1、自動(dòng)控制理論頻域伯德圖 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖2 表示系統(tǒng)頻率特性的圖形有三種： l對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 l極坐標(biāo)圖 l對(duì)數(shù)幅相圖 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖3 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖4 l把頻率特性的乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榧訙p運(yùn)算； l在對(duì)系統(tǒng)作近似分析時(shí)，一般只需要畫(huà)出 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，從而大大簡(jiǎn) 化了圖形的繪制； l用實(shí)驗(yàn)方法，將測(cè)得系統(tǒng)頻率響應(yīng)的數(shù)據(jù) 畫(huà)在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上。根據(jù)所作出的曲線， 估計(jì)被測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖5 如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)以時(shí)間常數(shù)形式表示，則與 之相對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 一般由下列五 種典型因子組成。 jHjG l比例因子 K l一階因子 l微分和積分因子 l二

2、階因子 l滯后因子 1 1 Tj 1 j 1 2 21 nn TjjT j 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖6 1 1 比例因子比例因子 比例因子的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條幅值為20lgK分貝，且 平行于橫軸的直線，相頻特性是一條和橫軸重合的直線，相 角為00。K1時(shí)，20lgK0dB；K1時(shí)，20lgK0dB。 ()L () 2 0 lg K 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 KjG 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖7 2 2 積分因子積分因子 當(dāng)=1時(shí) 當(dāng)=10時(shí) 當(dāng)=100時(shí) 每增加10倍，L()則衰減20dB，記為： 20dB/十倍頻程，或-20dB/dec。 說(shuō)明積分環(huán)節(jié)

3、的對(duì)數(shù)幅頻曲線是一條經(jīng)過(guò)橫軸 上=1這一點(diǎn)，且斜率為-20的直線。 j 1 jG dB20lg j 1 20lgjG20lgL dB020lg1L dB0220lg10L dB0420lg100L 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖8 相頻與無(wú)關(guān)，值為-90且平行于橫軸的直線。 ()L () 0 .1 0 .1 2 0 1 0 1 0 0 9 0 0 1 1 2 0 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖9 3 微分因子微分因子 微分環(huán)節(jié)是積分環(huán)節(jié)的倒數(shù)，它們的 曲線斜率和相位移也正好相差一個(gè)負(fù)號(hào)。 jjG ()L () 0 .1 1 0 .1 1 0 1 00 2 0 9 0 1 2 0 0 2 0 自動(dòng)控制理論頻域伯

4、德圖10 4 4 一階因子中慣性環(huán)節(jié)一階因子中慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性為 慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性 在 時(shí)（低頻段）： 近似地認(rèn)為，慣性環(huán)節(jié)在低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性 是與橫軸相重合的直線。 Tj1 1 jG 22 22 1lg20 1 1 lg20 1 1 lg20T T Tj T 1 dB020lg1T120lg 22 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖11 在 時(shí)（高頻段）： 幅頻特性：幅頻特性： 表示一條經(jīng)過(guò) 橫軸處，斜率為-20dB/dec的直 線 方程。 綜上所述：綜上所述：慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可以用在 處相交于0分貝的兩條漸近直線來(lái)近似表示： 當(dāng) 時(shí)，是一條0分貝的直線； 當(dāng) 時(shí)，是一條斜率為-

5、20dB/dec的直線。 T 1 dBT20lgT120lg 22 T 1 T 1 T 1 T 1 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖12 兩條漸近線相交處的頻率 稱(chēng)為轉(zhuǎn)折頻率 或交接頻率。 ()L () 10 0 0 90 45 1 T 20 精確曲線 dB T 1 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖13 慣性環(huán)節(jié)的相頻特性 當(dāng)=0時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 趨于 無(wú)窮時(shí)， 趨于-90。 采用漸近線在幅頻曲線上產(chǎn)生的誤差是可以計(jì)算 的。幅值的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率 處，近似等 于3dB。 Tarctan o 0 T 1 o -45 T 1 dB3.0110lg21120lg 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖14 5 一階比例微分

6、因子一階比例微分因子 一階比例微分因子的頻率特性（1+jT） 與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)關(guān)系，此 其對(duì)數(shù)幅頻曲線和相頻曲線僅差一負(fù)號(hào)。即 Tj1jG 22T 120lgTj120lg Tarctan 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖15 一階微分環(huán)節(jié)高頻漸近線的斜率是+20dB/dec，其 相位變化范圍由0（=0）經(jīng)+45至90（=） ()L () 1 10T 1 10T 1 T 1 T 10 T 10 T 20 90 45 0 20 0 ()L () dB 1 10T 1 10T 1 T 1 T 10 T 10 T 20 90 45 0 20 0 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖16 6 6 二階因子二階因子

7、( (二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)) ) 對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性 對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)相頻特性 低頻段，即低頻段，即Tn1時(shí)時(shí) 當(dāng)增加10倍 即高頻漸近線是一條斜率為-40dB/dec的直線。 當(dāng) 時(shí) 說(shuō)明 為二階系統(tǒng)(振蕩環(huán)節(jié))的轉(zhuǎn)折頻率。 2 n 2 2 2 n T2T120lgL )lg(40)lg(20)( 2 2 nn TTL n T 1 n )(01lg40lg40)(dBTL n n T 1 n nn T40lg40T40lg10)(L 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖18 l。 101 10 0 90 180 () 10 1.0 0 )(L 2.024688.06.04.0 n / 1.0 2

8、.0 3.0 7.0 1 1.0 2.0 3.0 7.0 1 dB -40dB/dec 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖19 可見(jiàn)：當(dāng)頻率接近 時(shí)，將產(chǎn)生諧振峰 值。阻尼比的大小決定了諧振峰值的幅值。 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率 附近產(chǎn)生諧振峰值 可通過(guò)下列計(jì)算得到： n T 1 n r jG 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖20 振蕩環(huán)節(jié)的幅頻 特性為 其中 ： 當(dāng)出現(xiàn)揩振峰值時(shí)， 有最大值，即 有最小值。 得到 諧振頻率 式中， g 1 T2T1 1 jG 2 n 2 22 n 2 n 2 22 n T2T1g jG g 0T2T1 d d d dg2 n 2 22 n 2 n 2 n r 2121 T

9、 1 2 1 0 n n T 1 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖21 將 代入 ，不難求得 。 因此，在=r處 具有最小值， 有最大值。 諧振峰值 諧振頻率r及諧振峰值Mr都與有關(guān)。越小, r越 接近n, Mr將越大。當(dāng)0.707時(shí)，r為虛數(shù)，說(shuō)明不 存在諧振峰值，幅頻特性單調(diào)衰減。當(dāng)=0.707時(shí)， r=0，Mr=1。0，Mr1。 0時(shí)，r n，Mr。 2 nr 21 2 2 d gd 0 d gd 2 2 g jG 2 rr 12 1 jGM 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖22 振蕩環(huán)節(jié)相頻特性 相角 是和的函數(shù)。在= 0， 當(dāng) 時(shí)，不管值的大小， ；當(dāng)= 時(shí)， 。相頻曲線對(duì)-90的彎曲點(diǎn)是斜對(duì)稱(chēng)的。 0

10、 o 90 o 180 n 22 1 2 arctan n T Tn 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖23 7 7 滯后因子滯后因子 幅頻特性幅頻特性 相頻特性相頻特性 Tj ejG dB020lg1jG20lgL 0 T57.3T(rad) 1 T 10 T 1 10T () 0 100 200 300 400 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖24 sGsGsGsG n 21 jGjGjGL n lg20lg20lg20 21 jGjGjG n argargarg 21 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖25 繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖伯德圖 基本步驟： 把系統(tǒng)的頻率特性改寫(xiě)成各典型因子的 乘積形式，畫(huà)出每個(gè)因子的

11、對(duì)數(shù)幅頻和相頻 曲線，然后進(jìn)行同頻率疊加，即得到該系統(tǒng) 的伯德圖。 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖26 1 )(L 10100 20 40 20 0 90 45 180 )( ) 11 . 0( 10 )( jj jG 例1： 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖27 l寫(xiě)出開(kāi)環(huán)頻率特性的表達(dá)式，把其所含各因子的轉(zhuǎn) 折頻率由小到大一次標(biāo)注在頻率軸上； l繪制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線。漸近線由若干條 分段直線所組成，其低頻段的斜率為-20vdB/dec， 其中v為積分環(huán)節(jié)數(shù)。在w=1處，L（w）=20lgK 。 以低頻段作為分段直線的起始段，從它開(kāi)始，沿著 頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率就改變一次 分段直線的斜率

12、。如遇到 因子的轉(zhuǎn)折頻 率 ，當(dāng) 時(shí)，分段直線斜率的變化量 為-20dB/dec；如遇到 因子的轉(zhuǎn)折頻 率 ，當(dāng) 時(shí)，分段直線斜率的變化 量為+20dB/dec。 1 1 1 Tj 1 /1T 1 /1T 2 1Tj 2 /1 T 2 /1T 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖28 l分段直線最后一段是開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線的高 頻漸近線，其斜率為-20（ n-m）dB/dec，其 中n為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)，m為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零 點(diǎn)數(shù)。 l作出以分段直線表示的漸近線后，如果需要， 再按照各典型因子的誤差曲線對(duì)相應(yīng)的分段 直線進(jìn)行修正，就可得到實(shí)際的對(duì)數(shù)幅頻特 性曲線。 l作相頻特性曲線。根據(jù)開(kāi)環(huán)相頻特性的表達(dá) 式，在

13、低頻、中頻及高頻區(qū)域中各選擇若干 個(gè)頻率進(jìn)行計(jì)算，然后連接成曲線。 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖29 例例5-2 5-2 已知一反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞已知一反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞 函數(shù)為函數(shù)為 試?yán)L制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直試?yán)L制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直 線線 表示）。表示）。 解解 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 ss s sHs 5.01 1.0110 G jj j jHj 5.01 1.0110 G 由此可知，該系統(tǒng)是由比例、積分、一階比例微分 和慣性環(huán)節(jié)所組成。它的對(duì)數(shù)幅頻特性為 2 2 1 . 01205 . 0120lg2010lg20L 自動(dòng)控制理論頻域伯

14、德圖30 1）由于v=1，因而漸近線低頻段的斜率為- 20dB/dec。在w=1處，其高度為20lg10=20dB。 2）當(dāng)w=2時(shí)，由于慣性環(huán)節(jié)，使分段直線的斜率 變?yōu)?40dB/dec。同理，由于一階比例微分環(huán)節(jié)，當(dāng) w=10時(shí)，使分段直線的斜率變?yōu)?20dB/dec。 10 arctan 2 arctan900 系統(tǒng) 的相頻特性為 0 86.110W=1 0 7 .123W=10 0 90W=無(wú)窮大 0 90W=0 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖31 P116 圖5-17 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖32 四、最小相位系統(tǒng)四、最小相位系統(tǒng) 1. 定義：定義： 在系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中，沒(méi)有位于S右半平

15、面的 零點(diǎn)和極點(diǎn)，且沒(méi)有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)為最小 相位系統(tǒng)，反之為非最小相位系統(tǒng)。 2. 最小相位系統(tǒng)特征：最小相位系統(tǒng)特征： a在在nm且幅頻特性相同的情況下，最小相位且幅頻特性相同的情況下，最小相位 系統(tǒng)的相角變化范圍最小。系統(tǒng)的相角變化范圍最小。 這里n和m分別表示傳遞函數(shù)分母和分子多項(xiàng)式 的階次。 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖33 例如例如 兩個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為（T1T20） 它們的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性為 ST1 ST1 SG 1 2 1 ST1 ST1 SG 1 2 2 2 1 2 21 T120lgT120lgL 2 1 2 22 T120lgT120lgL 211 TarctanT

16、arctan 212 TarctanTarctan ()L () 1 1 1 T 2 2 1 T 2 0 0 9 0 1 8 0 d B 0 1 G 2 G 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖34 顯然,兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性一樣，但相頻特性不同。由 圖可見(jiàn)， 的變化范圍要比 大得多。 最小相位系統(tǒng) 非最小相位系統(tǒng) 2 1 )( 1 sG )( 2 sG ()L () 1 1 1 T 2 2 1 T 2 0 0 9 0 1 8 0 d B 0 1 G 2 G 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖35 b、當(dāng)當(dāng)時(shí)，其相角等于時(shí)，其相角等于-90（n-m），），對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) 幅頻特性曲線的斜率為幅頻特性曲線的斜率為20(nm)dB

17、/dec。有時(shí)用這 一特性來(lái)判別該系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。 c、對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在確定的對(duì)對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在確定的對(duì) 應(yīng)關(guān)系。應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一個(gè)最小相位系統(tǒng)，我們?nèi)糁懒似?幅頻特性，它的相頻特性也就唯一地確定了。也就 是說(shuō)：只要知道其幅頻特性，就能寫(xiě)出此最小相位 系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，而無(wú)需再畫(huà)出相頻特性。 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖36 Tj K jG 1 1. 0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性低頻漸近線為一條xdB的水平線 2 1lg20lg20TKL 則其對(duì)數(shù)幅頻特性的表達(dá)式為 0型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 Kxlg20 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖37 Tjj K jG 1

18、2. 型系統(tǒng) 型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn)： 2 1lg20lg20lg20TKL 則其對(duì)數(shù)幅頻特性的表達(dá)式為 型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 Klg20 1）低頻漸近線的斜率為20dB/dec； 2）低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）在）低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）在w=1處的縱坐標(biāo)處的縱坐標(biāo) 為為 ； 3）開(kāi)環(huán)增益）開(kāi)環(huán)增益K在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其 延長(zhǎng)線）與延長(zhǎng)線）與0dB線相交點(diǎn)的頻率值。線相交點(diǎn)的頻率值。 自動(dòng)控制理論頻域伯德圖38 Tjj K jG 1 2 3. 型系統(tǒng) 型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn)： 2 1lg20lg40lg20TKL 則其對(duì)數(shù)幅頻特性的表達(dá)式為 型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 Klg20 1）低頻漸近線的斜率為40dB/dec； 2）低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）在）低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）在w=1處的縱坐標(biāo)處的縱坐標(biāo) 為為 ； 3）開(kāi)環(huán)增益）開(kāi)環(huán)增益K在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其 延長(zhǎng)線）與延長(zhǎng)線）與0dB線相交點(diǎn)的頻率值的平方。線相交點(diǎn)的頻率值的平方。 自動(dòng)控