1、第二十一講余數的性質與計算-這一講我們來學習余數問題在整數的除法中，只有能整除和不能整除兩種情況當不能整除時，就會產生余數一般地，如果a是整數，b是整數（b0）,若有ab=qr（也就是a=bq+r）,0rb；當r=0時，我們稱a能被b整除；當r0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的商余數問題和整除問題是有密切關系的，因為只要我們去掉余數，就能和整除問題聯系在一起了余數有如下一些重要性質基本性質：被除數=除數商（當余數大于0時也可稱為不完全商）+余數除數=（被除數-余數）商；商=（被除數-余數）除數余數小于除數理解這條性質時，要與整除性聯系起來，從被除數中減掉余數，那么所

2、得到的差就能夠被除數整除了在一些題目中因為余數的存在，不便于我們計算，去掉余數，回到我們比較熟悉的整除性問題，那么問題就會變得簡單了-例題1用一個自然數去除另一個整數，商40，余數是16，被除數、除數的和是877，求被除數和除數各是多少？分析如果設除數為a，被除數可以表示為什么？練習1甲、乙兩數的和是2014，甲數除以乙數商99余14，求甲、乙兩數-我們之前學過一些特殊數（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性這些數的整除特性稍加改造，即可成為求解余數的一類簡便算法：（1）一個數除以2或5的余數，等于這個數的個位數字除以2或5的余數；一個數除以4或25的余數，

3、等于這個數的末兩位數除以4或25的余數；一個數除以8或125的余數，等于這個數的末三位數除以8或125的余數；（2）一個數除以3或9的余數，等于這個數的各位數字和除以3或9的余數；一個數除以99（包括11、33）的余數，等于將它兩位截斷再求和之后的余數；此外，求3和9的余數還可應用亂切的方法（3）一個數除以11的余數，等于它的奇位數字和減去偶位數字和除以11的余數，如果奇位數字和比偶位數字和小，則先加上若干個11再減即可（4）一個數除以7、11和13的余數，等于將它三位截斷之后，奇數段之和減去偶數段之和除以7、11和13的余數，如果奇數段之和比偶數段之和小，則加上若干個7、11或13再減即可這

4、種利用整除特性來計算余數的方法叫做特性求余法-例題2（1）20132013除以4和8的余數分別是多少？（2）20142014除以3和9的余數分別是多少？分析根據4、8、3、9的特性，可以很快計算出結果練習2（1）20121221除以5和25的余數分別是多少？（2）20130209除以3和9的余數分別是多少？例題3（1）123456789除以7和11的余數分別是多少？87654321呢？（2）360360360除以99的余數是多少？分析根據7、1、99的特性，可以計算出結果在截斷的時候要特別小心練習3201420132012除以13和99的余數分別是多少？-為了更好地了解余數的其它一些重要性質，

5、我們再來做幾個練習：（1）211除以9的余數是_；（2）137除以9的余數是_；（3）211+137的和除以9的余數是_；（4）211-137的差除以9的余數是_；（5）211137的積除以9的余數是_；（6）1372除以9的余數是_比較上面的結果，我們發現余數還有一些很好的性質：和的余數等于余數的和；差的余數等于余數的差；積的余數等于余數的積這三條性質分別稱為余數的可加性、可減性和可乘性在計算一個算式的結果除以某個數的余數時，可以利用上述性33+3715-80質進行簡算例如計算33+3715-80的結果除以7的余數就每個數都用它除以7的可以像右側這樣計算這一簡算方法又稱替換求余法5+21-3

6、需要提醒大家的是，雖然上述三條計算余數的口訣朗朗（上口，但并不嚴格，在使用時還需要注意：1）如果替換之后余數的計算結果大于除數，還需要再次計算結果的余數例如：在計算423+317除以6的余數時，利用“和的余數等于余數的和”，結果就變成了3+5=8，86，所以還需要再次計算8除以6的余數是2，才是423+317除以6最后的余數再比如：在計算423317除以6的余數時，也會遇到（35=156的情況，同樣的還需要計算15除以6的余數是3，才是最終的結果2）在計算減法時，會出現余數不夠減的情況，這時只要再加上除數或除數的倍數即可例如：在計算423-317除以6的余數時，會發現結果變成了3-5不夠減此時

7、，只要再加上6，用6+3-5=4來計算即可-例題4一年有365天，輪船制造廠每天都可以生產零件1234個年終將這些零件按6個一包的規格打包，最后一包不夠6個請問：最后一包有多少個零件？分析最后一包的零件數實際上就是零件總數除以19的余數練習4（1）123+456+789除以111的余數是多少？（2）224468-6678的結果除以22余數是多少？-如果我們將“特性求余法”和“替換求余法”相結合，便可大大簡化余數的計算-例題5（1）87784+4923581368除以4、9的余數分別是多少？（2）365366+367368369370除以7、11、13的余數分別是多少？分析要把結果算出來，再求余

8、數，計算量很大看看如何利用“替換求余”以及“特性求余”的方法來進行求解例題6（1）2100的個位數字是多少？32014除以10的余數是多少？（2）32014除以7的余數是多少？分析一個數的個位數字就是它除以10的余數，大家來找一下個位數字的變化規律小熊分粽子今天是端午節，猴爸爸一大早就領著猴兒們去觀看龍舟比賽。在回家的路上，猴爸爸買了一筐粽子準備分給孩子們。回到家，猴爸爸將粽子數了數，一共70多個。猴爸爸把9個孩“子叫到身邊說：孩子們，今天過節，爸爸要將這些粽子分給你們吃。”說完，就開始分粽子，可猴爸爸怎么分也不能將粽子均分給孩子們。正在犯愁時，門鈴響了，原來是小熊來串門。“小熊是出了名的小精

9、靈，腦瓜特靈活。猴爸爸一見他就高興地說：小熊老弟，你來得正好，我正有問題要找你幫忙呢。于是，猴爸爸將自己分粽子的事情告訴了小熊。小熊眼珠一轉，計上心頭，笑著說：“猴大哥，這件事好辦，只要你答應將分剩下的粽子給我，我保證把這些粽子均勻地分給你的孩子們。”猴爸爸一聽小熊有辦法，連想都沒想就答應了小熊的要求。小熊將筐中的粽子一個個地分給猴兒們，猴兒們幫分到了同樣多的粽子，誰也沒有意見，都高高興興地吃起了粽子。這時，猴爸爸卻不高興了，因為他發現，小熊分得的粽子個數最多。他生氣地對小熊說：“熊老弟，這就是你不對了，你明知道你得的粽子會最多，為什么“還要騙我上你的當呢？你也太不夠朋友了。”小熊笑著說：猴大

10、哥，我們可是有言在先，你”可是答應了我的條件，我才幫你分粽子的，你難道想反悔嗎？那才真是不夠朋友呢！猴爸“爸自知理虧，不好再爭辯什么，只是埋怨自己不該輕信小熊的話，嘆了嘆氣說：誰叫我當初不多讀點書呢!”猴爸爸只顧著生氣，猴兒們聚在一起吃得正香，誰也沒有再理會小熊，小熊見自己不再受歡迎，只好拿著分到的粽子離開了猴子山。小朋友，請你想一想，猴爸爸一共買了多少個粽子?猴兒們和小熊各分得了多少個粽子?作業1.1234567除以3、5、9的余數分別是多少？作業2.151515151515除以8、11、7的余數分別是多少？作業3.算式20092009+20102010+20112011除以31的余數是多少

11、？作業4.自然數42011除以9的余數是多少？作業5.算式188+288+388+l1988+2088的結果除以9、13的余數分別是多少？第二十一講余數的性質與計算例題1.答案：856；21詳解：除數為(877-16)(40+1)=21，被除數為877-21=856例題2.答案：（1）1；5（2）2；5詳解：一個數除以4和8的余數，只要分別看這個數末兩位和末三位除以4和8的余數即可一個數除以3和9的余數，只要分別看這個數數字和除以3和9的余數即可例題3.答案：（1）1；56；7（2）63（詳解：1）123+789-456=456，456除以7和11的余數分別為1和5，因此123456789除以

12、7和11的余數分別為1和5用321+87-654=408-654，發現不夠減，要求除以7的余數，加上7的倍數即可比如：408-654+350=104，104除以7余6，因此87654321除以7余6求除以11的余數，可用1+3+5+7-(2+4+6+8)=16-20，發現不夠減，加上11的倍數即可，16-20+11=7，因此87654321除以11余7（2）一個數除以99的余數，等于將它兩位截斷再求和之后的余數容易發現360360可被99乘除，因此只要看360除以99的余數即可，因此余數為63例題4.答案：2詳解：就是要求算式3651234的結果除以6的余數利用替換求余法易知結果是2例題5.答

13、案：（1）0；2（2）2；2；2詳解：特性求余法和替換求余法結合使用例題6.答案：（1）6；9（2）4詳解：（1）2n的個位數字依次是2、4、8、6、每四個數一個周期100除以4的余971數是0，那么2100的個位數字是周期中的第四個數63n的個位數字依次是3、每四個數一個周期2014除以4的余數是2，那么32014的個位數字是周期中的第二個數9（2）3n除以7的余數依次是3、2、6、4、5、1、每六個數一個周期2014除以6的余數是4，所以32014除以7的余數是周期中的第四個數4練習1.答案：1994；20簡答：設乙數為a，則甲數為99a+14，那么有a+99a+14=2014，a=20可求出甲數為1994，乙數為20練習2.答案：（1）1；21（2）2；8簡答：（1）利用末位判別法；（2）利用數字和練習3.答案：8；0簡答：三位截斷后，奇段和為420+12=432，偶段和為201+132=333，432-333=99，除以13的余數是8兩位截斷后，所有段的和