極限函數試題及答案

單項選擇題（每題2分，共20分）1.當$x\to0$時，$x^2$是比$x$的（）。A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小2.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）。A.1B.2C.03.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在點$a$處（）。A.有定義B.不一定有定義C.無定義4.當$x\to0$時，與$x$等價無窮小的是（）。A.$\sin2x$B.$x+x^2$C.$\tanx$5.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=$（）。A.$\frac{3}{2}$B.0C.16.已知$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，則$\lim\limits_{x\to2}f(x)=$（）。A.4B.2C.不存在7.當$x\to0$時，$1-\cosx$是$x^2$的（）。A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小（等價無窮?。?.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）。A.0B.1C.-19.若$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$，則$f(x)-A$是當$x\to\infty$時的（）。A.有界函數B.無窮小C.無窮大10.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$（）。A.eB.1C.0答案：1.A2.B3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.B10.A多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列極限存在的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\sinx$C.$\lim\limits_{x\to\infty}e^x$D.$\lim\limits_{x\to0}\cosx$2.當$x\to0$時，下列是無窮小量的有（）A.$x$B.$x^2+1$C.$\sinx$D.$\frac{1}{x}$3.下列等式正確的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinax}{x}=a$（$a\neq0$）B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$C.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1$4.極限函數中，以下說法正確的是（）A.無窮小量與有界函數乘積是無窮小量B.兩個無窮小量之和是無窮小量C.無窮小量與無窮大量乘積是無窮大D.無窮大量與有界函數乘積是無窮大5.已知函數$f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$，下面說法正確的是（）A.$f(x)$在$x=1$處無定義B.$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\frac{1}{2}$C.$\lim\limits_{x\to-1}f(x)$不存在D.$f(x)$在$x=-1$處有定義6.下列函數在給定趨勢下是無窮大的有（）A.$y=\frac{1}{x^2}$，$x\to0$B.$y=x^2$，$x\to\infty$C.$y=\lnx$，$x\to0^+$D.$y=e^{-x}$，$x\to\infty$7.關于等價無窮小，下列說法正確的是（）A.當$x\to0$時，$x$與$x+o(x)$等價（$o(x)$是$x\to0$時比$x$高階的無窮小）B.已知$f(x)$和$g(x)$，若$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，則$f(x)$與$g(x)$是$x\toa$時的等價無窮小C.等價無窮小在求極限時可替換D.同階無窮小一定是等價無窮小8.極限$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在的判定條件有（）A.$\lim\limits_{x\toa^+}f(x)$和$\lim\limits_{x\toa^-}f(x)$都存在B.$\lim\limits_{x\toa^+}f(x)=\lim\limits_{x\toa^-}f(x)$C.函數$f(x)$在$x=a$處連續D.函數$f(x)$在點$a$某去心鄰域內有界9.以下是常用極限結論的有（）A.$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$（$|q|\lt1$）B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1$C.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{k}{x})^x=e^k$（$k$為常數）D.$\lim\limits_{x\to0^+}x^x=1$10.對于極限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$（$P_n(x)$是$n$次多項式，$Q_m(x)$是$m$次多項式），說法正確的是（）A.當$n=m$時，極限值為最高次項系數之比B.當$n\ltm$時，極限值為0C.當$n\gtm$時，極限值為$\infty$D.極限值一定存在答案：1.BD2.AC3.ABC4.AB5.ABC6.ABC7.ABC8.AB9.ABCD10.ABC判斷題（每題2分，共20分）1.無窮小量是一個很小很小的數。（）2.若$\lim\limits_{x\toa^+}f(x)$和$\lim\limits_{x\toa^-}f(x)$都存在，則$\lim\limits_{x\toa}f(x)$一定存在。（）3.$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1$。（）4.當$x\to0$時，$x^3$比$x^2$更快趨于0。（）5.函數在一點有極限則一定在該點連續。（）6.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)\cdotg(x)$存在，則$\lim\limits_{x\toa}f(x)$和$\lim\limits_{x\toa}g(x)$都存在。（）7.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\sinx=1$。（）8.無窮大量與無窮大量之和還是無窮大量。（）9.$f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$在$x\to1$時是無窮大。（）10.同階無窮小就是等價無窮小。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.×6.×7.√8.×9.√10.×簡答題（每題5分，共20分）1.簡述無窮小量與無窮大量的關系答：在自變量的同一變化過程中，如果$f(x)$為無窮大，則$\frac{1}{f(x)}$為無窮??；反之，若$f(x)$為無窮小，且$f(x)\neq0$，則$\frac{1}{f(x)}$為無窮大。2.判斷極限$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}$是否存在，若存在求出值答：化簡原式，\(\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}\)，\(x\to1\)時\(x\neq1\)，可約去\(x-1\)得\(x-2\)，則\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x-2)=-1\)，極限存在且值為-1。3.什么是等價無窮小，舉例說明用途答：在自變量同一變化過程中，若\(\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1\)，則\(\alpha(x)\)與\(\beta(x)\)是等價無窮小。在求極限時，等價無窮小替換能簡化計算，如求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2+x}\)，\(x\to0\)時\(\sinx\)與\(x\)等價，替換后極限為\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2+x}=1\)。4.說明極限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x}{2x^2-1}$的求解思路答：分子分母同時除以\(x^2\)，原式變為\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}}{2-\frac{1}{x^2}}\)，當\(x\to\infty\)時，\(\frac{2}{x}\to0\)，\(\frac{1}{x^2}\to0\)，所以極限值為\(\frac{3+0}{2-0}=\frac{3}{2}\)。討論題（每題5分，共20分）1.討論函數$f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\0,&x=0\\x-1,&x\gt0\end{cases}$在$x=0$處的極限是否存在答：先求左極限，\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(x+1)=1\)；再求右極限，\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x-1)=-1\)。因為左極限\(1\)不等于右極限\(-1\)，所以函數在\(x=0\)處極限不存在。2.討論極限在物理中的應用舉例答：在物體運動學里，瞬時速度就是位移對時間的極限。例如，物體做直線運動位移函數是\(s(t)\)，在\(t_0\)時刻的瞬時速度\(v(t_0)=\lim\limits_{\Deltat\to0}\frac{s(t_0+\Deltat)-s(t_0)}{\Deltat}\)，通過極限概念可精確描述某時刻的運動快慢。3.結合實例說明等價無窮小替代求極限需注意的問題答：比如求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\)，不能直接將\(\sinx\)換成\(x\)，因為替換后分子為\(0\