1、本科畢業論文題目： 函數的性質及應用 學院： 數學與計算機科學學院 班級： 數學與應用數學2007級1班 姓名： 和成功 指導教師： 陳慧琴 職 稱： 教 授 完成日期： 2011 年 5 月 16 日 函數的性質及應用摘要：函數是數學分析中補充的最重要的超越函數之一，在求解定積分，無窮積分和含參變量積分中有巧妙的應用.此外函數在概率統計中很多的常見分布(正態分布，laplace分布)的概率密度函數都含有指數函數在求其數字特征時，利用函數會使計算簡單有效.但是在文獻1中只是簡單介紹函數的基本表達式等基本性質.本文將首先介紹函數的兩種等價定義，證明其等價性，然后把函數的定義推廣到復平面上討論.

2、關鍵詞：函數；定積分；無窮積分；含參變量積分 目錄一、函數的兩種等價定義 1（一）定義11 定義21 推廣定義2（二）證明定義1和定義2的等價性2二、函數的性質 3 （一）連續性3（二）可微性3 （三）運算性質4三、性質的應用5（一）連續性的應用5（二）函數與函數的關系的應用6（三）函數在積分運算中的應用7（四）應用函數求解含參變量無窮積分7（五）函數應用在討論積分的斂散性中8（六）函數在概率論中的應用9四、結束語 11參考文獻 1112首先介紹函數在實數域中的兩種等價定義，在討論它們的定義域，然后推廣到復數域.一、函數的兩種等價定義（一）定義1 函數最初由euler(1927)以無窮積分的形

3、式所定義并有legendre所命名.設是所有異于0及負整數的實數所組成的集合，對于任一把函數定義為： ,. (1)定義2 legendre也把第二類型euler積分 ， (2)定義為函數，這也是最常見的函數的定義.討論常見函數定義2的定義域，即考察一下函數的收斂區間.有如下結論：在上收斂，在上發散.因為時，是瑕點，一般把函數寫成如下兩個積分之和 .其中，.對于，當時，是定積分，當時，是被積函數t的瑕點.由于，時，而在時是收斂的，所以也收斂.因積分是一個無窮積分，對于任意的，有.由無窮限積分斂散性判別法知，積分當時收斂，由上述討論可知，同時收斂的區域為，所以的定義域為.推廣定義 可以在復數域內討

4、論函數.將(2)式中的換成復數，得到 . (3)易知這樣所定義的在右半平面上處處解析.特別地，當是正實數時即得到(2)式所描述的函數.因此，我們也可以把看成復數形式的函數，他是實數形函數是推廣.如果把(1)式中的變量換成復數，得到的相應函數的形式為 . ()()在時，()與(3)式是恒等的.whittaker為了將(3)式推廣到左半平面，得出了如下表達式，.（二）證明定義1和定義2的等價性下面證明(1)和(2)式是恒等的. 這也是legendre把(2)式中的廣義積分定義為函數的原因.證 由(1)式無窮乘積的普通因子為.對于任一，因為級數絕對收斂，所以(1)的無窮乘積絕對收斂，所以對于每個，有

5、確定的值.(1)式中前項部分乘積有如下形狀.由此即得到eulergauss公式，x. (4)寫出的類似表達式，整理得.得到重要的遞推公式 . (5)利用等式將(2)式寫為(x) .反復利用分部積分法，得到.所以.即證明了(2)與(4)的恒等性. 因為(1)與(4)恒等，所以當時，(1)，(2)恒等.（當然當且時，積分是發散的.不能代表(1)，(2)所確定的函數）.二、函數的性質（一）連續性 在任何閉區間上，對于函數當時有由于收斂，所以在上一致收斂；對于，當時，有，因為收斂，所以在上也一致收斂，所以在上連續. （二）可微性 用相同的方法討論積分.它在任何閉區間上一致收斂.于是由文獻1定理19.1

6、0含參量反常積分的可微性.得到在上可導，由的任意性，在上存在任意階導數，.同樣可以推導出在上存在著任意階導數 ， . （三）運算性質性質1 .（已證） 性質2 .性質3 是凸函數.證 由hlder不等式知，若，則對任意可積函數成立.令, 則. 所以得到.即 .所以 .從而是凸函數.注 性質1、2、3不僅僅是函數的必要條件，還是函數的充分條件.即若函數定義在上，如果滿足(1);(2)，;(3)是凸函數, 則. 性質4 若 則.證 由定義（2）及，得.性質5 ，且是常數，函數是嚴格單調遞增的.證 令.由中值定理知, 存在, 有.因此：.即 即是嚴格單調遞增的.余元公式及結論 .所以.三、性質的應用

7、函數可以應用在部分積分運算中和討論一些積分的斂散性中，在此類題目中如果能結合函數將起到事半功倍的效果.（一）連續性的應用 用函數的連續性來證明函數的連續性.函數與函數之間的關系為.由在定義域內連續,在定義域內亦連續,所以在，內連續,即是關于，的二元連續函數,而是由和復合而成的二元連續函數,應用函數與函數之間的關系知,在定義域，內連續.例1 證明 .證 應用上述關系知，.所以+.（二）函數與函數的關系的應用函數與函數的關系的及例1的結論可以在解決某些極限符號與積分符號可交換中應用.例2 設函數列，證明:.證 因為 所以 ，.對任意，構造數項級數.由于.而，所以數項級數收斂.由級數收斂的必要條件知

8、.所以當時，.從而.由文獻1知，所以.由函數與函數的關系知.于是.（三）函數在積分運算中的應用 例3 求積分，.解 令，則 令, 則，所以. 評：本題應用函數的基本性質來解答，如果應用常規解法將會陷入多次引用分部積分，有可能不能求解，應用函數的辦法主要是看出與函數形式上的相同點，應用之可以快速的解答.利用性質四及函數的定義可以解下來積分：例4 求.解 令，則.例5 求.解 令，則.（四）應用函數求解含參變量無窮積分例6 求無窮積分.解 方法1我們先根據含參變量積分的性質來求其結果，令，對其求導得.令u ，則 .即=，兩邊同時積分得，再來求常數.在中，令則=，所以. 方法2 這是一個含參變量無窮

9、積分，為參數，假設0，令 ，則，.所以.上式中第一個積分因為被積函數是偶函數，所以為，第二個積分被積函數是奇函數，所以等于零.所以，當時，可同樣討論.（五）函數應用在討論積分的斂散性中例7 討論積分的斂散性.解 令， 則 ，則=.由本文前面的討論知道在上收斂.所以本題中當時該積分收斂.（六）函數在概率論中的應用我們經常在求解概率分布、數學期望、方差、密度分布函數等，回遇到數學形式比較復雜的積分，常規方法不易求得，這時想到和函數聯系起來，可以有效的求解概率論中的具體問題.為此應用到函數的另一種表達法，.以及正態分布計算中常用到概率積分=.例8 設連續隨機變量，證明：，.因為，所以其概率密度為，.

10、方法一 利用上述積分計算.同理可得.方法二 可以直接利用函數計算.=.應用在求隨機變量的矩例9 隨機變量服從laplace分布，其概率密度為=，求，為正整數.解 .對進行討論，當為奇數時，為奇函數; 當為偶數時，為偶函數，易知為絕對收斂的.所以當為奇數時，當為偶數時，有.特殊時，所以.在概率論中的三大分布都與函數有關，現只用函數表示分布，設，設為的一個樣本，先記它們的平方和為，即，則稱為服從參數為的分布，記為，分布的概率密度由函數表示為.四、結束語 從本文來看，函數有著豐富的性質，只要熟練的了解這些性質并能靈活的運用之，對于解決類似所舉例子的問題將會有另一種思路，對于提高發散思維有極大的裨益.

11、參考文獻:1 華東師范大學數學系.數學分析(第二版)m.北京:高等教育出版社.2000年.2 王聲望，鄭維行.實變函數與泛函分析概要（第三版）m.北京:高等教育出版社.3 徐群芳.函數在概率論計算中的應用j.西安聯合大學學報.2002, (4): 64-66.4 張占通等.函數表示法j.工科數學.1994. no3：193-196.5 紀榮芳.函數的性質及應用j.泰安師專學報.2002.5 第24卷第3期，12-15.6 沈京一. 函數性質的探討j.常州工業技術學院學報(自然科學版).1990.no.2.53-55.7 胡春華.利用函數求積分j.高等數學研究.2005,8（4）.31-33.8

12、 陳超平等. 關于函數的一個凸性結果及其應用j. 數學研究與評論.2006.5,第26卷第2期，361-362.9 frenzer. c. l error bounds for asymptotic expansions of the ratio of two gamma functions j.slam j. math. anal.1987, 890-893.10 bullenp p. s. a dictionary of inequalities j.pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics 97, wesl

13、ey longman limited 1998.the properties and application of function abstract: function is the mathematical analysis complement of one of the most important beyond function in solving the definite integral depending on a parameter, infinite integrals and contain in integral have clever applications. i

14、n addition function in probability and statistics in many common distribution (normal distribution, laplace distribution) the probability density function of contain index function. asking the figure features, use function will make simple calculation effective. but in reference 1 function is introduced simply the basic expressions etc. this will be the first basic properties of function introduced two equivalent definitions and prove the equivalence, function is defined extended to co