1、(整理)9廣義積分習題課.第九章 廣義積分習題課一、主要內容 1、基本概念 無窮限廣義積分和無界函數廣義積分斂散性的定義、絕對收斂、條件收斂。 2、斂散性判別法 Cauchy收斂準則、比較判別法、Cauchy判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法。 3、廣義積分的計算 4、廣義積分與數項級數的關系5、廣義積分斂散性的判別原則和程序包括定義在內的廣義積分的各種判別法都有特定的作用對象和原則，定義既是定性的用于判斷簡單的具體廣義積分的斂散性，也是定量的用于計算廣義積分，其它判別法都是定性的，只能用于判斷斂散性，Cauchy判別法可以用于抽象、半抽象及簡單的具體廣義積分的斂散性，比較判別法

2、和Cauchy判別法用于不變號函數的具體廣義積分和抽象廣義積分判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法處理的廣義積分結構更復雜、更一般。對具體廣義積分斂散性判別的程序： 1、比較法。 2、Cauchy法。 3、Abel判別法和Dirichlet判別法。 4、臨界情況的定義法。 5、發散性判別的Cauchy收斂準則。 注、對一個具體的廣義積分斂散性的判別，比較法和Cauchy法所起作用基本相同。注、在判斷廣義積分斂散性時要求： 1、根據具體題型結構，分析特點，靈活選擇方法。2、處理問題的主要思想：簡化矛盾，集中統一，重點處理。3、重點要掌握的技巧：階的分析方法。二、典型例子下述一系列例子

3、，都是要求討論其斂散性。注意判別法使用的順序。例1 判斷廣義積分的斂散性。分析 從結構看，主要是分析分母中兩個因子的作用。解、記，對，先討論簡單情形。時，時收斂，時發散。，不妨設，則，故，時為常義積分，此時收斂。時，由于 因此，與積分同時斂散，即時收斂，時發散。因此，對，此時廣義積分的斂散性完全由分母中的低階項決定。上述結論也可以總結為：minp,q1時收斂，maxp,q時發散。綜上：時收斂，其余發散。或者為：minp,q10。分析 積分結構中包含有正弦函數的因子，注意利用它的兩個特性：本身有界性用于獲得絕對收斂性的相關結論；積分片段的有界性用于獲得收斂性。注意驗證積分片段有界性時的配因子方法

4、。解：先分析絕對收斂性，由于 ，故，m1時，廣義積分絕對收斂。當時，利用配因子法驗證積分片段的有界性， 由Dirichlet判別法，廣義積分收斂。由于 ，而類似可以證明收斂，發散，因而，發散，故時，廣義積分條件收斂。注、從解題過程中可知，利用定義可以證明m=0時積分發散。注、不能將積分分成如下兩部分 ，通過右端兩部分的收斂性得到I的收斂性，原因是只有當右端兩項同時收斂時，才成立上述的分解結論。例3 討論的斂散性。分析 從結構看，應該分段處理，重點是討論ln（1x）的當和時的性質，進行階的比較。解、記，。對， 由于，故，當，即時，收斂；當時，發散。對， 利用已知的結論：，則，當時，取使得，則 故

5、收斂。當時，取，則故發散。因而，當時，收斂；時發散。例4 討論的斂散性，其中。分析 分段處理，對第一部分的無界函數廣義積分，是非負函數的廣義積分，可以用比較判別法或Cauchy判別法，對第二部分的無窮限廣義積分，由于被積函數是變號函數，因此，應該用Abel判別法或Dirichlet判別法。 解：記 ， 對，當時， 故，收斂。由于此時被積函數不變號，故又絕對收斂。當時， 故，發散。對，由于 ，故當時，（絕對）收斂。當時，由于，對任意， 且 當時，單調遞減趨于0，由Dirichlet判別法，收斂。又，此時 且收斂，因此，發散。因而，當時，條件收斂。綜上，；例5 討論的斂散性，其中p、q非負。分析

6、從被積函數的結構可以發現，組成被積函數的兩個因子中，較難處理的是因子，因此，處理思想就是將其簡化，處理手段是變量代換。處理技巧是先易后難。解、先考慮最簡情形：時的情形。記，此時，、分別是無界函數和無窮限廣義積分，因此，時，收斂；時， 發散；而對， 時時收斂，時發散，故時，發散。當時，令，則 對，由于 ，故與同時斂散。因而，時，（絕對）收斂；時，發散。對，由于，故，時，絕對收斂；當時，由Dirichlet判別法，（條件）收斂。當時，利用周期函數的積分性質，則 因而，由Cauchy收斂準則，發散。綜上：時，發散；時， 時，絕對收斂； 時，條件收斂； 時，發散。 注、本題的證明思想：過程：由易到難；

7、矛盾集中，突出重點，抓住主要矛盾。注、也可以用配因子法處理。下述的例子用階的分析法。例6 討論的斂散性。分析 首先將積分分段處理，記 ，。從被積函數結構看，被積函數形式較為復雜，處理的方法一般是通過階的分析，估計其速度，從而估計斂散性，并進一步驗證。對，分析奇點附近被積函數的階。由于 ，因而，從而，判斷出被積函數在奇點處的奇性。對 ，對被積函數作階的分析，由于x充分大時，因此，利用函數展開理論得 , ，由此可以將復雜的函數結構簡單化，從而得到相應廣義積分的斂散性。解、記 ，。對，利用LHosptial法則， ，因而， ，故，收斂。對 由于，則其中 ，因而收斂，又由于條件收斂，故條件收斂。因此，

8、條件收斂。注、對復雜的函數結構利用函數展開理論判斷廣義積分的斂散性也是一個有效的方法。例7 （）。分析：這是無窮限廣義積分，分析時被積函數的性質，此時 ，故 ，又 ，故所以 ，證明過程就是驗證上述函數關系。解、由于 因而，與廣義積分同時斂散。故時，收斂；時，發散。下述的一個命題反映了判別斂散性的又一思想方法。例8 證明：設、上連續，單調且，則與同時斂散。證明：若收斂，由Abel判別法，收斂。若收斂，則仍有單調且，由Abel判別法，則收斂。注、本命題結論非常簡單，但命題中體現出來的思想非常有用。即在討論廣義積分的斂散性時，分析被積函數的結構，抓住主要因素，解決主要矛盾，略去次要因素，即將一個復雜

9、的廣義積分轉化為較為簡單的廣義積分討論其斂散性。下面，通過一個例子，說明例8的作用。例9 討論 的斂散性。解、由于,由于 非負單調且，因此，利用例8的結論，其與同時斂散。因而，時絕對收斂；時條件收斂；時發散。下面一個結論與例8具有類似的思想。例10 設函數f（x）、g（x）、h（x）定義在上且對任意有限的實數Aa，它們都在a, A上可積，證明：若且廣義積分、都收斂，則也收斂。分析 題目類似極限的兩邊夾定理，但是條件較弱，證明思路是通過條件尋找它們之間的關系，利用性質或定義或比較法進行判斷。證明：由所給的關系式，則 ，由條件和廣義積分性質，則收斂，由比較判別法，則收斂，由于，再次利用積分性質，則

10、收斂。注、例10結論表明，對待考察的廣義積分的被積函數進行適當的估計，去掉一些次要因素的影響，由此得到收斂性，體現了研究廣義積分收斂性的又一思想。注、盡管例8和例10體現的處理問題的思想類似，但是，由于例8是一個等價的轉化，得到的是同斂散的結論，因此，例8的結論比例10要好。下面的命題用于處理另一類廣義積分的斂散性。例11 設f(x)0且單調遞減，證明與同時斂散。證明：因為f(x)0且單調遞減，故存在。若0，則由Dirichlet判別法，收斂。由于 2故，與同時斂散。若b0，此時發散。由極限定義，存在Aa，使得xA時， 故，取n充分大，使得 ，則 ，故，發散。因而，此時二者同時發散。 下面的例

11、子用上述結論很容易處理。 例12 討論的斂散性。解、由于 對，已知p0時收斂，時發散。為討論的斂散性，注意到 故，與同時斂散，由例11，又與同時斂散，即時收斂，時發散。故，當時收斂，時發散。注、這類題目的討論技巧性高，得到的結論也深刻。事實上，和作對比可以發現，分母上增加因子sinx，深刻改變了其斂散性，使得收斂范圍變小。這也反映了廣義積分斂散性的復雜性。注、例12也表明了因子sinx的復雜作用，當它處在分子上時，可以充分利用其本身有界和積分片段的有界性得到一些斂散性結論；但是，當這個因子處在分母上時，其變號且非單調的性質起到了很大的作用，從而影響到了廣義積分的斂散性。也可以通過與例9的結論對

12、比發現這些差異，例9中，分母為，因子1不起作用，此例中，分母中的因子sinx起到了影響斂散性的作用。例13 若收斂，在單調，則， 即。分析 要證明的結論表明，要研究的是被積函數的極限行為（，即要控制當x充分大時的xf（x），而從廣義積分的收斂性的條件能產生與被積函數的無窮遠處的行為有關的結論就是Cauchy收斂準則，因此，建立二者的橋梁為Cauchy收斂準則。因此，證明的關鍵就是如何從Cauchy片段中分離出xf（x），因此，必須通過選擇與x有關的達到目的，特別注意f（x）可以由被積函數產生，即從積分號下把被積函數分離出來，而系數顯然要通過積分限產生。證明：設單調遞減，由收斂，則。由Cauch

13、y收斂準則，存在充分大，使得對任意，成立，對任意，取 ，則 ， 利用函數的單調性，則， ，故，。類例：若收斂，則。 注、此結論比講義中的結論更強。注、作為最簡單的廣義積分積分，揭示了廣義積分收斂的本質，即時，被積函數趨于0的速度高于一階時，廣義積分收斂。本題說明：在一定的條件下，上述條件還是必要的。注、更進一步還有:若收斂，單調遞減，則。事實上，對充分大的，由Cauchy收斂準則，。結論說明，此時f（x）趨于0的速度比趨于0的速度還大。注、成立更一般的結論：設在單調，且收斂，則 。例14 設若在上有連續導數且單調遞減趨于0（），證明收斂的充要條件是收斂。 分析 從要證明的結論看，建立兩個廣義積

14、分的聯系的橋梁是分部積分法，即。從此關系式看，要證明結論關鍵是解決極限的存在性。證明：必要性。若收斂，則由例13，因而， ，故，收斂。充分性。由于，下面利用的收斂性研究極限的存在性，由于 由收斂，則。又，同樣成立，因而 收斂。注、證明過程中，用到了結論：若收斂，則 。事實上，記I，則 。例15 證明：若在上有連續導數且、都收斂，則證明：由收斂性定義，對任意， 因而，存在，又收斂，則必有。注、也可以用Cauchy收斂準則證明。但本題采用定義證明更簡單，因此既要掌握處理某一類型問題的一般原則，又要學會靈活應用。注、此例還說明，對數項級數成立的收斂性的必要條件對廣義積分并不成立，必須增加一定的條件才

15、能保證其成立。例16 證明：若非負函數在單調減少，則與數項級數同時斂散。分析 本題要求在兩種不同形式間進行比較，處理這類問題的思想方法是形式統一法，將積分轉化為和式即，由此看出，命題的證明實際就是比較 的關系。證明：由于且在單調減少，故 因而 故 ，因而， 與數項級數同時斂散。例17設在任意有限區間上可積且，證明： A 。分析 從條件和結論很發現證明的思路。證明：由和，則對任意，存在，使得當 時， 對任意，存在，使得，故 故，A。下面給出幾個廣義積分的計算題目。關于廣義積分的計算，基本思路和方法是利用N-L公式、分部積分、極限運算。技巧是選擇合適的變量代換。例18 （Frullani積分）證明

16、：若且對任意，廣義積分收斂，則 分析 解題思想是將待計算的未知的積分轉化為已知的積分，手段是利用變量代換。事實上，已知的是積分形式，待計算的量是形式，因此，可以利用極限將兩種形式，也將已知和未知的量聯系起來。證明：對任意的，則 ；同樣，。因而， 利用積分中值定理， 。例19 證明：，其中 ，積分有意義。分析 從證明的結論中可以發現所應該采取的方法和手段，即應該是選擇一個合適的變換，使得，從這一關系式中可以發現，變換不唯一。證明：令，則 且，故 ，又，由此可證明命題。 注、也可以取，此時。例20 計算。分析 這類題目是無法直接計算出來的，常用的技巧是分段，選擇適當的變量代換，在兩個積分段之間尋找

17、連續。解、由于，而二者都收斂，故，0。例21 證明 與無關。證明：由于因而 故其與無關。下面討論廣義積分和無窮和的極限的關系。例22 設在（0，1單調，x=0為其奇點，廣義積分收斂，證明： 。分析 與例16類似，將積分轉化為有限和，進而考察相互的關系。證明: 設在（0，1單調遞增，則 ,因而，利用的收斂性，則 ，由此，命題得證。注、由此可得即：。例23 設對任意A0，f(x)且，證明： 。分析 題目中所給的定量條件只有，為了利用這個條件，仍然可以利用形式統一方法對結論進行變形，從中可以看到要證明結論等價于 ，為利用條件，只需分段處理即可，即分別研究 、的極限行為。證明：因為，故存在M0,使得x

18、M時，；又f(x)，因而，f(x)有界C。注意到 ，故只需證明。由于對任意，存在A0，使得xA時 ，故 由于 ，故，存在時，因而 故，。下面是一些判斷題。22、判斷下列命題是否成立。1）、設在任意區間上可積，若對任意的、，存在，使得對任意的，都成立，則收斂。解：錯。正確理解Cauchy收斂準則。反例。如，則 對任意的都有 ，但發散。2）、設在任意區間上可積，若收斂，則收斂。解、正確。利用和Abel判別法即可。3）、若存在使得發散，則發散。解、正確。事實上，收斂充要條件為對任意的，收斂。證明：若收斂，則由于 故收斂。反之，若發散，則存在和，使得 取，則且，故發散。4）、設收斂，下列條件能否保證。 1、在連續、恒正。 2、存在。 3、單調。 4、在一致連續。 5、在連續可導。 6、在上有連續的導數。 7、在可導且收斂。車響餅餞臆滇腔臣露粱脈豌濕圍根撈撫鼎晝窺征溶遜顏蹲賊瞪