1、幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題型的復(fù)習(xí)要點和復(fù)習(xí)策略初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)上分為幾何和代數(shù)(以下簡稱“幾代”)兩部分，于是幾、代的有機(jī)結(jié)合也就成為初中數(shù)學(xué)的一個落腳點，因此幾代相結(jié)合的綜合題型也就理所當(dāng)然成為中考的重點、難點與焦點。幾代相結(jié)合的綜合題常以“起點低、入口寬、步步高”的特點呈現(xiàn)，并以“思想方法立意”和“能力立意”為創(chuàng)新點。從某一角度上講可 分為“幾何背景代數(shù)解法”和“代數(shù)背景幾何解法”兩大類。下面就談?wù)剮状嘟Y(jié)合的綜合題型的復(fù)習(xí)要點和復(fù) 習(xí)策略：一、幾代綜合題的復(fù)習(xí)要點1、基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)仍是幾代綜合題復(fù)習(xí)的前提與基礎(chǔ)，否則幾代綜合題的復(fù)習(xí)就成為無本之 木，無源之水幾代綜合題是基于幾何、代數(shù)基本知識

2、之上，它的解法其實就是對各基礎(chǔ)知識的綜合、靈活的運(yùn)用，因此全 面復(fù)習(xí)好幾何與代數(shù)基礎(chǔ)知識，對于幾代綜合題的復(fù)習(xí)至關(guān)重要。其包含的基礎(chǔ)知識主要有：代數(shù)基礎(chǔ)知識：數(shù)的運(yùn)算、式的變形、方程、不等式的解法、函數(shù)的圖象與性質(zhì)。幾何基礎(chǔ)知識：幾何變換、平行四邊形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定(含全等三角形)、勾股定理與三角函數(shù)、圓中的位置關(guān)系及其判定。【例1】已知，在RtOAB中，/OAB=90 ，BOA =30 ,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸,建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，點B在第一象限內(nèi)將RtOAB沿OB折疊后，點A落在點C處.(1 )直接寫出A的坐標(biāo)；2(2 )若拋物線y

3、ax bx ( a 0)經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；(3 )若(2)中拋物線的對稱軸與 OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M.問：是否存在這樣的點P，使得四邊形 CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點簡析:(1 )利用特殊三角形的性質(zhì)直接寫出A的坐標(biāo)是解直角三角形的最基本的知識。(2 )通過解直角三角形求點 C的坐標(biāo)，并利用待定系數(shù)法求解析式是確定解析式的基本方法。(3)在作好圖形的基礎(chǔ)上， 探索要使四邊形 CDPM為等腰梯形，只需CM=DP，從而轉(zhuǎn)化為方程問題并求解， 這也是對于等腰梯形判定的最低要求。由此可見，基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)是解題的基礎(chǔ)，實不可忽

4、視。2、數(shù)學(xué)思想方法及其靈活運(yùn)用永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容，也是幾代綜合題解法的關(guān)鍵所在對于初中階段常見的數(shù)學(xué)思想、方法應(yīng)熟練地掌握，并靈活地運(yùn)用。如：數(shù)形結(jié)合、分類討論、運(yùn)動變化、 方程、不等式、函數(shù)、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想；待定系數(shù)法、面積法、配方法、圖象法、公式法、反證法等數(shù)學(xué)方 法。2 8【例2】如圖2 ，已知直線h：y -x -與直線l2: y 2x 16相交于點c，h、J分別交x軸于a、33B兩點.矩形DEFG的頂點D、E分別在直線h、J上，頂點F、G都在x軸上，且點G與點B重合.(1) 求點B、點D的坐標(biāo)；(2 )求 ABC的面積；(3)若矩形DEFG從原點出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒

5、長度的速度平移，設(shè)移動時間為t(0 t 12)秒，矩形 ABC重疊部分的面積為 S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式, 相應(yīng)的t的取值范圍.、把問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)0 t 3時，(如簡析：(1 ) (2 )略(3 )解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合運(yùn)動變化思想，通過分類討論 圖2 )、當(dāng)3 t 8時，(如圖2)、 當(dāng)8 t 12時，(如圖2)等三種情況并加于解決，其中還用到了方程思想、圖象法等數(shù)學(xué)思想方法。右是數(shù)學(xué)的靈魂，也是幾代綜 礎(chǔ)，方程是彳核 ”和函數(shù)應(yīng)該做到：準(zhǔn)及其性質(zhì)解決有關(guān)問題。- 沿等腰梯形花圃ABCD F的 (圖2)(yfyi所以數(shù)學(xué)思想方法3、應(yīng)體現(xiàn)列代 對于初中階段常丿見的 握、靈活運(yùn)用函數(shù)圖

6、象【例3】如圖O3AB的長為X米.請求出底邊BC的長(用含X的代數(shù)式表示)；(2)若Z BAD =60 該花圃的面積為 S米2. 求S與X之間的函數(shù)關(guān)系式(要指出自變量X的取值范圍)，S=933時X的值； 如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個值是(1)布列代數(shù)式：BC=40-AB-CD= (40-2X )35L、合題解題的靈魂。數(shù)是紐帶，： R迅速利用通法和必E D不等式要的技巧(特法)解各類方程，熟練掌作用的觀點底邊叫d靠墻，另三邊用長為0 40B 米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰An圖3/C并 求多少？簡析:(2 利用幾何計算求出解析式和自變量的取值范圍:S= 1(40-2x+40

7、-x)fx= x(8-3x)=3 3x2 20 3 (0 V X V 20)，同時轉(zhuǎn)化為方程OP，并通過d 情況(如圖4 中， 由求OP23 3x220 393 3 并求解。4在利用不等式求取值范圍的前提下，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值。所以，復(fù)習(xí)時要特別注意代數(shù)的各部分知識間的相互聯(lián)系，互相補(bǔ)充，形成系統(tǒng)，才能更好的 解決幾代綜合題。4、應(yīng)熟練掌握幾何計算的方法與途徑幾何的計算從廣義上講大都可以轉(zhuǎn)化為線段的計算，因此幾何計算是順利解決幾代綜合題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，應(yīng)充 分關(guān)注：利用勾股定理布列方程計算、利用三角函數(shù)布列方程計算、利用相似三角形的方程計算、利用坐標(biāo)的幾 何意義進(jìn)行計算、利用面積法進(jìn)行

8、計算等重要而常見的幾何計算方法與途徑，從而為幾代綜合題的解題提供保障。【例4】如圖4 ，在平面直角坐標(biāo)系中，直線I : y 2x b與X軸交于點A ( 4，0)，與y軸交于點B.(1) 填空：b ;(2) 已知點P是y軸上的一個動點.，以P為圓心，3為半徑作O P 若PA=PB，試判斷O P與直線l的位置關(guān)系，并說明理由. 當(dāng)O P與直線l相切時，求點P與原點O間的距離.簡析：(1) b 8 ；(2) 在RtAOP中，利用勾股定理布列方程并求出圓心到直線的距離 與r的關(guān)系判定O P與X軸相切.(3) 分“當(dāng)點P在點B下方時”和“和當(dāng)點 P在點B上方時”，兩種,MRBR)：既可由厶BMP, “B

9、OA得11，也可在Rt OAB和Rt MP,BOA ABMP, OA；tan ABO 1列方程，并解得 B 3 5，并求得OP,，同理BR AB由此可見，幾何計算在幾代綜合題中占著重要的地位和作用。5、應(yīng)關(guān)注幾何變換在解題中的應(yīng)用新課程把“幾何變換”的問題作為初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容來研究，凸顯了它的意義和作用。平移、對稱、旋轉(zhuǎn) 是生活中常見的活動，而平移、對稱、旋轉(zhuǎn)又是幾何的重要組成部分，因為平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等幾何變換既能充 分體現(xiàn)合情推理和演繹推理的有機(jī)結(jié)合，又能與代數(shù)充分結(jié)合在一起，因而以幾何變換為背景的幾代綜合題也成 了綜合題的一個亮點。【例5】如圖5 ，在6 X12的方格紙 MNEF中，每

10、個小正方形的邊長都是1。RtKBC的頂點C與N重合，兩直角邊 AC、BC分別在MN、NE上，且AC=3 , BC=2。現(xiàn)Rt AABC以每秒1個單位長的速度向右平移， 當(dāng)點B移動至點E時，Rt KBC停止移動。(1) 請在圖5中，畫出RtXBC向右平移4秒時所在的圖形；(2) 如圖5，在Rt AABC向右平移的過程中， AABF能否成為直角三角形？如果能，請求出相應(yīng)的時間t; 如果不能，請簡要說明理由；(3) 如圖5，在Rt KBC向右平移的過程中(不包括平移的開始與結(jié)束時刻)，其外接圓與直線 AF、直線BF分別有哪幾種位置關(guān)系？請直接寫出這幾種位置關(guān)系及所對應(yīng)的時間t的范圍(不必說理)。Rt

11、 ABC向右平即：(卿(10圖爐32 E(12并解彳帥=圖圖E(ii)當(dāng)AB2 AF 2 BF2時，由勾股定理的逆定理得，/ BAF=90o，即 ABF為Rt 即: ( . 13)2 32 (12 t)2 (10 t)2 62,解得 t=7.5(3) 關(guān)注幾何變換，動靜結(jié)合，把握臨界位置，顯然有：當(dāng)t=7.5時,直線AF與Rt XBC的外接圓相切；當(dāng)0 t7.5或7.5 t10時，直線 AF與RtABC的外接圓相交。當(dāng)t=1時,直線BF與Rt ABC的外接圓相切；當(dāng)0 t1或1 t10時，直線BF與RtABC的外接圓相交。所以，在解以幾何變換為背景的幾代綜合題時要本著“動中有靜”，“靜中有動”

12、的思想，特別關(guān)注幾何變換前后的位置變化和“變與不變量”，在畫好圖形的基礎(chǔ)上解決問題。&關(guān)注幾代綜合題與生活實際的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活而又應(yīng)用于生活的新課程理念幾何與代數(shù)都是來源于生活，幾代結(jié)合也必更有利于生活中實際問題的解決。在幾代綜合題的復(fù)習(xí)時，要更 加關(guān)注生活背景，通過數(shù)學(xué)建模，從生活到數(shù)學(xué)，再通過問題解決使數(shù)學(xué)回歸生活。【例6】某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖6 所示的自動通風(fēng)設(shè)施該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中 AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點 腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗(陰影部分均不通風(fēng))，MN是可以沿設(shè)施邊始終保持和AB平行的伸縮橫桿.

13、E為AB的中點. EMN是由電框上下滑動且(1 )(2) 的函數(shù)；(3)當(dāng)MN和AB之間的距離為 0.5米時，求此時厶EMN設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將 EMN的面積的面積；S (平方米)請你探究厶EMN的面積S (平方米)有無最大值，若有, 沒有，請說明理由.簡析：從生活中抽象出幾何圖形，并計算出面積。請求出這GC圖6表示成關(guān)于x個最大值；若(1 )(2)在分類討論的基礎(chǔ)上，抽象出圖6(0 v XW1)求得:(3)把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問題并求解。圖6 圖6數(shù)學(xué)建模是生活走向數(shù)學(xué)的必由之路，數(shù)學(xué)問題的解決也必將促使生活問題的解決。從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用價 值。幾代結(jié)合是解決生

14、活問題的重要方法之一，在總復(fù)習(xí)時應(yīng)充分關(guān)注。7、應(yīng)關(guān)注問題解決的全過程與綜合解題能力的提升新課程要求重視學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究過程，并在過程中獲取知識，提升能力。幾代綜合題的復(fù)習(xí)更應(yīng)關(guān)注 學(xué)生的解題全過程和學(xué)生綜合能力的提升。包括：獲取信息、 數(shù)學(xué)思考和問題解決能力等等。(7),四邊形OABC是矩形，點A、1x2分析信息的能力、實踐操作能力、數(shù)學(xué)建模能力、【例7】如圖動點(與端點B、C不重合)，過點D作直線y1x2(2) 記ODE的面積為(3) 當(dāng)點E在線段OA上時，若(1)若直線yC的坐標(biāo)分別為(6, 0), (0 , 2)，點D是線段BC上的m交折線OAB于點E .m經(jīng)過點A，請直接寫出 m

15、的值;S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；牡矩形 OABC關(guān)于直線DE的對稱圖 形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形 O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部 分的面積是否會隨著 E點位置的變化而變化，若不變，求出該重疊部分的面積;簡析：(1) m 3;CztBOe a圖7 、x若改變，請說明理由(2 )學(xué)生必需充分獲取信息、在系統(tǒng)整理、有效分析信息的基礎(chǔ)上,進(jìn)行把問題分為：“點E在OA上時，2 m 3 (如圖7)”“點E在BA上時，3v m v5 (如圖7)”兩種情況加于解決。(3)學(xué)生應(yīng)具有所必需的作圖、識圖能力，其中作好圖形是關(guān)鍵， 然后將探索問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的計算問題。解決問題的能力，這

16、是幾代綜合題所以要培養(yǎng)學(xué)生最基本的獲取信息的方法、識圖、作圖能力、分析問題、 復(fù)習(xí)的一個重點，也是一個難點，同時也達(dá)到學(xué)生綜合解題能力的提升的目的。8、應(yīng)熟練掌握常見題型的基本解法，達(dá)到知己知彼對于常見題型要做到心中有底，腦中有方向、胸中有思路、手上有方法。如最值的求法、面積與周長的處理 方法、圓的各種關(guān)系的判定方法，存在性問題，操作探索型問題等等。匚L2A、B兩點，與y軸交于點C, 于點E【例8】如圖8，已知拋物線y ax bx c與x軸交于(2，6)，且ABE與ABC的面積之比為 3 : 2 .求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式； 連結(jié)BD，試判斷BD與AD的位置關(guān)系，并說明理由； 連結(jié)BC交直線A

17、D于點M，在直線AD上，是否存在這樣的D為OC的中點，直線 AD交拋物線(1)(2)(3)點N (不與點M重合)，使得以A、B、N為頂點的三角形與 ABM相似？ 若存在，請求出點 N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.簡析：對于本題的解決必需對于常見題型：存在性問題、位置關(guān)系判定等了然于胸，才能水到渠成。二、幾代綜合題的復(fù)習(xí)策略1、樹立信心、迎難而上，不要望而生畏，自我放棄。2、要注重規(guī)范解題，步步為營，穩(wěn)扎穩(wěn)打。如先看清題意，再畫好圖形，進(jìn)而尋求突破途徑。3、注重閱讀理解等獲取信息的方法，在信息的獲取中尋求解題的突破口。要十分關(guān)注“加括號的說明”和 “加著重號的標(biāo)注”，它們往往就是解題的突破口。4、幾何綜合題的復(fù)習(xí)要讓學(xué)生經(jīng)歷“做t聽t改t反思t頓悟”幾個環(huán)節(jié)。做題要求精、求透、不求多、求全，要求以點帶面， 不求面面俱到，要嚴(yán)禁“題題都做(全而不對)、題題都未做完(對而不全)”、“只聽不做”、 “只做不聽” 、“只做不改”等不良現(xiàn)象的出現(xiàn)，以提升復(fù)習(xí)實效。5、應(yīng)力求在運(yùn)算的熟練程度、思想方法的應(yīng)用和綜合能力的提升上有所突破，這三者都是解幾代綜合題的 關(guān)鍵。6、注重在系統(tǒng)的高度上復(fù)習(xí)幾代綜合題的解法，不為復(fù)習(xí)幾