1、n1n 1nn11 n*232133221222考點二十九等比數列知識梳理1等比數列的有關概念(1)定義：如果一個數列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(不為零)，那么這個數列就叫做等a比數列這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母 q 表示， qan說明：等比數列中沒有為 0 的項，其公比也不為 0.(2)等比中項：如果 a、g、b 成等比數列，那么 g 叫做 a 與 b 的等比中項即：g 是 a 與 b 的等比中項a，g，b成等比數列g2abg ab 說明：任何兩個實數都有等差中項，但與等差中項不同，只有同號的兩個數才有等比中項兩個同 號的數的等比中項有兩個，它們互為相反數2

2、等比數列的有關公式(1)通項公式：a a q n 1na1，q1，(2)前 n 項和公式：s a （1q ） a a q ，q1. 1q 1q3等比數列的性質已知數列a 是等比數列，s 是其前 n 項和(m，n，p，q，r，kn )n n(1)若 mnpq2r，則 a a a a a ；m n p q r(2)數列 a ，a ，a ，am mk m2k m3k，仍是等比數列；(3)數列 s ，s s ，s s ，仍是等比數列(此時a 的公比 q1)m 2m m 3m 2m n典例剖析題型一 等比數列中基本量解題3 9例 1 已知等比數列a 的前 n 項和為 s ，a ，s ，則公比 q_.n

3、n 3 2 3 21答案 1 或2解析aq2 ，3 9設數列的公比為 q，a ，s ，2 2 9a (1qq ) ，1qq兩式相除得 3，即 2q q10.qn 1nn 11912346121314154 54454148164 6404142416644 616 10 101q1 或 q .2變式訓練 在等比數列a 中，a 3，a 81，則 a _n 2 5 n答案 3a1q3， a11，解析 設a 的公比為 q，依題意得 解得a1q481， q3.因此 a 3 .n解題要點 在等比數列中，基本量是 a ，n，q，a ，s ，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)1 n n使問題得解題型二

4、利用等比數列的性質解題例 2 已知a 為等比數列，a a 2，a a 8，則 a a 等于_.n 4 7 5 6 1 10答案 7解析 方法一 由題意得a a a q3a q62，4 7 1 1a a a q4a q5a2 q98， 5 6 1 1 1q32， a11q或a3 ，28，1a a a (1q )7. 1 10 1a4a72， 方法二 由a5a6a4a78a42， ，解得 或a74a44， a72.q32， a11q或a3 ，28，1a a a (1q1 10 19)7.變式訓練 在等比數列a 中，若 a a a a 1，a a a a 8，則 a a a a _.n 1 2 3

5、4 13 14 15 16 41 42 43 44答案 1 024解析 (2)方法一 a a a a a a q a q1 2 3 4 1 1 1 a q1a q11，a a a a a q a q a q a q a q 8， 13 14 15 16 1 1 1 1 1a q： q 8 q 2，a q1又 a a a a a q a q a q a q 41 42 43 44 1 1 1 143a q1a1 q6 q160(a q )(q ) 12 1 024.1方法二 由性質可知，依次 4 項的積為等比數列，設公比為 p，3310 10n310n12101n1a1（1q10） 2（1210

6、） 4101q2291010設 t a a a a 1，1 1 2 3 4t a a a a 8， 4 13 14 15 16t t p 4 11 p8 p2.t a a a a t p 2 1 024.11 41 42 43 44 1解題要點 在數列問題中，要特別關注項數的特征，等比數列中項數和相等，則積相等，即“若 m npq，則 a a a a ”，巧妙利用性質可以減少運算量，提高解題速度m n p q題型三 等比數列的前 n 項和及其性質例 3 若等比數列a 滿足 a a 10，a a 20，則a 的前 n 項和 s _n 1 4 2 5 n n答案10(291)解析 由題意 a a

7、q(a a )，得 20q10，故 q2，代入 a a a a q 10，得 9a 10，2 5 1 4 1 4 1 1 110得 a .1 9（12n） 9 10故 s (2 n 91)變式訓練 已知數列a 滿足 2a a 0，a 1，則數列a 的前 10 項和 s 為_.n n1 n 2 n 10答案4(2 1)3解析 2aaa 0， . n1 n a 2n1又 a 1，a 2，a 是首項為2，公比為 q 的等比數列，2 1 n 2s (2 1).10 1 31例 4 設等比數列a 的前 n 項和為 s ，若 s s 12，則 s s 等于_.n n 6 3 9 3答案 34解析 由等比數

8、列的性質知 s ，s s ，s s 仍成等比數列，于是(s s ) s (s s )，3 6 3 9 6 6 3 3 9 61 s 3將 s s 代入得 .6 2 3 s 43s 31變式訓練 等比數列a 的首項 a 1，前 n 項和為 s ，若 ，則公比 q_.n 1 n s 3251答案 2s 31解析 由 ，a 1 知公比 q1，s 32 15s10s5 155n2233311q3422222則可得 .s 325由等比數列前 n 項和的性質知 s ，s s ，s s 成等比數列，且公比為 q ，5 10 5 15 101 1故 q ，q .32 2解題要點 1. 運用等比數列的前 n 項

9、和公式時，必須對 q1 與 q1 分類討論2.注意性質的適用范圍，公比不為1 的等比數列a 的前 n 項和為 s ，則 s ，s s ，s s 仍n n n 2n n 3n 2n成等比數列，其公比為 q ，當公比為1 時，s ，s s ，s s 不一定構成等比數列n 2n n 3n 4n當堂練習11(2015 新課標 ii 文)已知等比數列a 滿足 a ，a a 4(a 1)，則 a 等于_.n 1 4 3 5 4 2答案12解析 由a 為等比數列，得 a a a ，所以 a 4(a 1)，解得 a 2，設等比數列a 的公比為 q， n 3 5 4 4 4 4 n1 1則 a a q ，得 2

10、 q ，解得 q2，所以 a a q .4 1 4 2 1 22等比數列a 的前 n 項和為 s .已知 s a 10a ，a 9，則 a _.n n 3 2 1 5 1答案19解析 設數列a 的公比為 q，若 q1，則由 a 9，得 a 9，此時 s 27，而 a 10a 99，不n 5 1 3 2 1滿足題意，因此 q1.a (1q )q1 時，s a q10a ，3 1 11q1qq10，整理得 q29.1a a q 9，即 81a 9，a .5 1 1 1 93 93. 已知等比數列a 的前 n 項和為 s ，a ，s ，則公比 q_.n n 3 2 3 21答案 1 或23 9 3

11、9解析 設數列的公比為 q，a ，s ，a q ，a (1qq ) .3 2 3 2 1 2 1 21qq 1兩式相除得 3，即 2q q10.q1 或 q .q 24已知等比數列a ，且 a a 2，則 a (a 2a a )的值為_.n 4 8 6 2 6 10答案 42222422222101020233 5n(a3a4)2 362562 4222解析 a (a 2a a )a a 2a a a a a 2a a a (a a ) 4.6 2 6 10 6 2 6 6 6 10 4 4 8 8 4 85若a 為等比數列，a a 1，a a 2，則 a a a 等于_.n 2 3 3 4

12、5 6 7答案 24a1qa1q21，解析 由已知得a1q2a1q32.1解得 q2，a ，1 2a a a a (1qq )a q (1qq )24.5 6 7 5 1課后作業一、 填空題1已知各項為正的等比數列a 滿足 a a 4a ，a 1，則 a _.n 3 9 5 2 1答案12a 1解析 a a a 4a ，又 q0，q2，a .3 9 6 5 1 q 22在等比數列a 中，若 a a 1，a a 4，則 a a 的值為_.n 1 2 11 12 21 22答案 16解析 設a 的公比為 q，則 a a q (a a )，n 11 12 1 2所以 4q ，a a q (a a )

13、16.21 22 1 23公比為 2 的等比數列a 的各項都是正數，且 a a 16，則 log a 等于_.n 3 11 2 10答案 5解析 a a 16，a 16.3 11 7又等比數列a 的各項都是正數，a 4.n 7又a a q 42 2 ，log a 5.10 7 2 104在等比數列a 答案 4中，a a 324，a a 36，則 a a _. 1 2 3 4 5 6解析 an為等比數列，a a ，a a ，a a 也成等比數列，1 2 3 4 5 6a a 4.a a 3241 25(2015 新課標 ii 理)已知等比數列a 滿足 a 3，a a a 21，則 a a a _

14、.n 1 1 3 5 3 5 7答案 42解析 設等比數列a 的公比為 q，則由 a 3，a a a 21 得 3(1q q )21，解得 q 3(舍n 1 1 3 5去)或 q 2，于是 a a a q3 5 7(a a a )22142. 1 3 56各項均為正數的等比數列a 的前 n 項和為 s ，若 s 2，s 14，則 s 等于_.n n n 3n 4n2222222662 2 22 22221222n12答案 30解析 設 s a，s b，由等比數列的性質知： 2n 4n2(14a)(a2)，解得 a6 或 a4(舍去)，同理(62)(b14)(146) ，所以 bs 30.4n7

15、在等比數列a 中，a 7，前 3 項之和 s 21，則公比 q 的值為_.n 3 31答案 1 或2a1q27，解析 根據已知條件得a1a1qa1q221，1qq得 3. q整理得 2q1q10，解得 q1 或 q .28已知等比數列a 的公比為正數，且 a a 2a ，a 1，則 a _.n 3 9 5 2 1答案22a a解析 因為 a a 2a ，則由等比數列的性質有：a a a 2a ，所以 2，即( ) q 2.因為公3 9 5 3 9 6 5 a a5 5a 1 2比為正數，故 q 2.又因為 a 1，所以 a .q 2 29(2015 浙江文)已知a 是等差數列，公差 d 不為零

16、若 a ，a ，a 成等比數列，且 2a a 1，n 2 3 7 1 2則 a _，d_.1答案2312解析 因為 a ，a ，a 成等比數列，所以 a a a ，即(a 2d) (a d)(a 6d)，a d，2a2 3 7 3 2 7 1 1 1 1 312a 1，2a a d1 即 3a d1，a ，d1.2 1 1 1 1 310(2015 廣東文)若三個正數 a，b，c 成等比數列，其中 a52 6，c52 6，則 b_. 答案 1解析 三個正數 a，b，c 成等比數列，b ac(52 6)(52 6)1.b 為正數，b1.11(2015 新課標文)在數列a 中，a 2，a 2a ，

17、s 為a 的前 n 項和若 s 126，則 nn 1 n1 n n n n_.答案 62(12 )解析 由 a 2a 知，數列a 是以 a 2 為首項，公比 q2 的等比數列，由 s 126， n1 n n 1 n解得 n6.2n 1n4n 2125s n52n 1nnnn32n二、解答題12成等差數列的三個正數的和等于 15，并且這三個數分別加上 2,5,13 后成為等比數列b 中的 b ，n 3b ，b .4 5(1)求數列b 的通項公式；n5(2)數列b 的前 n 項和為 s ，求證：數列s 是等比數列n n n 4解析 (1)設成等差數列的三個正數分別為 ad，a，ad.依題意，得 adaad15，解得 a5.所以b 中的 b ，b ，b 依次為 7d,10,18d.n 3 4 5依題意，有(7d)(18d)100，解得 d2 或 d13(舍去)故b 的第 3 項為 5，公比為 2.由 bn3b 21，即 5b 2 125 ，解得 b .1 45 5 所以b 是以 為首項，以 2 為公比的等比數列，其通項公式為 b 2n 4 n 452n3.5(12 )(2)證明：由(1)得數列b 的前 n 項和 s 52n n5 5 ，即 s 52 4 n 4n2.5 5 n1 4 52 1所以 s ， 2.1 4 2 5 n2sn 45 5因此s 是以 為首項