1、華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 二次型的概念二次型的概念 2 1211 112 1 211 2 22222 2 ( ,)22 2 nnn nn nnn f x xxa xa x xa x x a xa x x a x 定義定義 叫做二次型。叫做二次型。 12n xxx， ， ，含有含有n個自變量個自變量 的二次齊次函數的二次齊次函數 如果二次型的系數都為實數，則稱二次型為實二次型。如果二次型的系數都為實數，則稱二次型為實二次型。 例如例如 2 ( , , )363f x y zxyxzyzz 22 ( , )1f x yxyxy 是二次型是二次型

2、 不是二次型不是二次型 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 二次型二次型 f對稱矩陣對稱矩陣 A 對稱矩陣對稱矩陣 A 的秩定義為二次型的秩定義為二次型 f 的秩的秩 一一對應一一對應 111211 122222 1212 12 ( ,), n n nn nnnnn aaax aaax f x xxx xx aaax x Ax 二次型可表示為二次型可表示為 矩陣形式矩陣形式 （A為對稱矩陣）為對稱矩陣） 二次型的矩陣及其秩二次型的矩陣及其秩 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 只含平方項的二次型只含平方項的二次型 222 121 122 , nnn fx xxxxx 對應的矩陣為對角形

3、矩陣對應的矩陣為對角形矩陣 1 2 n 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 222 112132233 123 3685fxx xx xxx xx fxxxf 設二次型 求 的矩陣A, 當=3, =1, =-2 時，求 的值。 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 1 1232 3 152 ,9410 624 x fx x xxA x f 求二次型的矩陣 ， 并求 的秩。 1 ,() 2 Bnfx BxABB設為 階方陣 求證的矩陣是 1 () 2 x Axx Bxx B x ()x B xx B x xBx 1 () 2 x Axx Bxx Bxx Bx 顯然顯然A是對稱矩陣，是對稱矩

4、陣， n xR 這表明對稱矩陣這表明對稱矩陣A是二次型是二次型 xBx 的矩陣。的矩陣。 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 22 1122 112 212 346 2 2 fxx xx xyy xyy 求二次型經過變換 之后的表達式。 只含有平方項的二次型叫做標準形只含有平方項的二次型叫做標準形 解解 1 2 y y y 21 12 xy 32 26 fxx 1 2 x x x 213221 122612 fyy 213221 122612 yy 100 035 yy 22 12 1035yy 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 fx Ax xCy fy C ACy C可 逆 fxC

5、y C AC 要 使 二 次 型經 可 逆 變 換變 成 標 準 形 ， 就 是 要 使成 為 對 角 矩 陣 。 （秩不變）（秩不變） ,APP AP 對任意實對稱矩陣總有正交矩陣使 , fx AxxPyf 任 給 二 次 型總 有 正 交 變 換使化 為 標 準 形 222 1221nn fyyy 12 , n fA其中是 的矩陣 的特征值。 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 二次型的標準形二次型的標準形 定義定義 222 1122 () nn f Hyd yd yd y 就稱此二次型為原來二次型的標準形。就稱此二次型為原來二次型的標準形。 定理定理1經過可逆線性變換后，二次型的秩不

6、變。經過可逆線性變換后，二次型的秩不變。 如果二次型如果二次型 經過可逆線性變經過可逆線性變 換換x=Hy變成變成y的二次型的二次型 ( )f xx Ax 如如 22 121122 ( ,)72 35f x xxx xx 經線性變換經線性變換 112 212 13 22 31 22 xyy xyy 22 12 48fyy 化得標準形化得標準形 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 定理定理2 任何二次型的標準型都存在。任何二次型的標準型都存在。 ( )f xx Ax是任意二次型是任意二次型 其中其中A是是n階對稱矩陣階對稱矩陣 存在正交矩陣存在正交矩陣P，使得，使得 1 n P AP 作正交

7、變換作正交變換xPy ()()f Pyy P AP yyy 22 112n yy 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 化二次型為標準型化二次型為標準型 22 1122 6(4)xx xx 22 1122 624fxx xx 222 1222 6(2)24xxxx 22 122 6(2)25xxx 112 22 2yxx yx 22 12 625fyy 作線性變換作線性變換 則得二次型的標準形則得二次型的標準形 配方法配方法 112 22 2xyy xy 即即 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 用配方法把二次型化成標準型用配方法把二次型化成標準型 222 1231122233 ( ,)

8、6825f x xxxx xxx xx 222 1231122233 (,)(6)825f x xxxx xxx xx 222 122233 (3)25xxxx xx 222 122233 (3)(2)5xxxx xx 222 12233 (3)()4xxxxx 112 223 33 3yxx yxx yx 作線性變換作線性變換 222 123 4fyyy 1123 223 33 33xyyy xyy xy 即即 解解 可得二次型的標準形可得二次型的標準形 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 123121323 ( ,)226f x xxx xx xx x 112 212 33 xyy x

9、yy xy 22 12123123 2()2()6()fyyyyyyyy 22 1213231323 222266yyy yy yy yy y 22 121323 2248yyy yy y 2222 11333223 2(2)228yy yyyyy y 222 132233 2()2(4)2yyyy yy 22222 13223333 2()2(44)82yyyy yyyy 222 13233 2()2(2)6yyyyy 113 213 33 2 zyy zyy zy 222 123 226fzzz 113 223 33 2 yzz yzz yz 11 22 33 113 111 001 xz

10、 xz xz 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 222 123123121323 (,)25226f x xxxxxx xx xx x 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 定理定理 設設A是是n階實階實對稱矩陣，則必有正交矩陣對稱矩陣，則必有正交矩陣P,P,使使 P AP 用正交變換化二次型為標準型用正交變換化二次型為標準型 fx Ax xPy fy P A P yyy 222 1122nn yyy 對相應的二次型對相應的二次型 作正交變換作正交變換 則有則有 即化得標準形即化得標準形 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 用正交變換化二次型為標準型的具體步驟用正交變換化二次型為標

11、準型的具體步驟 2.2.求矩陣求矩陣A A的特征值的特征值 1 , n 3. 對每個特征值對每個特征值 ，求對應的特征向量，求對應的特征向量 i 4. 將特征向量正交化、單位化，得到將特征向量正交化、單位化，得到 12 , n e ee 12n Peee xPy 222 1122nn fyyy 1. 寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣A 5. 構造正交矩陣，寫出相應的正交變換及標準形構造正交矩陣，寫出相應的正交變換及標準形 正交矩陣正交矩陣 正交變換正交變換 標準形標準形 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 22 1122 624fxx xx 61 2 1 21 A 2 612 51500

12、121 AE 12 1 0,1 5 得特征值得特征值 1 0.6 0.8 e 2 0.8 0.6 e 0.60.8 0.80.6 P 22 12 1 01 5fyy 可順次求得單位特征向量可順次求得單位特征向量 例例 用正交變換，化下列二次型為標準形用正交變換，化下列二次型為標準形 解解 二次型的矩陣為二次型的矩陣為 由由 令令 xPy則經正交變換則經正交變換 ，可得標準形，可得標準形 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 1 2 3 124 242 , 421 x Axx x 試用正交變換化二次型試用正交變換化二次型 fx Ax為標準型為標準型 解解矩陣矩陣A的特征多項式為的特征多項式為

13、124 242 421 2 (4)(5) 1 4, 特征值特征值 23 5 1 4, 對于 1 212可得特征向量（ ， ， ） 23 5對于， 得到線性無關的特征向量 23 11 （，0，1） ，（，2，0） 正交化正交化 22 ， 32 332 22 ， ， 0.5,2, 0.5) （ 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 123 , 是正交特征向量組。 單位化單位化 1 1 1 2 1 2 ( , ) 3 3 3 e 123 (2,1,2) ,( 1,0,1) ,( 0.5,2, 0.5) 2 2 2 11 (,0,) 22 e 3 3 3 2 2 22 (,) 636 e 123 P

14、eee 212 362 12 2 0 33 212 362 作正交變換作正交變換 123123 ( ,)(,)x xxP y yy 代入代入f ，得到標準型，得到標準型 222 123 455fyyy 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 慣性定律慣性定律 對于同一個二次型，其標準形中正項的個數固對于同一個二次型，其標準形中正項的個數固 定（稱為正慣性指標），負項的個數也是固定的定（稱為正慣性指標），負項的個數也是固定的 （稱為負慣性指標）（稱為負慣性指標） ，因而非零項的個數固定，因而非零項的個數固定(稱稱 為慣性指標）為慣性指標） fx Axfy P APyyy xPy P正 交 222

15、 1122rr yyy f 的慣性指標的慣性指標 = f 的矩陣的矩陣 A 的非零特征值個數的非零特征值個數 r f 的正慣性指標的正慣性指標 = f 的矩陣的矩陣 A 的正特征值個數的正特征值個數 f 的負慣性指標的負慣性指標 = f 的矩陣的矩陣 A 的負特征值個數的負特征值個數 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 二次型的正定性二次型的正定性 定義：定義： ( ) 00. f xx Ax xfxA （1）稱二次型是， 如果對于 任意有此時稱對 正定 稱矩陣 為 二次型 正定矩陣。 ( ) 0. f xx Ax xf xA （2）稱二次型是， 如果對于 任意 有此時稱對稱矩陣 為半 半

16、正定二次型 正定矩陣。 ( ) 00. f xx Ax xfxA （3）稱二次型是， 如果對于 任意有此時稱對 負定 稱矩陣 為 二次型 負定矩陣。 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 ( )f xx Ax nf n 二次型為正定的充分必要條件是： 它的標準形的 個系數全為正，即的正慣性指標 為 。 ( )f xx Ax nf n 二次型為負定的充分必要條件是： 它的標準形的 個系數全為負，即的負慣性指標 為。 判定二次型的正定性判定二次型的正定性 定理定理1 1 推論推論 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 ( )f xx Ax A 二次型為正定的充分必要條件是： 對稱矩陣 的特征值

17、全是正數。 定理定理2 2 推論推論 ( )f xx Ax A 二次型為負定的充分必要條件是： 對稱矩陣 的特征值全都小于零。 ( )f xx Ax A 二次型為半正定的充分必要條件是： 對稱矩陣 的全部特征值非負。 定理定理 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 定理定理3 (hurwitz3 (hurwitz定理）定理） 定義定義 設設n階方陣階方陣 ij n n Aa （ ）我們把我們把n個行列式個行列式 111 Aa 1112 2 2122 aa A aa 111 1 n n nnn aa A aa ( )f xx Ax A 二次型為正定的充分必要條件是： 對稱矩陣的所有順序主子式為

18、正。 都叫做矩陣的順序主子式。都叫做矩陣的順序主子式。 推論推論 ( )f xx Ax A 二次型為負定的充分必要條件是： 對稱矩陣的所有奇數階順序主子式為負， 所有偶數階順序主子式為正。 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 222 112132233 222222fxx xx xxx xx 211 121 112 A A的三個順序主子式為的三個順序主子式為 1 20,A 2 21 30, 12 A 3 40AA 所以所以A是正定矩陣，是正定矩陣，f 是正定二次型。是正定二次型。 例例 判斷二次型的正定性判斷二次型的正定性 解法解法1 二次型的矩陣為二次型的矩陣為 華南農大高數第8章相似矩

19、陣與二 次型3 211 121 112 AE 2 (1) (4)0 12 10, 3 40 解出特征值解出特征值 故故A是正定矩陣，是正定矩陣，f 是正定二次型。是正定二次型。 222 112132233 222222fxx xx xxx xx 例例 判斷二次型的正定性判斷二次型的正定性 211 121 112 A 解法解法2 二次型的矩陣為二次型的矩陣為 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 解解 二次型的矩陣二次型的矩陣 520 260 004 A A的三個順序主子式為的三個順序主子式為 1 50,A 2 52 260, 26 A 3 1040AA 所以所以 f 為負定二次型。為負定二次

20、型。 222 5644fxyzxy 例例 判斷二次型的正定性判斷二次型的正定性 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 A A 對 稱 矩 陣為 半 正 定 的 充 分 必 要 條 件 是 ： 的 所 有 主 子 式 非 負 。 定義定義如果方陣如果方陣A的某一子式的主對角線完全的某一子式的主對角線完全 位于位于A的主對角線上，就稱該子式為的的主對角線上，就稱該子式為的 主子式。主子式。 定理定理 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 判別正定二次型（矩陣）的三種方法判別正定二次型（矩陣）的三種方法 1.標準形標準形2.特征值特征值 3.順序主子式與主子式順序主子式與主子式 華南農大高數第8章相似矩陣與二 次型3 110 150 001 A 判明矩陣的正定性。 A的三個順序主子式為的三個順序主子式為 1 10,A 2 11 15 A 3 AA 40, 40 可見可見A不是負定的，不是正定的，也不是半正定的。不是負