1、信息光學(xué)復(fù)習(xí) 第一部分第一部分 基本概念基本概念 傅里葉變換傅里葉變換 函數(shù)函數(shù)g(x,y)在整個(gè)在整個(gè)xy平面上絕對(duì)可積且滿足狄氏條件平面上絕對(duì)可積且滿足狄氏條件(有有 有限個(gè)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)有限個(gè)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn),沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)), 定義函數(shù)定義函數(shù) dxdyyfxfjyxgffG yxyx )(2exp),(),( 為函數(shù)為函數(shù)g(x,y)的傅里葉變換的傅里葉變換, 記作記作: G(fx,fy)= g(x,y) g(x,y): 原函數(shù)原函數(shù), G(fx,fy)是是g(x,y)的的 頻譜函數(shù)頻譜函數(shù) G(fx,fy)一般是復(fù)函數(shù)一般是復(fù)函數(shù), G(fx,fy) =A(fx,f

2、y)e jf f (fx,fy) 振幅譜振幅譜 位相譜位相譜 二維線性系統(tǒng)二維線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)的定義線性系統(tǒng)的定義: 設(shè)設(shè): g1(x, y) = f1(x, y)， g2(x, y) = f2(x, y), 且對(duì)于任且對(duì)于任 意復(fù)常數(shù)意復(fù)常數(shù)a1 和和a2，有：，有： 若系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)激勵(lì)的線性組合的整體響應(yīng)，等于單個(gè)激若系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)激勵(lì)的線性組合的整體響應(yīng)，等于單個(gè)激 勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合，則該系統(tǒng)稱(chēng)為線性系統(tǒng)。勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合，則該系統(tǒng)稱(chēng)為線性系統(tǒng)。 則稱(chēng)該系統(tǒng)則稱(chēng)該系統(tǒng) 為為線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)。 a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 g1 (x, y)

3、 + a2 g2 (x, y) 系統(tǒng)對(duì)輸入的脈沖函數(shù)產(chǎn)生的輸出稱(chēng)為系統(tǒng)對(duì)輸入的脈沖函數(shù)產(chǎn)生的輸出稱(chēng)為脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng). 若輸入脈沖發(fā)生位移時(shí)若輸入脈沖發(fā)生位移時(shí), 線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式 不變，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即：不變，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即： d d(x-x x, y-h h)=h (x-x x, y-h h) 這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為線性不變系統(tǒng)線性不變系統(tǒng)。 二維線性系統(tǒng)二維線性系統(tǒng) ),(),(),( yxhyxfyxg 頻域：頻域： G(fx,fy) = F (fx,fy) H (fx,fy) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)輸出頻譜輸出頻譜輸入頻譜輸入頻譜

4、 脈沖響應(yīng)函數(shù)的脈沖響應(yīng)函數(shù)的F.T.稱(chēng)為稱(chēng)為傳遞函數(shù)（或頻率響應(yīng)）傳遞函數(shù)（或頻率響應(yīng)） dxdyyfxfjyxhffH yxyx )(2exp),(),( = h(x,y) 線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系：線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系： 空域：空域： 平面波的空間頻率平面波的空間頻率 u(P,t)= a(P)cos2nt - j(P) 對(duì)于攜帶信息的光波對(duì)于攜帶信息的光波, 感興趣的是其空間變化部分感興趣的是其空間變化部分. 故引入復(fù)振幅故引入復(fù)振幅 將光場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示將光場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示,有利于將時(shí)空變量分開(kāi)、簡(jiǎn)化運(yùn)算有利于將時(shí)空變量分開(kāi)、簡(jiǎn)化運(yùn)算: = ea(P) e jj(P). e -j2nt

5、 U(P) = a(P) e jj(P) U(P)同時(shí)表征了空間各點(diǎn)的同時(shí)表征了空間各點(diǎn)的 振幅振幅 |U(P)| = |a(P)|和相對(duì)位相和相對(duì)位相 arg(U)= j j(P) 對(duì)于單色平面波，對(duì)于單色平面波， j(P)= 對(duì)于單色球面波，對(duì)于單色球面波， j(P)=kr )coscos(exp ),(yxjkAyxU 平面波在平面波在x和和y方向的方向的空間頻率空間頻率分別為分別為: cos1 ; cos1 Y f X f yx cos , cos 為波為波 矢的方向余弦矢的方向余弦 復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱(chēng)為復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱(chēng)為空間頻率空間頻率rk 菲涅耳衍射的三種表示菲涅

6、耳衍射的三種表示 U(x0, y0) * hF (x, y) = U(x, y) )( 2 exp)exp( 1 ),( 22 yx z k jjkz zj yxh F.T. F.T. F.T. A0(fx, fy) HF(fx, fy) = A (fx, fy) )(exp)exp( 22 yx ffzjjkz F.T.表達(dá)表達(dá) )( 2 exp),( 2 0 2 000 yx z k jyxU U(x, y) F.T. z y f z x f yx , 空域空域 孔徑平面孔徑平面 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)觀察平面觀察平面 cos , cos yx ff 頻域頻域 菲涅耳衍射菲涅耳衍射 （求衍射場(chǎng)的

7、表達(dá)式及其強(qiáng)度分布的近似方法）求衍射場(chǎng)的表達(dá)式及其強(qiáng)度分布的近似方法） 菲涅耳衍射等效于線性空不變系統(tǒng)菲涅耳衍射等效于線性空不變系統(tǒng) 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是: : 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是: : z yx jk zj jkz 2 exp )exp( 22 exp(jkz)exp-jz(fx2 + fy2) 夫瑯禾費(fèi)衍射夫瑯禾費(fèi)衍射 除了一個(gè)與傳播距離除了一個(gè)與傳播距離z及觀察面坐標(biāo)有關(guān)的位相因子以外及觀察面坐標(biāo)有關(guān)的位相因子以外,在在 給定距離給定距離z的平面上衍射場(chǎng)的分布正比于衍射屏透射光場(chǎng)的傅的平面上衍射場(chǎng)的分布正比于衍射屏透射光場(chǎng)的傅 里葉變換里葉變換, 其其振幅振幅及

8、及變換的尺度變換的尺度與距離與距離z有關(guān)有關(guān). 衍射圖樣的光強(qiáng)分布衍射圖樣的光強(qiáng)分布正比于孔徑透射函數(shù)的功率譜正比于孔徑透射函數(shù)的功率譜: z y f z x fyxU yx z k jjkz zj zyxU yx ,)0 ,( )( 2 exp)exp( 1 ),( 00 22 z y f z x fyxU z yxI yx ,),( 1 ),( 2 00 2 衍射圖樣的復(fù)振幅分布：衍射圖樣的復(fù)振幅分布： z y f z x fyxU yx z k jjkz zj zyxU yx ,)0 ,( )( 2 exp)exp( 1 ),( 00 22 透鏡的位相變換作用透鏡的位相變換作用 定義透鏡

9、的復(fù)定義透鏡的復(fù) 振幅透過(guò)率振幅透過(guò)率: ),( ),( ),( yxU yxU yxt l l P2面是會(huì)聚球面波分布面是會(huì)聚球面波分布: )( 2 exp)exp(),( 22 yx d k jjkdAyxU i il P1P2 S S S S P x-y O1 z P1面是發(fā)散球面波分布：面是發(fā)散球面波分布： )( 2 exp)exp(),( 22 0 0 yx d k jjkdAyxU l oil l dd yx k j yxU yxU yxt 11 )( 2 exp ),( ),( ),( 22 透鏡的相位透鏡的相位 變換因子變換因子： )( 2 exp 22 yx f k j ),

10、(yxUl),(yxUl o d i d P P 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛 面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都是傅里面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都是傅里 葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場(chǎng)都是夫瑯和費(fèi)型。葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場(chǎng)都是夫瑯和費(fèi)型。 我們特別關(guān)注物在透鏡前焦面我們特別關(guān)注物在透鏡前焦面, , 平面波照明（平面波照明（do=f, , di=f ） 的特殊情形。此時(shí)的特殊情形。此時(shí) 用單色平面波照明物體，用單色平面波照明物體，物

11、體置于透鏡的前焦面，則在物體置于透鏡的前焦面，則在 透鏡的后焦面上得到物體的準(zhǔn)確的傅里葉變換。透鏡的后焦面上得到物體的準(zhǔn)確的傅里葉變換。透鏡的后焦透鏡的后焦 面稱(chēng)為頻譜面。面稱(chēng)為頻譜面。 f y y f f x x f ff fff ff yxtc dydxy f y x f x jyxtcyxU , 00 000000 ),( 2exp),(),( 衍射受限的衍射受限的相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)是是光瞳函數(shù)的光瞳函數(shù)的傅里葉變換傅里葉變換 ) , ( j2-exp , ydxdPydxdyyxxydxdP,yxh iiiiiiii 衍射受限系統(tǒng)衍射受限系統(tǒng) 線性空不變的成像

12、系統(tǒng)線性空不變的成像系統(tǒng) 像的復(fù)振幅分布像的復(fù)振幅分布是是幾何光學(xué)理想幾何光學(xué)理想 像像和和系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的的卷積卷積： iiiigiii yxhyxUyxU, , 0 y 0 x ),( 00 yx i y i x ),( 00 MyMx 透鏡組透鏡組 x h 入瞳入瞳 出瞳出瞳 黑箱黑箱 i d 相干傳遞函數(shù)相干傳遞函數(shù):相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的傅里葉變換的傅里葉變換 Hc 與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 參數(shù)的關(guān)系參數(shù)的關(guān)系: , , yixiyxc fdfdPffH 對(duì)于實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)，有一個(gè)由光瞳大小決定的有限對(duì)于實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)，有一個(gè)由光瞳大小決定的有限 通頻

13、帶。比例變化通頻帶。比例變化( difx, dify)決定了決定了截止頻率截止頻率f0. Hc(fx, fy) = h(xi, yi) 非非相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，也稱(chēng)為，也稱(chēng)為強(qiáng)度脈沖響應(yīng)、強(qiáng)度強(qiáng)度脈沖響應(yīng)、強(qiáng)度 點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，是點(diǎn)物產(chǎn)生的衍射斑的強(qiáng)度分布。點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，是點(diǎn)物產(chǎn)生的衍射斑的強(qiáng)度分布。 強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)與強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)與相干成像相干成像 系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的關(guān)系： 2 , , iiiiI yxhyxh 非相干成像的物像關(guān)系非相干成像的物像關(guān)系: iiIiigiii yxhyxkIyxI, 光學(xué)傳遞函數(shù)（光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF） : 強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)展函

14、數(shù)的歸一化頻譜強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的歸一化頻譜 0 , 0 , , I yxI yx H ffH ff 第二部分第二部分 基本技能基本技能 簡(jiǎn)單和復(fù)合孔徑的數(shù)學(xué)描述簡(jiǎn)單和復(fù)合孔徑的數(shù)學(xué)描述 矩孔、圓孔、單縫、位相板等；它們的中心位置、縮放比例及矩孔、圓孔、單縫、位相板等；它們的中心位置、縮放比例及 其它參數(shù)其它參數(shù) 多孔、多縫、線光柵、余弦光柵等；它們的各種參數(shù)多孔、多縫、線光柵、余弦光柵等；它們的各種參數(shù) 線光柵的線間距線光柵的線間距 余弦光柵的空間頻率、調(diào)制度、尺寸余弦光柵的空間頻率、調(diào)制度、尺寸 會(huì)用單個(gè)孔徑函數(shù)與會(huì)用單個(gè)孔徑函數(shù)與d d函數(shù)或梳狀函數(shù)的卷積表示重復(fù)性孔函數(shù)或梳狀函數(shù)的卷積表示

15、重復(fù)性孔 徑徑 多縫和矩形光柵的縫寬、縫間距、縫數(shù)多縫和矩形光柵的縫寬、縫間距、縫數(shù) 脈沖函數(shù)的運(yùn)算脈沖函數(shù)的運(yùn)算 乘積性質(zhì)：乘積性質(zhì)： 設(shè)設(shè)f f (x)在在x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù), 則則: f f x)d d (x-x0) = f f x0)d d (x-x0) 任意函數(shù)與任意函數(shù)與d d函數(shù)的乘積函數(shù)的乘積,是幅度變化了的是幅度變化了的d d函數(shù)函數(shù) f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) 包含脈沖函數(shù)的卷積包含脈沖函數(shù)的卷積: 任意函數(shù)與任意函數(shù)與d d函數(shù)的卷積函數(shù)的卷積,是將該函數(shù)位移到是將該函數(shù)位移到d d函數(shù)所函數(shù)所 在的位置在的位置 卷積和相關(guān)的運(yùn)算卷積和相關(guān)的運(yùn)算

16、 )()( ) () ()( xhxf dxhfxg xxx 有限寬度的兩個(gè)函數(shù)，卷積有限寬度的兩個(gè)函數(shù)，卷積 后的寬度通常是兩函數(shù)寬度后的寬度通常是兩函數(shù)寬度 的和的和 卷積的位移不變性卷積的位移不變性： 若若f(x)*h(x) = g(x), 則則 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0) f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) 包含脈沖函數(shù)的卷積包含脈沖函數(shù)的卷積: 基本卷積基本卷積：rect(x)*rect(x)=tri(x) 相關(guān)運(yùn)算主要化為卷積進(jìn)行，并結(jié)合相關(guān)運(yùn)算主要化為卷積進(jìn)行，并結(jié)合O

17、TF性質(zhì)性質(zhì) 常用基本函數(shù)的傅里葉變換和逆變換常用基本函數(shù)的傅里葉變換和逆變換 要求會(huì)利用傅里葉變換的性質(zhì)和卷積定理，借助圖解，要求會(huì)利用傅里葉變換的性質(zhì)和卷積定理，借助圖解， 計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的卷積和傅里葉變換計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的卷積和傅里葉變換 利用傅里葉變換的性質(zhì)和定理求較復(fù)利用傅里葉變換的性質(zhì)和定理求較復(fù) 雜函數(shù)的傅里葉變換和卷積雜函數(shù)的傅里葉變換和卷積 會(huì)用圖解表示會(huì)用圖解表示 卷積定理卷積定理 平面波和球面波復(fù)振幅的數(shù)學(xué)描述平面波和球面波復(fù)振幅的數(shù)學(xué)描述 )coscos(exp ),(yxjkAyxU 平面波：平面波： 注意注意A,k, , 各代表什么，如果給定的是光強(qiáng)度，應(yīng)當(dāng)如何表示各

18、代表什么，如果給定的是光強(qiáng)度，應(yīng)當(dāng)如何表示 球面波：球面波： 已將球面波中心S取在 z0 = 0的平面, 且光波沿 z 軸正方向傳播. 如果 z 0, 上式代表從 S 發(fā)散的球面波. 如果 z 0, 上式代表向 S 會(huì)聚的球面波. 2 0 2 0 0 )()( 2 exp)exp(),()(yyxx z k jjkz z a yxUPU 對(duì)給定平面 是常量 隨x, y變化的二次位相因子 球面波特征位相 簡(jiǎn)單孔徑和光柵的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣簡(jiǎn)單孔徑和光柵的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣 計(jì)算和畫(huà)圖計(jì)算和畫(huà)圖 照明條件：振幅為照明條件：振幅為A的單色平面波垂直照明的單色平面波垂直照明 夫瑯和費(fèi)夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的衍射

19、圖樣的 強(qiáng)度分布：強(qiáng)度分布： 2 2 2 ,),(),( z y z x T z A yxUyxI 透鏡焦平面復(fù)振幅分布: f y f x Tyx f d f k j fj A yxU ff fffff , )(1 2 exp),( 22 0 若僅考察后焦面上的光強(qiáng)度分布若僅考察后焦面上的光強(qiáng)度分布,則則 , 2 2 f y f x TU ff f 是物體分布是物體分布t (x0, y0)的能量譜密度的能量譜密度 要會(huì)做單縫、雙縫、矩孔、矩形光柵、余弦光柵等要會(huì)做單縫、雙縫、矩孔、矩形光柵、余弦光柵等 簡(jiǎn)單光瞳的相干簡(jiǎn)單光瞳的相干/光學(xué)傳遞函數(shù)及光學(xué)傳遞函數(shù)及 相應(yīng)的截止頻率相應(yīng)的截止頻率 對(duì)于對(duì)稱(chēng)光瞳，沿某方向的相干截止頻率對(duì)于對(duì)稱(chēng)光瞳，沿某方向的相干截止頻率