1、數(shù)列2. an是首項ai = 1，公差6 = 3的等差數(shù)列，如果 an = 2005，則序號n等于一、數(shù)列的概念(1) 數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作an ,在數(shù)列第一個位置的項叫第 1項(或首項)，在第二個位置的叫第2項，序號為n的項叫第n項(也叫通項)記作 an ； 數(shù)列的一般形式：a1, a2, a3, , a , ，簡記作 aj。(2) 通項公式的定義：如果數(shù)列 an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式 就叫這個數(shù)列的通項公式。(A) 667( B) 668(C) 669(D) 670例如：1 , 2 , 3 , 4,

2、51111：1,丄,丄，丄，丄2 3 4 5說明：an表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項，an= f (n)表示數(shù)列的通項公式； n !-1,n=2k1an=(1)nJ“ (Z)；+1, n =2k1.41 , 1.414 ,同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如,不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1 , 1.4 ,(3 )數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集 開始依次取值時對應的一系列函數(shù)值f (1), f (2), f (3),是一群孤立點。N+(或它的有限子集)的函數(shù) f(n)當自變量n從1 , f(n),.通常用an來代替f (n),其圖象(4)數(shù)列分類

3、：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小 關系分：例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列?(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5)數(shù)列 an的前n項和Sn與通項an的關系：an二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第 Z項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這 個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為an an4 =d(n 2)或a a. =d(n

4、卻)例：等差數(shù)列an =2n -1 , an -an斗=(二)、等差數(shù)列的通項公式：an =6 +(n- 1)d ；說明：等差數(shù)列(通常可稱為A P數(shù)列)列。例：1.已知等差數(shù)列中，a 0為遞增數(shù)列，d = 0為常數(shù)列，de 0為遞減數(shù)= 16, a4 =1,貝U a12 等于()643.等差數(shù)列 an = 2n- 1,bn = -2n+ 1，則 an 為.或“遞減數(shù)列”)(三)、等差中項的概念：bn為.a + b定義：如果a , A , b成等差數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項。其中 A=丄上2例：1.(填“遞增數(shù)列”a + bA , b 成等差數(shù)列二：A = 即: 2aH = an +

5、a2(06全國I )設a是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 ai + a2+a3 = 15,印&2&3 = 80，則an+a+as()(2an = an_m + an知)120A .(四)、等差數(shù)列的性質(zhì):(1).105C. 90.75(4)在等差數(shù)列an中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項; 在等差數(shù)列a中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列；在等差數(shù)列an中，對任意m ,在等差數(shù)列an中，若(五)、等差數(shù)列的前(Sn = An2 + Bn遞推公式：SnnWN +,an = am +(n- m)d ,. an _ amd = (mH n);n- mn= p十 q，貝y am+ a a aq

6、；_ n(aan) -2(A,B為常數(shù))=aj是等差數(shù)列n和的求和公式:Sn心1+ an )n (am + ann例：1.如果等差數(shù)列(A) 142.A.3.(2009湖南卷文)13a?中，aa a12,(B) 21設Sn是等差數(shù)列.35na1+ 込i)d=n2 +(aj) n。2 2 2那么印+ a2 + . + a7 =(C) 28(D) 35aJ的前n項和，已知a2 = 3, a 11，則S等于().4963(2009全國卷I理)設等差數(shù)列0 , dv0 時，Sn 有最大值；aG , d0 時，（2） Sn最值的求法：若已知 S1 , Sn的最值可求二次函數(shù)可用二次函數(shù)最值的求法（nW

7、N+）；或者求出Sn有最小值;a/中的正、負分界項，即:若已知an ,則Sn最值時n的值（n N+）可如下確定0或 0, Si3 吒0求出公差指出S1,3. (02上海)項的和最大。d的范圍,S2,Si2中哪一個值最大，并說明理由。設 an （n N）是等差數(shù)列，S是其前n項的和，且 Sv Se, &= S7Ss,則下列結論錯誤的是（）A.d S5D.S6與S7均為Sn的最大值4.已知數(shù)列即的通項（n迂N *），則數(shù)列aj的前30項中最大項和最小項分別是通項公式:推廣：an1.在等比數(shù)列5.已知an是等差數(shù)列，其中ai =31，公差d = -8。2.3.（1）數(shù)列an從哪一項開始小于0?在等比

8、數(shù)列（07重慶文）（A） 2=anqn_)an = a1 qn_m=am qtaj 中，a1 = 4,q= 2，則 a. =aj 中，a7 = 12,q =2 ,則 a =.在等比數(shù)列an中，32= 8，a1 = 64,，則公比q為()(B) 3(C) 4( D) 8（2）求數(shù)列an前n項和的最大值，并求出對應 n的值.4.在等比數(shù)列aj中，a2 = 2，as =54，則a8 =5.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項6=3，前三項和為21,則a3+a4+a5=（）（十）.利用an（n二1）求通項.（n 2）A 33 B 72 C 84 D 189（二）、等比中項：若三個數(shù) a,b,c成等比數(shù)

9、列，則稱b為a與c的等比中項，且為b=-JlC，注：b2 = ac是1.數(shù)列an的前n項和Sn=n2+1. （1）試寫出數(shù)列的前 5項；（2）數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？（ 3）你能寫出成等比數(shù)列的必要而不充分條件數(shù)列an的通項公式嗎?例：1.2 + J3和2-43的等比中項為（）(A)1(B)1(C)二 1(D)222.設數(shù)列an的前n項和為S=2n，求數(shù)列an的通項公式;2. （2009重慶卷文）設 a是公差不為0的等差數(shù)列, = 2且a1,a3,a6成等比數(shù)列，貝Haj的前n3. （2010安徽文）設數(shù)列aJ的前n項和Sn = n2，則a8的值為（項和Sn=()(A) 15(B) 16(C)

10、49(D)6414、2005北京卷）數(shù)列an的前n項和為S，且81=1， an41 =Sn，n=1，2， 3，求a?，a3，a4的值及3B.n2 5n+ 33C.n2 3n+ 242D. n2+ n（三）、等比數(shù)列的基本性質(zhì),數(shù)列an的通項公式.p + q，貝Uam Gn=ap aq (其中 m,n, p,q迂 N*)、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起 ，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比：公比通常用字母q 表示(qHO)，即：ah：an=q(q = O)例:（一）、遞推關系與通項公式nmanq =am2ananm a

11、n+man 為等比數(shù)列，aj既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 u aj是各項不為零的常數(shù)列則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列1在等比數(shù)列aJ中，4和a10是方程2x2+5x+1 = 0的兩個根，則a4 a =（）（心(B)乎1（巧2.在等比數(shù)列a，已知印=5, a9a1100，則a18 =（3）通項公式法：an = k qn （k,q為常數(shù)）=aj為等比數(shù)列;3.等比數(shù)列an的各項為正數(shù)，且+&4&7 =18 廁 logsd+ Iog3a2+|H + log3a10 =()（4）前n項和法：Sn=k（1qn） （k,q為常數(shù)）=aj為等比數(shù)列。A . 12 B . 10 C . 8D . 2+ log

12、3 5Sn=k-kqn （k,q為常數(shù)）=aj為等比數(shù)列。4. （2009廣東卷理）已知等比數(shù)列an滿足 an 0,n=12 川且比 a2n_5 = 2 (n H 3)，則當 n 31時，log2 a1 +Iog2a3 +HI+log2 a2n=A. n(2n1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2（四）、等比數(shù)列的前n項和,A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷22.已知數(shù)列an滿足an書=an an+2(an H 0)，則數(shù)列an為()A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3.已知一個數(shù)列an的前n項和Sn= 2-2n*，則數(shù)

13、列an為（)A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷例：1.已知數(shù)列an的通項為an = 2n，則數(shù)列an為（）Sn 十1(1-qn).1q(q=1)a1 anq(q =1)例：1.已知等比數(shù)列an的首相a1 =5，公比q = 2，則其前n項和（n迂N），則f（n）等于（） .|（8n-1）D . |（8n-1）n項和為S,若S + S = 2S9,求數(shù)列的公比 q;2. （2006年北京卷）設A. 2（8n1）3. （1996 全國文，21）f(n)=2 +24 +27 +210 十|+23如B. 2(8n+ _1) C設等比數(shù)列 an的前（五）.等比數(shù)列的前n項

14、和的性質(zhì)若數(shù)列 J !是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，kWN例：1. （ 2009遼寧卷理）設等比數(shù)列 an的前nA. 2 B.73 C.83D.3Sn =，那么Sk , S2k Sk， S3k S2k成等比數(shù)列項和為S，若33 =3 ,則四、(1).例：1求數(shù)列通項公式方法公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項已知等差數(shù)列an滿足：a 7,a a7 = 26,求an ；22.等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且 2印+ 3&2 = 1, a3 = 9&2&6，求數(shù)列an的通項公式3.已知數(shù)列an滿足a1= 2,a2=4且an+2a =a2（nN*）,求數(shù)列a的通項公式;4.已知數(shù)列an

15、滿足a1 = 2,且務比5n* = 2（an-5n）（ n N）,求數(shù)列aj的通項公式;2. 一個等比數(shù)列前A. 83 Bn項的和為108 C48,前2 n項的和為60,則前3n項的和為（.75 D . 635.數(shù)列已知數(shù)列a滿足a- ,a 4an + 1（n a 1）.則數(shù)列aj的通項公式=23.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且Sm =10, S2m =30,則S3m =（2）累加法（六）、等比數(shù)列的判定法1、累加法 適用于：a = an + f （n）（1 ）定義法:an +an=q （常數(shù)）=為等比數(shù)列;（2）中項法：an十2 = an an七（an -0）= 匕為等比數(shù)列;若 an+ an =

16、f(n) (n 2)，則a2 -a f (1) as a2 = f(2)IIIan + anHi-f(n)例:1.已知數(shù)列an中，印=1, an = 2an/ + 1(n 2)，求數(shù)列(aj的通項公式。2. ( 2006，重慶，文,14 )在數(shù)列aj中，若印=1,a葉1 = 2an + 3(n1)，則該數(shù)列的通項ann兩邊分別相加得an卡a1 =zk4f(n)3.已知數(shù)列an滿足ai =月計=2an +1(n迂N*).求數(shù)列an的通項公式;1例：1.已知數(shù)列an滿足a1 =,21an+ =an+2，求數(shù)列an的通項公式。4n 1(5 )遞推公式中既有Sn2.已知數(shù)列an滿足an卅=an+ 2n

17、 +1, ai =1，求數(shù)列an的通項公式。分析：把已知關系通過 an轉化為數(shù)列務或Sn的遞推關系，然后采用相應的方法求解。3.已知數(shù)列an滿足an卅=an+ 2x3n +1, ai =3，求數(shù)列aj的通項公式。1. ( 2005北京卷)數(shù)列1an的前 n 項和為 S，且 31=1，an41=Sn，n=1，2，3，求32，a3，34的3(3)累乘法適用于：an卅=f( n)an若並1an=f (n)，則一=f ,一=f(2),，|,3住=f (n)a2an兩邊分別相乘得,a1nn f(k)k3例：1.已知數(shù)列an滿足an十=2(n+1)5 Xan，印=3，求數(shù)列朋 的通項公式。值及數(shù)列an的通

18、項公式.2. (2005山東卷)已知數(shù)列an的首項6 = 5,前n項和為S1，且Sn-H=S n + 5(nN )，證明數(shù)列an(6)取倒數(shù)法。2.已知數(shù)列n 滿足a1 =1，an+ =an，求 a.。3n +13n 13.已知 6=3，a 卄齊 an(2)，求 an。五、數(shù)列求和1.直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。(4)待定系數(shù)法適用于 an+=qan + f(n)I na1(q = 1)Sn =彳31 (1 - qn)公比含字母時一定要討論I (qM 1).1-q1+-K1+2 1+2+3 1+2+3+41+甘3和 + 門，(曲)。2.錯位相減法求和：如：an等差，仁 等比,求a1b1+a2b2 +anbn的和.3.已知等差數(shù)列an滿足a2 = 0, a6 + a8 = 10.例：1.求和 & =1+2x+3x2+|H + nxn(1)求數(shù)列an的通項公式及Sn1232.求和：&=丄+$ + 2a a a3 .裂項相消法求和：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。常見拆項:n(n +1)n +1(2n -1)(2n +1)2n +17.已知等差數(shù)列an滿足:as =