)把a

5、(-2,-1),b(1,3)代入ykx+b,得 (2)令x0,y, 令y0,x, 由勾股定理可得,cd (3)取點a關于原點的對稱點e(2,1),則點a,o,e在同一直線上, 由勾股定理可得,oe,be,ob eob是等腰直角三角形 boe45,aob135。 此題難度在于第(3)小題,當面對這樣一個不規則的三角形的時候,求角度,“形”的角度顯得一籌莫展,此時如果能用好平面直角坐標系這個大環境,熟知點的橫縱坐標所表示的幾何意義,用“數”的途徑求得邊長,再通過勾股定理這座橋梁,求出角的度數。 總結:在一次函數中,溝通“數”與“形”的就是圖象,根據圖象上的點坐標滿足解析式,找到橫縱坐標之間的聯系,

6、過點向坐標軸作垂線,坐標又能應用于構造直角三角形,易求線段的長度,圖形的面積等幾何量,從而將不規則的圖形、難求的數量關系轉化成規則的、易求的,將復雜的過程簡單化。 以“形”助“數”?把抽象的問題具體化 很多問題,僅從代數角度考慮,很難入手,如果借助圖象的直觀性將抽象的數學概念、復雜的數量關系具體化,形象化,給人以直觀的感受,那么很多難題都將迎刃而解。在數學學習過程中,通過以“形”助“數”,突出圖的形象思維,促進形象思維和抽象思維的有機結合,往往會收到事半功倍的效果。 例3,如圖,直線l1?yx+1與直線l2?ymx+n相交于點p(a,2),則關于x的不等式x+1mx+n的解為_ 分析:由兩直線

7、相交于點p,可得,a1,但直線l2?ymx+n上已知的點只有一個,無法確定其解析式,因此無法從解不等式的方向解此題。我們需要充分利用一次函數圖象的性質,觀察不等式,可以發現,不等式的左邊,x+1,恰好是直線l1的函數值,即直線l1上點的縱坐標;不等式的右邊,mx+n,是直線l2的函數值,即直線l2上點的縱坐標;因此,原不等式的解,就是去尋找能使l1的縱坐標大于等于l2的縱坐標的點所對應的橫坐標。由圖象易知,當x1時滿足,即不等式的解為x1。 本題中,運用一次函數的圖象和性質,把數和形巧妙的結合起來,把“數”的問題求解不等式轉化為“形”的問題尋找縱坐標符合題意的點,大大減少了計算量,提高解題速度

8、和解題準確率。 在一次函數的學習中,這種根據函數圖象的性質和圖象中的特殊的點來解決代數問題應用非常廣泛,比如兩直線的交點坐標和二元一次方程之間的關系;一元一次不等式和函數圖象的關系?？傊?在求解代數問題的過程中,用“形”的眼光看問題,能帶給我們不一般的收獲。 例4,已知x,y為正實數,且滿足一次函數y4-x的關系,求的最小值。 分析:本題是一個含有根式的代數式求最值問題,問題非常抽象,從代數的角度無從下手,但是觀察代數式的形式,我們不難發現可以看成一個直角邊長為x,1的直角三角形的斜邊,可看成是直角邊長為y,4的直角三角形的斜邊,這樣我們可以想辦法構造兩個直角三角形,并且x,y之間滿足x+y4

9、的關系。 作法:(1)如圖,作長為4的線段ab,過a,b兩點在ab的同側作垂線ac,bd,使ac1,bd2; (2)設p為ab上的一個動點,pax,pby,則有x+y4。連結pc,pd,則pc, pd 我們驚喜地發現,這個無從下手的代數問題就轉化成了,在線段ab上找一點p,使得pc+pd最短這樣一個幾何問題了,這類問題我們非常熟悉,?用對稱點求最短路程。 (3)作點c關于直線ab的對稱點c1,連結dc1交ab于點p,則點p即為所求。 根據兩點之間,線段最短。線段c1d的長度即為所求的最小值。構造rtdmc1,dm2+13,mc14,則dc15,即的最小值為5 解本題的關鍵在于,觀察代數式的特點

10、,在中學數學中,勾股定理涉及到了這樣的關系,通過構造直角三角形實現“以形助數”,另一方面,x和y是兩個變量,所以在圖形的構造中,用一個動點實現兩條線段長度的變化。這樣,從幾何的角度來看待最小值問題,即最短路程問題,就大大降低了難度,體現了幾何的直觀性。 總結:“以形助數”就是把代數問題通過觀察和證明轉化為幾何問題,用幾何的方法加以解決,幾何法使原本抽象的過程具體化,形象化,還可減少計算量。在這一過程中,如何轉化是問題的關鍵,這就需要一雙“慧眼”觀察代數問題中的形式、特點,結合已有的性質、定理,化繁為簡。這是一個長期的,貫穿于整個數學學習過程中的,積累的過程,要做到“腦中有形,心中有數”。 “數

11、”“形”結合?把實際的問題模型化 函數的魅力在于,它可以把現實生活中比較復雜的、變化的問題通過函數模型加以解決。從數的角度,函數就像一部機器,對于每一個不同的情況所對應的自變量,通過函數的“加工”就能找到對應的函數值。從形的角度,函數圖象可以直觀的確定一元一次不等式的解、二元一次方程組的解。因此,在遇到情境復雜的實際問題時,需要把數和形結合起來,建立函數模型加以解決。 例5,某家電信公司提供了兩種方案的移動通訊服務的收費標準,如下表:a方案b方案每月基本服務費30元50元每月免費通話時間120分200分超出后每分收費0.4元0.4元如果請你選擇其中一種方案,應如何選擇? 分析:本題是較優方案選

12、擇問題,在初中數學中比較常見,這類問題通?？梢酝ㄟ^函數的模型加以解決。通話的費用與通話的時間有關,因此先建立通話費用y關于通話時間x的函數關系。接下來有兩種解法,從“數”的角度,化歸為解一元一次不等式或方程來求解;從“形”的角度,畫出各個函數的圖象,求出交點坐標,分析每一段圖象的位置來比較方案的優劣。 解:設每月通話時間為x分,a方案通話費用為y1,b方案通話費用為y2,則 在同一坐標系中畫出函數圖象,如圖 觀察圖象可得, 當時,此時應選擇a方案 。 當x170時,兩種方案都一樣。 當x170時,此時應選擇b方案。 例6,在一天中,時針、分針能重合幾次,分別在什么時間? 分析:此題是現實生活中

13、非常熟悉的問題,由于時針和分針同時在轉動,學生在解題的中難以想象這一過程,如果將這一過程用一次函數模型來刻畫,以鐘面圓心到12點這條線段為基準,建立時針、分針這兩個變量與基準線所夾角之間的函數關系,然后用函數圖象加以解決,就能達到化繁為簡的效果。 解:以0?12時為例,從0時開始,為了研究方便,將分針與分針起始位置op(如圖)的夾角記為y1,時針與op的夾角記為y2度(夾角是指不大于平角的角),旋轉時間記為x分鐘,繪制函數圖象。 在時針和分針與op的交角y隨時間x變化的函數圖象中,我們可以很容易得到結論,兩函數圖象的交點c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m為所求的時針與分針重合的情況,另

14、外的交點則是時針與分針關于直線op對稱,即所夾角度相等但在op的兩側,不合題意。因此,在0?12時內,時針與分針有11次重合,那么一天中共有22次。更進一步的,在什么時間時針與分針重合,這個問題可以轉化為求這些交點的橫坐標,由圖象可得y1,y2關于x的函數解析式,交點坐標可通過聯立方程組得到。 解得交點的近似坐標:c(0,0) d(65.38,35.28) e(130.85,65.11) f(196.32,97.93) m(261.79,130.76) g(327.26,163.59) h(392.73,163.59) i(458.18,130.76) j(523.61,97.93) k(589.09,65.11) l(654.55,35.28) 總結:在實際的應用問題當中,情境比較復雜,變化的量多,讓人理不清頭緒,這個時候,找出題目要研究的變量對象,在多個變量之間尋找一個有關聯的自變量,建立