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文檔簡介
1、n1n 1nn11 n*232133221222考點二十九等比數列知識梳理1等比數列的有關概念(1)定義:如果一個數列從第 2 項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數(不為零),那么這個數列就叫做等a比數列這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母 q 表示, qan說明:等比數列中沒有為 0 的項,其公比也不為 0.(2)等比中項:如果 a、g、b 成等比數列,那么 g 叫做 a 與 b 的等比中項即:g 是 a 與 b 的等比中項a,g,b成等比數列g2abg ab 說明:任何兩個實數都有等差中項,但與等差中項不同,只有同號的兩個數才有等比中項兩個同 號的數的等比中項有兩個,它們互為相反數2
2、等比數列的有關公式(1)通項公式:a a q n 1na1,q1,(2)前 n 項和公式:s a (1q ) a a q ,q1. 1q 1q3等比數列的性質已知數列a 是等比數列,s 是其前 n 項和(m,n,p,q,r,kn )n n(1)若 mnpq2r,則 a a a a a ;m n p q r(2)數列 a ,a ,a ,am mk m2k m3k,仍是等比數列;(3)數列 s ,s s ,s s ,仍是等比數列(此時a 的公比 q1)m 2m m 3m 2m n典例剖析題型一 等比數列中基本量解題3 9例 1 已知等比數列a 的前 n 項和為 s ,a ,s ,則公比 q_.n
3、n 3 2 3 21答案 1 或2解析aq2 ,3 9設數列的公比為 q,a ,s ,2 2 9a (1qq ) ,1qq兩式相除得 3,即 2q q10.qn 1nn 11912346121314154 54454148164 6404142416644 616 10 101q1 或 q .2變式訓練 在等比數列a 中,a 3,a 81,則 a _n 2 5 n答案 3a1q3, a11,解析 設a 的公比為 q,依題意得 解得a1q481, q3.因此 a 3 .n解題要點 在等比數列中,基本量是 a ,n,q,a ,s ,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)1 n n使問題得解題型二
4、利用等比數列的性質解題例 2 已知a 為等比數列,a a 2,a a 8,則 a a 等于_.n 4 7 5 6 1 10答案 7解析 方法一 由題意得a a a q3a q62,4 7 1 1a a a q4a q5a2 q98, 5 6 1 1 1q32, a11q或a3 ,28,1a a a (1q )7. 1 10 1a4a72, 方法二 由a5a6a4a78a42, ,解得 或a74a44, a72.q32, a11q或a3 ,28,1a a a (1q1 10 19)7.變式訓練 在等比數列a 中,若 a a a a 1,a a a a 8,則 a a a a _.n 1 2 3
5、4 13 14 15 16 41 42 43 44答案 1 024解析 (2)方法一 a a a a a a q a q1 2 3 4 1 1 1 a q1a q11,a a a a a q a q a q a q a q 8, 13 14 15 16 1 1 1 1 1a q: q 8 q 2,a q1又 a a a a a q a q a q a q 41 42 43 44 1 1 1 143a q1a1 q6 q160(a q )(q ) 12 1 024.1方法二 由性質可知,依次 4 項的積為等比數列,設公比為 p,3310 10n310n12101n1a1(1q10) 2(1210
6、) 4101q2291010設 t a a a a 1,1 1 2 3 4t a a a a 8, 4 13 14 15 16t t p 4 11 p8 p2.t a a a a t p 2 1 024.11 41 42 43 44 1解題要點 在數列問題中,要特別關注項數的特征,等比數列中項數和相等,則積相等,即“若 m npq,則 a a a a ”,巧妙利用性質可以減少運算量,提高解題速度m n p q題型三 等比數列的前 n 項和及其性質例 3 若等比數列a 滿足 a a 10,a a 20,則a 的前 n 項和 s _n 1 4 2 5 n n答案10(291)解析 由題意 a a
7、q(a a ),得 20q10,故 q2,代入 a a a a q 10,得 9a 10,2 5 1 4 1 4 1 1 110得 a .1 9(12n) 9 10故 s (2 n 91)變式訓練 已知數列a 滿足 2a a 0,a 1,則數列a 的前 10 項和 s 為_.n n1 n 2 n 10答案4(2 1)3解析 2aaa 0, . n1 n a 2n1又 a 1,a 2,a 是首項為2,公比為 q 的等比數列,2 1 n 2s (2 1).10 1 31例 4 設等比數列a 的前 n 項和為 s ,若 s s 12,則 s s 等于_.n n 6 3 9 3答案 34解析 由等比數
8、列的性質知 s ,s s ,s s 仍成等比數列,于是(s s ) s (s s ),3 6 3 9 6 6 3 3 9 61 s 3將 s s 代入得 .6 2 3 s 43s 31變式訓練 等比數列a 的首項 a 1,前 n 項和為 s ,若 ,則公比 q_.n 1 n s 3251答案 2s 31解析 由 ,a 1 知公比 q1,s 32 15s10s5 155n2233311q3422222則可得 .s 325由等比數列前 n 項和的性質知 s ,s s ,s s 成等比數列,且公比為 q ,5 10 5 15 101 1故 q ,q .32 2解題要點 1. 運用等比數列的前 n 項
9、和公式時,必須對 q1 與 q1 分類討論2.注意性質的適用范圍,公比不為1 的等比數列a 的前 n 項和為 s ,則 s ,s s ,s s 仍n n n 2n n 3n 2n成等比數列,其公比為 q ,當公比為1 時,s ,s s ,s s 不一定構成等比數列n 2n n 3n 4n當堂練習11(2015 新課標 ii 文)已知等比數列a 滿足 a ,a a 4(a 1),則 a 等于_.n 1 4 3 5 4 2答案12解析 由a 為等比數列,得 a a a ,所以 a 4(a 1),解得 a 2,設等比數列a 的公比為 q, n 3 5 4 4 4 4 n1 1則 a a q ,得 2
10、 q ,解得 q2,所以 a a q .4 1 4 2 1 22等比數列a 的前 n 項和為 s .已知 s a 10a ,a 9,則 a _.n n 3 2 1 5 1答案19解析 設數列a 的公比為 q,若 q1,則由 a 9,得 a 9,此時 s 27,而 a 10a 99,不n 5 1 3 2 1滿足題意,因此 q1.a (1q )q1 時,s a q10a ,3 1 11q1qq10,整理得 q29.1a a q 9,即 81a 9,a .5 1 1 1 93 93. 已知等比數列a 的前 n 項和為 s ,a ,s ,則公比 q_.n n 3 2 3 21答案 1 或23 9 3
11、9解析 設數列的公比為 q,a ,s ,a q ,a (1qq ) .3 2 3 2 1 2 1 21qq 1兩式相除得 3,即 2q q10.q1 或 q .q 24已知等比數列a ,且 a a 2,則 a (a 2a a )的值為_.n 4 8 6 2 6 10答案 42222422222101020233 5n(a3a4)2 362562 4222解析 a (a 2a a )a a 2a a a a a 2a a a (a a ) 4.6 2 6 10 6 2 6 6 6 10 4 4 8 8 4 85若a 為等比數列,a a 1,a a 2,則 a a a 等于_.n 2 3 3 4
12、5 6 7答案 24a1qa1q21,解析 由已知得a1q2a1q32.1解得 q2,a ,1 2a a a a (1qq )a q (1qq )24.5 6 7 5 1課后作業一、 填空題1已知各項為正的等比數列a 滿足 a a 4a ,a 1,則 a _.n 3 9 5 2 1答案12a 1解析 a a a 4a ,又 q0,q2,a .3 9 6 5 1 q 22在等比數列a 中,若 a a 1,a a 4,則 a a 的值為_.n 1 2 11 12 21 22答案 16解析 設a 的公比為 q,則 a a q (a a ),n 11 12 1 2所以 4q ,a a q (a a )
13、16.21 22 1 23公比為 2 的等比數列a 的各項都是正數,且 a a 16,則 log a 等于_.n 3 11 2 10答案 5解析 a a 16,a 16.3 11 7又等比數列a 的各項都是正數,a 4.n 7又a a q 42 2 ,log a 5.10 7 2 104在等比數列a 答案 4中,a a 324,a a 36,則 a a _. 1 2 3 4 5 6解析 an為等比數列,a a ,a a ,a a 也成等比數列,1 2 3 4 5 6a a 4.a a 3241 25(2015 新課標 ii 理)已知等比數列a 滿足 a 3,a a a 21,則 a a a _
14、.n 1 1 3 5 3 5 7答案 42解析 設等比數列a 的公比為 q,則由 a 3,a a a 21 得 3(1q q )21,解得 q 3(舍n 1 1 3 5去)或 q 2,于是 a a a q3 5 7(a a a )22142. 1 3 56各項均為正數的等比數列a 的前 n 項和為 s ,若 s 2,s 14,則 s 等于_.n n n 3n 4n2222222662 2 22 22221222n12答案 30解析 設 s a,s b,由等比數列的性質知: 2n 4n2(14a)(a2),解得 a6 或 a4(舍去),同理(62)(b14)(146) ,所以 bs 30.4n7
15、在等比數列a 中,a 7,前 3 項之和 s 21,則公比 q 的值為_.n 3 31答案 1 或2a1q27,解析 根據已知條件得a1a1qa1q221,1qq得 3. q整理得 2q1q10,解得 q1 或 q .28已知等比數列a 的公比為正數,且 a a 2a ,a 1,則 a _.n 3 9 5 2 1答案22a a解析 因為 a a 2a ,則由等比數列的性質有:a a a 2a ,所以 2,即( ) q 2.因為公3 9 5 3 9 6 5 a a5 5a 1 2比為正數,故 q 2.又因為 a 1,所以 a .q 2 29(2015 浙江文)已知a 是等差數列,公差 d 不為零
16、若 a ,a ,a 成等比數列,且 2a a 1,n 2 3 7 1 2則 a _,d_.1答案2312解析 因為 a ,a ,a 成等比數列,所以 a a a ,即(a 2d) (a d)(a 6d),a d,2a2 3 7 3 2 7 1 1 1 1 312a 1,2a a d1 即 3a d1,a ,d1.2 1 1 1 1 310(2015 廣東文)若三個正數 a,b,c 成等比數列,其中 a52 6,c52 6,則 b_. 答案 1解析 三個正數 a,b,c 成等比數列,b ac(52 6)(52 6)1.b 為正數,b1.11(2015 新課標文)在數列a 中,a 2,a 2a ,
17、s 為a 的前 n 項和若 s 126,則 nn 1 n1 n n n n_.答案 62(12 )解析 由 a 2a 知,數列a 是以 a 2 為首項,公比 q2 的等比數列,由 s 126, n1 n n 1 n解得 n6.2n 1n4n 2125s n52n 1nnnn32n二、解答題12成等差數列的三個正數的和等于 15,并且這三個數分別加上 2,5,13 后成為等比數列b 中的 b ,n 3b ,b .4 5(1)求數列b 的通項公式;n5(2)數列b 的前 n 項和為 s ,求證:數列s 是等比數列n n n 4解析 (1)設成等差數列的三個正數分別為 ad,a,ad.依題意,得 adaad15,解得 a5.所以b 中的 b ,b ,b 依次為 7d,10,18d.n 3 4 5依題意,有(7d)(18d)100,解得 d2 或 d13(舍去)故b 的第 3 項為 5,公比為 2.由 bn3b 21,即 5b 2 125 ,解得 b .1 45 5 所以b 是以 為首項,以 2 為公比的等比數列,其通項公式為 b 2n 4 n 452n3.5(12 )(2)證明:由(1)得數列b 的前 n 項和 s 52n n5 5 ,即 s 52 4 n 4n2.5 5 n1 4 52 1所以 s , 2.1 4 2 5 n2sn 45 5因此s 是以 為首項
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