1、 8.圓錐曲線方程知識要點、橢圓方程.|PFlPF2I =2a方程為橢圓，|PF1 +|PF2I =2a 傘冋無軌跡,1.橢圓方程的第一定義:|P Fl PF2I =2a =卩店2|以F1,F2為端點的線段橢圓的標準方程：i.中心在原點，焦點在x軸上:2 2“57ii.中心在原點，焦點在y軸上:22篤+篤“an)a b2 2一般方程：Ax +By /(AT, BT)X = a cos日橢圓的標準方程:（一象限日應是屬于的參數方程為I八bsin日0* 2I pF=e(xo+?) =a+exo(XoYo),| pF J =&十 f)之冷利x。)歸結起來為).頂點：或（0,也）（俎0）.軸：對稱軸：

2、x軸，y軸；長軸長2a，短軸長2b.焦點:(Y,0)(C,0)或(0,Y)(0,C).焦距:IF1F2I =2c,c=Ja2422 2 a, a準線:X =亠y = c或 c離心率：卻3）焦點半徑:i.設p（xo，yo）為橢圓2 2+ =1(a A b A 0)a2 b2 ()上的一點，Fi,F2為左、右焦點，則PFi=a + exo, PF 2=a 一 exo=2 j 乂 ii.設xoy。）為橢圓b222 =1(a f 0) a+ eyo, PF 2上的一點，Fl,F2為上、下焦點，貝yPFi=aey戸由橢圓第二定義可知:“左加右減”.注意：橢圓參數方程的推導：得N(acos8,bsin8)

3、T方程的軌跡為橢圓.2b 2yX=1(a,b 0),七一2 =1(a,b 0)ab ( b2)b2通徑：垂直于X軸且過焦點的弦叫做通經.坐標：二孑(c,a和(c,T)2 2的離心率是X y + 丄？ =1(a Ab A0) 共離心率的橢圓系的方程：橢圓a2 b2()c e aFf)的離心率也是 2我, 2 2e=a(gaR),方程詁* (t是大于0的參數，們稱此方程為共離心率的橢圓系方程2 2若P是橢圓：0+*上的點.Fi,F2為焦點，若NFiPf9，貝F1F2的面積b2t 9為b怡右(用余弦定理與|PFi|+iPF2|=2a 可得)、雙曲線方程.|PFjI PF2I =2|F1f2方程為雙曲

4、線|PFi| PF2I =2a a|FiF2|無軌跡1.雙曲線的第一定義:|P FjI PF 21 =2|F1F2|以F1,F2的一個端點的一條射線雙曲線標準方程:22X y2 -7? a b般方程：AxyUz)i.焦點在x軸上:頂占：(a,O),(p,O) 隹占：(c,O),(p,O)2、八、八、八、準線方程2x=a-0c漸近線方程：a b 或2 2x y _oii. 焦點在y軸上:2頂點：（Oyga）.焦點：（o，c）,（oT）.準線方程：y漸近線方程：a-Voy2 x2rx = asec0Jx = bta nS或，參數方程： b=btanT或ty=ase旳.軸x,y為對稱軸，實軸長為2a

5、,虛軸長為2b，焦距2c.c e 離心率a2a2準線距 W （兩準線的距離）；c2 = a2 +b2,6 = 2參數關系a焦點半徑公式：對于雙曲線方程（Fi，F2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而 雙曲線不帶符號）MFiMF 2=exo 怡|mFi| = exoa 構成滿足 lMFMF 2 =2a|mF2| 4YXo+a-exo -aMF 1MF 2M F 1M F 2=ey o a=ey o +a+ a=-ey o=ey o-aFi等軸雙曲線:x2r2=均2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=x，離心率e =2 .

6、共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.2 2 2一嚴“與孑一b2 一兒互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線:2 2x yP才0a b共漸近線的雙曲線系方程:X2 y2 _ _X2 y2訐一訐”仏HO）的漸近線方程為-產=0如果雙曲線的漸近線為30時，它的雙曲線方程可設為1 1例如：若雙曲線一條漸近線為 y=0X且過P（32），求雙曲纟X221解：令雙曲線的方程為：，代入（3，2）得-12 2 x _y T TT a b=A H 0)y3？1X3直線與雙曲線的位置關系:區域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計 2條;區域：即定點在雙曲線上，1條切

7、線，2條與漸近線平行的直線，合計 3條;區域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計 4條;區域：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條;區域：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線小結：1.過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.2.若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入“直法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號2 2若P在雙曲線詁一詁F，則常用結論PFiePF3e(4ac-b2 b )注：ay%y+c=x頂點(4a 杰)3.設pF，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質:1：從雙曲線一個焦點到另一條

8、漸近線的距離等于b.di _ dl2：P到焦點的距離為m= n,則P到兩準線的距離比為 m： n.簡證：三、拋物線方程.y2 =2px(pH0)則焦點半徑PFBx+P四、圓錐曲線的統一定義4.圓錐曲線的統一定義:平面內到定點F和定直線l的距離之比為常數e的點的軌跡.當OYeY1時，軌跡為橢圓;當e =1時，軌跡為拋物線；當er時，軌跡為雙曲線；當e=0時，軌跡為圓，當 c=O,a =b 時).5.圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關于原點對稱的.因為具有對稱性，所以欲證AB=CD,即證AD與BC的中點重合即可.注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性

9、質橢圓雙曲線拋物線定義1.到兩定點F1,F2的距 離之和為定值2a（2a|F1F2|）的點的軌跡1.到兩定點F1,F2的 距離之差的絕對值為 定值 2a（02a|F1F2|） 的點的軌跡2.與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0e1）與定點和直線 的距離相等的 點的軌跡.方程標 準 方 程2 2a2 b2(aAb0)2 2-丄a2 b2(a0,b0)y2=2px參lx =a cos8 y =bs in 日 （參數日為離心角）x = asecP y = bta n 日 （參數日為離心角）x = 2 pt21廠2 pt (t為數方程參數）范圍axa,b y0中心原點0(0, 0)原點0( 0, 0)頂點(a,0),(a,0),(0,b) ,(0, b)(a,0),(a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸；實軸長2a,虛軸長2b.x軸隹占八、八、F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)f（o）焦距2c(c=Ja2 -b2 )2c(c=Ja2 +b2 )離心率ce= 一(0 e c1)ace = (e A1)ae=1準線2+a x= c2+a x= cX 衛2漸近線y= ax焦半徑r = a exr = 土(ex a)r=x+衛2通徑2b2a2b2a2p