1、29.1 投影(第二課時)正投影的性質一、教學目標知識與技能：1、進一步理解正投影的概念；2、能根據正投影的性質畫出簡單平面圖形的正投影。過程與方法：1、在探究物體與其正投影關系的活動中，體會立體圖形與平面圖形的相互轉化關系，培養學生的動手實踐能力，發展學生的空間觀念。 2、通過探究生活中有關正投影的數學問題，提高數學的應用意識。情感態度與價值觀：通過學習，鼓勵學生敢于發表自己的想法，通過積極參與數學活動，增強學習數學的興趣和信心。二、學習重點、難點：重點歸納正投影的性質難點面的正投影的性質，正確畫出簡單平面圖形的正投影。三、學具準備：鉛筆、正方形紙板、泡沫塑料、竹簽、作圖工具。 教學輔助：多

2、媒體四、教學過程:（一）提出問題上一節課，我們探索了投影線的變化對投影的影響。今天我們接著該研究什么？目的：讓學生有提出研究問題的機會，加強知識之間的聯系，逐步學會研究問題。為解決問題，學生會自動回憶上節課的內容。教師亦可順勢讓學生回顧投影線的變化對投影的影響。這樣，自然而然的復習了投影的分類，教師還可以追問分類的依據以及彼此的區別和聯系。出示課件展示結果。投影線的變化中心投影 平行投影正投影 斜投影回到原來的問題“今天研究什么問題？”回憶至此，學生的思維可能還是跟不上，畢竟他們對于，多種要素構成對象的研究方法不熟悉。若是如此，教師可以引導學生進一步回顧投影的要素。投影的三要素呈現在課件中：投

3、影線的變化 投影物體 投影面中心投影 平行投影正投影 斜投影提出“除了投影線的變化會對投影的影響以外，還有什么？”現在，再讓學生提出問題，學生應該有兩種想法“研究投影物體的變化對投影的影響”或是“研究投影面的變化對投影的影響”。從中，選出今天的研究方向，即第一個。設計意圖：這樣來提出一節課的問題，比較自然恰當。學生從中感受到的是，問題的來源；感受到的是，所研究的問題是前面所研究問題的延續；感受到的是，怎樣研究“投影”分別研究它的組成要素。學生學習到的不僅是數學知識，還有研究問題的方法，還有知識所承載的思想等等。教學的立意，更多的是心里想著“教人”，而不僅是“教書”。教學生“學會思考”這是數學教

4、學的終極目的。物體的變化是研究的主要內容，那么對于另外兩個要素的處理方式，也應讓學生有所考量?？梢宰穯枺寒斘矬w的改變時，投影線，投影面你又怎樣處理？說出你的理由。（這是一個“怎樣研究的”問題，關注的是研究方法。）等待他們的思考，為了方便研究，學生會提出，動靜結合，將它們固定。教學中，教師切忌著急。著急，就會去“替代”。教的悲哀是替代，學的悲哀是依賴！ 本階段的任務：在解決新問題的過程中進行復習，加強了知識之間的聯系性，也讓學生掌握研究多個對象的方法?；ハ嗦撓档娜齻€對象，在研究它們變動時所產生的結果，應該固定其中的兩個，研究另一個在變動時對結果的影響。把方法論蘊涵于提出問題、解決問題的過程中。（

5、二）確定方案師：我們該怎樣研究投影物體的變化對投影的影響，這一問題呢？直接回答，若學生感覺毫無頭緒，教師可以可適當引導，比如，將其分解，幫助學生思考。子問題1：可以從哪些方面來研究物體的變化？ 形狀，大小，位置，這三個方面應該是學生能夠想到的。子問題2：你會選擇哪些研究對象？請你設計一個研究順序，找出相應的代表圖形，并闡明理由。 多個學生的舉例，三個維度的圖形，都有可能被提到。重點關注他們解決問題背后的思考。學生可能說出的研究順序大致有：三角形-正方形-長方體正三角形-正方形-長方形或者，線段-正三角形-正方體設計的理由，以生活中常見，圖形簡單，性質特殊，便于觀察等等居多。教師可以把學生列舉的

6、設計順序，簡要的寫在黑板上。極少會有學生想到，按平面圖形到立體圖形或從維度的角度設計順序，若有，則引導學生自己解說它的合理性；若無，為挖掘學生思維過程，教師可以進行追問。問：這些設計順序有一些共同之處，都是分類、分步研究的，分成了幾類？分類的依據是什么？ 平面，立體是學生能發現的，其實本質是維度的劃分。把學生的答案呈現出來。三角形 - 正方形 - 長方體正三角形-正方形-長方形 線段- - 正三角形- 正方體 平面圖形 立體圖形問：大家列舉了一些平面圖形，若讓你從中挑選一個，基本的代表圖形進行觀察、實驗，你選誰？說明你的理由。三角形或是線段，理由是它們的組成最簡單。師：大家從圖形的組成，即構成

7、要素的角度，確定了平面圖形的研究對象線段。若按此思路，立體圖形的構成要素又是什么？研究對象又選誰為代表？說明你的理由。三角形 - 正方形 - 長方體正三角形-正方形-長方形 線段 - 正三角形- 正方體 平面圖形 立體圖形構成要素： 線段 ？借助知識積累，學生應能想到立體圖形的組成要素面，研究對象選擇正方體的較多。三角形 - 正方形 - 長方體正三角形-正方形-長方形 線段 - 正三角形- 正方體 平面圖形 立體圖形構成要素： 線 面再進行一定的歸納、總結，就可能得出 “從構成要素的角度”獲得的研究順序，線面體。問渠那得清如許？為有源頭活水來。設計意圖：數學教學的本質是數學思維的過程。力求展現

8、學生自然的思維過程是數學教學的要義。教師的教學設計是問題的設計，是學生學習活動的設計，是學生學習過程的設計。在教學過程中，教師要始終注意自己所扮演的角色。不要總是想著怎樣去陳述、去解釋、去告訴；要想一想，怎樣去設問、去啟發、去引導。對于線段這一研究起點，教師還可以引導學生繼續思考：“有沒有比線段更基本的圖形？” “你是怎么想到？”讓他們自己主動繼續沿著構成的脈絡思考。最終確定完整的研究順序：點-線-面-體。（板書呈現）本階段的任務：讓學生經歷研究計劃的制定，確定研究對象，為下面觀察方案的提出做準備。核心是設置好問題。（三）探索實驗教師：我們依照確定的順序點-線-面-體，分別研究相應代表圖形的正

9、投影，這也是今天要學習的內容。（板書課題正投影規律）（1）初步體驗從點開始。選一個點，平行光線從上往下垂直照射到水平面上，得到的正投影是什么？結合生活經驗，投影是點，這個認識會很快得出。（2）進一步挑戰 換點為線。在投影面，投影線都不變的情況下，將點換成一條線段（出示教具），它的正投影又該是怎樣的？你怎樣研究？教師先不指明方向，讓學生嘗試說出自己的想法。若無結果，教師再給出必要的啟發、引導。子問題：哪些因素會影響線段的正投影？既然是線段，形狀已然確定，因素只剩下長短（大?。⑽恢?。（板書：影響線段的正投影的要素大小，位置）師：上節課我們已經接觸到，多種要素組成對象的研究方法。先固定某些要素，再

10、讓其它要素變動，研究變化產生的影響。利用這種方法，你擬出一個研究方案。經歷一次思維訓練，應該得出兩種結果。位置不變，大小變化或是大小不變，位置變化。師：前者根據生活經驗，我們已經有了一定的認識。今天我們重點研究，線段位置的變化，對投影結果的影響。（可把這一問題顯示在黑板上）確定了研究方案，接下來就是發現性質的過程。教師：下面通過小組合作，利用所給的學具（竹簽，鉛筆，塑料泡沫），模擬正投影的光照過程，探索線段位置變化，獲得投影結果。出示實驗工具：竹簽模擬平行光線 塑料泡沫板模擬水平面 鉛筆模擬線段實驗之前，提醒學生注意投影線與投影面之間的垂直關系。并要求他們保留并記錄不同的投影結果。學生活動，教

11、師巡視觀察，注意傾聽學生的想法，進行必要的指導，不過多干預，錯誤的樣本結果，也可以鍛煉思維。學生匯報，展示結果。要求：（1）呈現模擬過程（2）解說投影結果（3）語言歸納，概括發現。（可以把要求呈現在課件上）泡沫板鉛筆竹簽經過動手操作，傾斜，水平，垂直三種情況應該都會出現（如圖）。三個不同的樣本，是為了比較。比較之后，就能歸納概括。學生可能從形狀、大小兩個方面回答。 形狀線段，點大小當線段平行于投影面時等長，當線段傾斜于投影面時變短。（學生或許有其它說法）。這一段，整體控制，一氣呵成，老師注意放手，讓學生充分展示、交流。 下面從運動變化的角度追問，引導學生深度思考，完善認識。追問（1）：這三種情

12、況之間有無聯系？你能否采用一定的方法，由其中一個，得到另外的兩個？（一小部分學生能想到，利用旋轉變換，解決問題。）追問（2）：你還能怎樣改變物體位置？投影結果是否發生變化？學生或許能想到平移，而平移是不改變投影結果的。追問（3）:通過實驗，你能發現哪些不變的結論？讓學生歸納總結，得出線段的正投影規律當線段平行于投影面時，它的正投影是一條等長的線段。當線段傾斜于投影面時，它的正投影是一條縮短的線段。當線段垂直于投影面時，它的正投影是一個點。本階段的任務：利用動手實踐，運動變化等活動，學生比較不同的版本，經過思維歸納，發現“變中不變的東西”，從而獲得線段的正投影規律，發展幾何直觀能力，進而培養學生

13、的空間想象能力。面的正投影規律，若沒有時間則讓學生課下進行。下節課上反饋學習結果。（3）突破難點換線為面。按照研究順序，將線段換成平面圖形（出示教具正方形紙板），它的正投影又是怎樣的？此時教師放手，讓學生研究，不別過多干預前面已經做了許多工作，又有了經驗。學生實踐，模擬過程，探索結果。（學具：竹簽，正方形紙板，塑料泡沫。）學生匯報，展示結果。要求：（1）說明探索的是正方形哪方面的變化，對正投影的影響。（2）根據模擬過程，解說投影結果。（3）語言歸納，概括發現。巡視學生動手實驗的過程，他們探索的結果，大致會出現以下幾種。紙板平行于投影面時，即使沒有演示，學生也會獲得認知其投影是一個與原圖全等的正

14、方形。（形狀，大小不變）紙板垂直于投影面，是一條線段，這個學生應沒有異議，至于它的大小，會出現兩種認識，等于邊長或者等于對角線（少數學生會意識后者），實施上投影得到的這條線段的長度的范圍是大于等于正方形的邊長，小于等于對角線的長。也可以在匯報環節，讓這部分學生解說，展示思維過程。紙板傾斜于投影面，相對困難些。傾斜的位置怎樣擺，投影結果的形狀是什么，估計是他們面臨的兩個難題。小組討論或參看課本，他們多會仿照課本中的位置擺放，一組對邊平行于投影面，另一組對邊斜交于投影面，其投影結果是一個矩形。（形狀不變，大小變）。極少數學生可能認為，投影的結果是平行四邊形。（當紙板兩組對邊或對邊的延長線都與投影面

15、斜交時，結果確實如此）可以讓學生課下探究。深度思考，完善認識。借助幾個追問，引到學生反思。追問：關于傾斜時的投影結果，有沒有不同的看法？若有，則讓學生分享觀點，并要求其他學生課下驗證。追問：你還能怎樣改變正方形紙板的位置？改變后，投影是否發生變化？平移，旋轉。都是學生能回答出來的。平移，投影結果不變；旋轉，形狀、大小都變。追問:用語言總結正方形紙板的正投影結果。歸納結論：當紙板平行于投影面時，它的正投影與原圖全等（形狀，大小一樣）。當紙板傾斜于投影面時，它的正投影與原圖全等形狀，大小不完全一樣。當紙板垂直于投影面時，它的正投影是一條線段。追問：當物體的某個面平行于投影面時，當光線垂直照射投影面

16、時，這個面的正投影與它本身有怎樣的關系？ 學生有了線段，正方形正投影的規律做鋪墊，大膽猜想。會認為投影應與原圖全等。 至此，得出物體面的正投影性質：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全形同。設計意圖：面的正投影規律是本節課的一個難點。學習過程滲透了從簡單（一維圖形的正投影）到復雜（二位圖形的正投影），從具體（鉛筆、紙板）到抽象（線段，平面圖形），從特殊（正方形）到一般（平面圖形）的認識規律。此環節，如果來不及，可以對前面做適當小結。小結的重點放在“本節課重點研究了什么問題？”“我們是怎樣研究的？”“獲得了哪些結論？”（三）綜合應用我們研究了三種圖形的正投影，下面

17、我們該研究什么了？只剩下一個體。書上是以例題的方式，直接給出的。例 畫出如圖擺放的正方體在投影面上的正投影。（1）正方體的一個面ABCD平行于投影面（如圖）（2）正方體的一個面ABCD傾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且其對角線AE垂直于投影面（如圖）圖 圖讓學生自己先畫，然后交流學習結果。第一問學生馬上就能解決。相對比較困難的是第二個，看到的是兩個斜面和兩個和上下底面。斜面，結合動手操作的經驗，能得到兩個矩形。這個認知，學生還是能獲得的。兩個矩形邊長的大小關系，位置關系，應該是難點。結合線的投影規律，可以讓他們嘗試表明自己的觀點。找出矩形的邊長與對角線AE的關系。有了思維的分析，再結合實物正方體實物觀察。讓學生演示，解說投影結果。以印證結論，獲得完整的認知。從而突破本節課最后一個難點。設計意圖：通過該題，也反映出投影與現實中物體的影子雖有關，但又不等同。投影突出反映物體特征的線條。例（2）中投影是一個中間帶有