1、精品資源課題：3 6 函數的單調性教學目的：1.正確理解利用導數判斷函數的單調性的原理；2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法教學重點： 利用導數判斷函數單調性教學難點： 利用導數判斷函數單調性授課類型： 新授課課時安排： 1 課時教具：多媒體、實物投影儀內容分析 ：以前，我們用定義來判斷函數的單調性 . 對于任意的兩個數 x1， x2 i，且當x1x2 時，都有 f(x1) f(x2)，那么函數 f(x) 就是區間 i 上的增函數 . 對于任意的兩個數 x1 ，x2 i ，且當 x1 x2 時，都有 f(x1) f(x2)，那么函數 f(x)就是區間 i 上的減函數 .在函數 y=f(x) 比

2、較復雜的情況下， 比較 f(x 1)與 f(x 2)的大小并不很容易 . 如果利用導數來判斷函數的單調性就比較簡單教學過程 ：一、復習引入：1. 常見函數的導數公式：c 0； ( xn )nx n 1 ； (sin x)cos x ； (cos x)sin x2.法則 1u( x)v(x) u ( x)v ( x) 法則 2u ( x )v (x ) u x( v),x( ) u x( v) cux (x) cu (x)法則 3uu v uv (v 0)vv23.復合函數的導數： 設函數 u=(x)在點 x 處有導數 u x= (x)，函數 y=f(u)在點 x 的對應點 u 處有導數 y u

3、=f (u)，則復合函數 y=f(x)在點 x 處也有導數，且 yx yu ux 或 f x(x)= f (u) (x)4.復合函數求導的基本步驟是：分解求導相乘回代5. 對數函數的導數：(ln x)1(log a x)1 l o ga exx6.指數函數的導數：(ex )ex(a x )a x ln a歡下載精品資源二、講解新課：1. 函數的導數與函數的單調性的關系：我們已經知道，曲線y=f(x) 的切線的斜率就是函數y=f(x) 的導數 .從函數y x24x 3 的圖像y可以看到：y=f(x)=x2 4x+3切線的斜率f (x)f x = x2-4 x +3(2， +)增函數正0( ， 2

4、)減函數負0在區間（ 2，）內，切線的斜率為正，函數by=f(x) 的值隨著x 的增大而增大，即 y/ 0 時，o 123函數 y=f(x)在區間（ 2，）內為增函數；在a區間（，2）內，切線的斜率為負， 函數 y=f(x)x的值隨著 x 的增大而減小，即 y /0 時，函數y=f(x) 在區間（， 2）內為減函數 .定義： 一般地，設函數 y=f(x)在某個區間內有導數，如果在這個區間內y/0，那么函數y=f(x) 在為這個區間內的增函數；如果在這個區間內y /0 ，那么函數y=f(x)在為這個區間內的減函數2.用導數求函數單調區間的步驟：求函數 f(x)的導數 f (x).令 f (x)

5、0 解不等式，得x 的范圍就是遞增區間.令 f (x) 0 解不等式，得x 的范圍，就是遞減區間.三、講解范例：例 1 確定函數 f(x)=x2 2x+4 在哪個區間內是增函數，哪個區間內是減函數 .解： f (x)=( x2 2x+4) =2x 2.令 2x 2 0，解得 x 1.當 x (1， + )時， f (x) 0，f(x)是增函數 .令 2x 2 0，解得 x 1.當 x (， 1)時， f( x) 0，f(x)是減函數 .例 2 確定函數 f( x)=2 x3 6x2+7 在哪個區間內是增函數，哪個區間內是減函數 .解： f (x)=(2 x3 6x2+7) =6 x2 12x令

6、 6x2 12x 0，解得 x 2 或 x 0當 x (， 0)時， f( x) 0，f(x)是增函數 .當 x (2， + )時， f (x) 0， f(x)是增函數 . 令 6x2 12x 0，解得 0 x 2.當 x (0， 2)時， f (x) 0， f(x)是減函數 .y2f x =x2-2 x +4o1xyf x =2 x3-6 x2 +7o12x歡下載精品資源例 3 證明函數f(x)= 1 在 (0， + )上是減函數 .x證法一： (用以前學的方法證)任取兩個數x1，x2 (0， + )設 x1 x2.11x2x1f(x1) f(x2)=x1x2x1 x2 x1 0，x2 0，

7、 x1x2 0 x1 x2， x2x1 0， x2x1 0x1 x2 f(x1) f(x2) 0，即 f(x1 ) f(x2)1 f(x)=在 (0， + )上是減函數 .x證法二： (用導數方法證 )121 f (x)=() =( 1) x =， x 0，xx 2 x2 0， 1 0. f (x) 0，x 21 f(x)=x 2 在 (0， + )上是減函數 .點評：比較一下兩種方法，用求導證明是不是更簡捷一些.如果是更復雜一些的函數，用導數的符號判別函數的增減性更能顯示出它的優越性.例 4 求函數 y=x2(1 x)3 的單調區間 .解： y = x2(1 x)3 =2x(1 x)3+x2

8、 3(1 x)2 ( 1)=x(1 x)2 2(1 x) 3x=x(1 x)2 (2 5x)令 x(1 x)2(2 5x) 0，解得 0x2. y=x2(1 x)3 的單調增區間是(0，2)5522令 x(1 x) (2 5x) 0，解得 x 0或 x 且 x1.5 x1 為拐點，歡下載精品資源 y=x2(1 x)3 的單調減區間是(， 0)， ( 2 ，+ )5yf x = x2 1-x 3o21x5例 5 當 x 0 時，證明不等式： 1+2x e2x.分析：假設令 f(x)=e2 x 12x. f(0)= e0 10=0,如果能夠證明f(x)在 (0，+ )上是增函數，那么f(x) 0，

9、則不等式就可以證明 .證明：令 f(x)=e2x1 2x. f (x)=2e2x2=2(e2 x 1) x 0， e2x e0=1， 2(e2x 1) 0, 即 f (x) 0 f(x)=e2 x 1 2x 在 (0， + )上是增函數 . f(0)= e01 0=0.當 x 0 時， f(x) f(0)=0 ，即 e2x 12x 0. 1+2x e2x點評：所以以后要證明不等式時，可以利用函數的單調性進行證明，把特殊點找出來使函數的值為 0.1例 6 已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區間.xy解： y =(x+1)x=1 1 x 2 x21 (x 1)( x 1)=x2x2令 ( x

10、1)( x1) 0.解得 x 1 或 x 1.x21 y=x+的單調增區間是(， 1)和 (1， +).x1f x = x+ x2-1o 1x-2歡下載精品資源令 ( x 1)( x1) 0，解得 1 x 0 或 0 x1.x2 y=x+ 1 的單調減區間是 ( 1，0) 和(0， 1)x四、課堂練習：1確定下列函數的單調區間(1)y=x3 9x2+24x(2)y=x x3(1)解： y =(x3 9x2+24x)=3x2 18x+24=3( x2)( x 4)令 3(x 2)(x 4) 0，解得 x4 或 x 2. y=x3 9x2+24x 的單調增區間是 (4，+ )和 (， 2)令 3(

11、x 2)(x 4) 0，解得 2 x 4.y=x3 9x2+24x 的單調減區間是(2， 4)3221)= 3(x+33(2)解： y =(x x ) =1 3x = 3(x 33)(x)3令 3(x+3)(x3) 0，解得3 x3.3333 y=x x3 的單調增區間是 (3 ，3).33令 3(x+3)(x3) 0，解得 x3 或 x3.3333 y=x x3 的單調減區間是 (，3)和 (3 ， +)332.討論二次函數y=ax2+bx+c(a 0)的單調區間 .解： y =(ax2+bx+c) =2 ax+b, 令 2ax+b 0，解得 xb2a y=ax2+bx+c(a 0)的單調增

12、區間是 ( b ， +)2a令 2ax+b 0，解得 x b .2a歡下載精品資源 y=ax2+bx+c(a 0)的單調減區間是 (， b )2a3.求下列函數的單調區間x2(2)y=x(3)y= x +x(1) y=x2x9x2x x22(1)解： y =() =x2x2x2當 x 0 時， 0， y 0.x 2x 2 y=的單調減區間是 ( ， 0)與 (0， + )x(2)解： y =(xx29 x 2xx29x29x2)( x29) 2( x29) 2(x29)29當 x 3 時，x29 0， y 0.( x29) 2x的單調減區間是 (， 3)， ( 3， 3)與 (3，+ ). y=9x2111(3)