1、直角三角形存在性問(wèn)題【問(wèn)題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點(diǎn)C使得ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo)【幾何法】?jī)删€(xiàn)一圓得坐標(biāo)（1）若A為直角，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（2）若B為直角，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（3）若C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C（直徑所對(duì)的圓周角為直角）重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，求法相同，以為例：【構(gòu)造三垂直】求法相同，以為例：構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過(guò)直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線(xiàn)；第二步：過(guò)另外兩端點(diǎn)向該直線(xiàn)作垂線(xiàn)，即可得三垂直相似【代數(shù)法】表示線(xiàn)段構(gòu)勾股還

2、剩下待求，不妨來(lái)求下：（1）表示點(diǎn)：設(shè)坐標(biāo)為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示線(xiàn)段：，；（3）分類(lèi)討論：當(dāng)為直角時(shí)，；（4）代入得方程：，解得：還有個(gè)需要用到一個(gè)教材上并沒(méi)有出現(xiàn)但是大家都知道的算法：互相垂直的兩直線(xiàn)斜率之積為-1考慮到直線(xiàn)與AB互相垂直，可得：，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（1,1），可得解析式為：y=-2x+3，所以與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，即坐標(biāo)為確實(shí)很簡(jiǎn)便，但問(wèn)題是這個(gè)公式出現(xiàn)在高中的教材上【小結(jié)】幾何法：（1）“兩線(xiàn)一圓”作出點(diǎn)；（2）構(gòu)造三垂直相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求線(xiàn)段，必要時(shí)可設(shè)未知數(shù)代數(shù)法：（1）表示點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)；（2）表示線(xiàn)段AB、AC、BC；（3）分類(lèi)討論A

3、B+AC=BC、AB+BC=AC、AC+BC=AB；（4）代入列方程，求解如果問(wèn)題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛裕瑒t同樣可采取上述方法，只不過(guò)三垂直得到的不是相似，而是全等【三垂直構(gòu)造等腰直角三角形】【2019蘭州中考（刪減）】通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題【模型呈現(xiàn)】如圖，在RtABC，ACB=90，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AD，過(guò)點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)，可以推理得到ABCDAE，進(jìn)而得到AC=DE，BC=AE我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“K型”推理過(guò)程如下：【模型遷移】二次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)A（-1,0），B（4,0）兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸交

4、直線(xiàn)于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，當(dāng)是以為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo) 【分析】（1）；（2）本題直角頂點(diǎn)P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)即為P點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)P作水平線(xiàn)，得三垂直全等設(shè)HP=a，PQ=b，則BQ=a，CH=b，由圖可知：，解得：故D點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）同理可求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2）思路2：等腰直角的一半還是等腰直角如圖，取BC中點(diǎn)M點(diǎn)，以BM為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個(gè)頂點(diǎn)即為P點(diǎn)根據(jù)B點(diǎn)和M點(diǎn)坐標(biāo)，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2，故P點(diǎn)坐標(biāo)易求P點(diǎn)橫坐標(biāo)同D點(diǎn)，故可求得D點(diǎn)坐

5、標(biāo)【2017本溪中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B（3,0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為D，點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合）（1）求該拋物線(xiàn)的解析式（2）點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】（1）；（2）當(dāng)POQ為直角時(shí)，考慮Q點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，故過(guò)點(diǎn)Q向y軸作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段長(zhǎng)為1，可知過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)，長(zhǎng)度必為1，故P的縱坐標(biāo)為1如下圖，不難求出P點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，可得：解得：，（舍）如下圖，對(duì)應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)分別為、當(dāng)OPQ為直角時(shí)，如圖構(gòu)造OMPPNQ，可得

6、：PM=QN設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，QN=，若，解得：，（舍）若，解得：，（舍）如下圖，對(duì)應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)分別為、對(duì)于構(gòu)造三垂直來(lái)說(shuō)，直角頂點(diǎn)已知的和直角頂點(diǎn)的未知的完全就是兩個(gè)題目！也許能畫(huà)出大概位置，但如何能畫(huà)出所有情況，才是問(wèn)題的關(guān)鍵其實(shí)只要再明確一點(diǎn)，構(gòu)造出三垂直后，表示出一組對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相等關(guān)系列方程求解即可【2019阜新中考】 如圖，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形面積的最大值（3）點(diǎn)為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，問(wèn)：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，且為直角？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

7、【分析】（1）；（2）連接AC，將四邊形面積拆為APC和ADC面積，考慮ADC面積為定值，故只需APC面積最大即可，鉛垂法可解；（3）過(guò)點(diǎn)N作NEx軸交x軸于E點(diǎn)，如圖1，過(guò)點(diǎn)M向NE作垂線(xiàn)交EN延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)，易證OENNFM，可得：NE=FM設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得：（圖1），（圖4）對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)分別為、；，解得：（圖2）、（圖3）對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)分別為、當(dāng)直角頂點(diǎn)不確定時(shí)，問(wèn)題的一大難點(diǎn)是找出所有情況，而事實(shí)上，所有的情況都可以歸結(jié)為同一個(gè)方程：NE=FM故只需在用點(diǎn)坐標(biāo)表示線(xiàn)段時(shí)加上絕對(duì)值，便可計(jì)算出可能存在的其他情況一般直角三角形存在性，同樣構(gòu)造三垂直，區(qū)別于等腰直角構(gòu)造的三垂直全等，沒(méi)了等

8、腰的條件只能得到三垂直相似而題型的變化在于動(dòng)點(diǎn)或許在某條直線(xiàn)上，也可能在拋物線(xiàn)上等【對(duì)稱(chēng)軸上尋找點(diǎn)】（2018安順中考）如圖，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，且拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，（1）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式；（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使為直角三角形的點(diǎn)坐標(biāo)【分析】（1）直線(xiàn)BC：拋物線(xiàn)：；（2）將軍飲馬問(wèn)題，考慮到M點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，且點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，故MA+MC=MB+MC，當(dāng)B、M、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，M到A和C的距離之后最小，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）；

9、（3）兩圓一線(xiàn)作點(diǎn) P：以為例，構(gòu)造PNBBMC，考慮到BM=MC=3，BN=PN=2，故點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）易求坐標(biāo)為（1,4）、求法類(lèi)似，下求：已知PN=1，PM=2，設(shè)CN=a，BM=b，由相似得：，即ab=2，由圖可知：b-a=3，故可解：，（舍），對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為類(lèi)似可求坐標(biāo)為【拋物線(xiàn)上尋找點(diǎn)】（2018懷化中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（1）求拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)谳S上找一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，為頂點(diǎn)，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐

10、標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）拋物線(xiàn)：，直線(xiàn)AC：y=3x+3；（2）看圖，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）與C點(diǎn)重合了（3）考慮到AC為直角邊，故分別過(guò)A、C作AC的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，有如下兩種情況，先求過(guò)A點(diǎn)所作垂線(xiàn)得到的點(diǎn)P：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則PM=m+1，AM=，易證PMAANC，且AN=3，CN=1，解得：，（舍），故第1個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)為；再求過(guò)點(diǎn)C所作垂線(xiàn)得到的點(diǎn)P：，CN=m，解得：，（舍），故第2個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)為綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為或【動(dòng)點(diǎn)還可能在】（2019鄂爾多斯中考）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（1）求拋物線(xiàn)的解析式（2）是直線(xiàn)下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值（3）以點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由【分析】（1）；（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交EF于點(diǎn)Q，所謂PH最大，即PQ最大，易解（3）CM為直角邊，故點(diǎn)C可能為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)M也可能為直角頂點(diǎn)當(dāng)為直角時(shí)，如圖：不難求得CF=1，BF=2，又，可得：，故坐標(biāo)為；同理可求坐標(biāo)為當(dāng)BMC為直角時(shí)，