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1、中心對(duì)稱矩陣在矩陣特征分解中的應(yīng)用摘要本文針對(duì)偶數(shù)階中心對(duì)稱矩陣，引入偶數(shù)階置換矩陣，探索了矩陣特征分解的新方法。該方法是通過對(duì)矩陣的分塊，將復(fù)雜大型矩陣特征值問題，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)小矩陣特征值求解，使得問題計(jì)算的復(fù)雜度大大縮減。關(guān)鍵詞：中心對(duì)稱矩陣 置換矩陣 特征分解 定義1：如果矩陣P=（）滿足 其中則P是中心對(duì)稱矩陣1形如 ，都是中心對(duì)稱矩陣。定義2：如果，則為n階置換矩陣設(shè)為n階置換矩陣，則用左乘（或右乘）矩陣P，可以將其行（或列）按反序重新排列。定理1：矩陣P是中心對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng) 證明：若，因?yàn)椋瑒t，且 其中因此P是中心對(duì)稱矩陣。反之，若P是中心對(duì)稱矩陣，則顯然有.定理2：設(shè)P和Q都是n

2、階中心對(duì)稱矩陣，則P+Q，PQ和cP（c為任意實(shí)數(shù)）仍是中心對(duì)稱矩陣證明：設(shè)P和Q都是n階中心對(duì)稱矩陣，則由定理1，.因此，P+Q，PQ和cP仍是中心對(duì)稱矩陣。引理1：對(duì)于偶數(shù)階（n=2s）置換矩陣J，存在變換矩陣Q，使得為證明：設(shè)，則，故即，所以,分別是的屬于特征值1，-1的特征向量。同樣，設(shè)，有，所以和分別是屬于特征值1，-1的特征向量。當(dāng)P為偶數(shù)階（n=2s）時(shí)，繼續(xù)做下去，可得n=2s個(gè)相互正交的特征向量，將它們排列為變換矩陣Q的列向量，得，此時(shí)有.對(duì)于n階中心對(duì)稱矩陣P，則，因而，所以.定理3：對(duì)于偶數(shù)階中心對(duì)稱矩陣P，存在變換矩陣Q，使得為準(zhǔn)對(duì)角矩陣2證明：由引理1，選取變換矩陣Q設(shè)（是s階矩陣），則,.由此可得，故是準(zhǔn)對(duì)角矩陣，這會(huì)便利矩陣特征值的計(jì)算。推論1：設(shè)是n（=2s）階中心對(duì)稱矩陣，由定理1可知，.因此，從而，故.因此，2s階矩陣P的特征值等同于s階矩陣和的特征值，即將大矩陣特征值計(jì)算問題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)小矩陣的特征值計(jì)算，減少了計(jì)算復(fù)雜度。 特別地，如果s為偶數(shù)s=2t，則s階小矩陣可以繼續(xù)分解為階數(shù)更小的t階矩陣，如果t依然是偶數(shù)，以此類推，高階大矩陣特征值問題轉(zhuǎn)化為求解低階小矩陣特征值問題，計(jì)算難度大大減少。參考文獻(xiàn)1邱森，朱林生高等代數(shù)探究性課題

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