1、2019 年普通高等學校招生全國統一考試（ i 卷）理科數學一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的。1. 已知集合 m = x | -4 x 2，n =x | x 2 -x -6 0 ，則 m i n =a. x | -4 x 3c. x | -2 x 2b. x | -4 x -2d. x | 2 x 32. 設復數 z 滿足 | z -i | =1 ，z 在復平面內對應的點為(x,y)，則a. ( x +1) 2 +y 2 =1b. ( x -1) 2 +y 2 =1 c. x 2 +( y -1) 2 =1d.

2、x 2 +( y +1) 2 =13. 已知 a =log 0.2，b =220.2，c =0.20.3，則a. a b cb. a c b c. c a bd. b c 0, b 0) 的左、右焦點分別為 f 、f ，過 f 的直線與 c 的兩條漸近 a 2 b 2線分別交于 a、b 兩點，若 f a =ab ， f b f b =0 ，則 c 的離心率為_。1 1 2三、解答題：共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個試 題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共 60 分。17. （12 分）dabc 的內

3、角 a、b、c 的對邊分別為 a、b、c，設 (sin b -sin c )2=sin2a -sin b sin c 。（1） 求 a；（2） 若 2a +b =2c，求 sin c。18. （12 分）如圖，直四棱柱 abcd-a b c d 的底面是菱形， aa = 4，ab = 2， bad =60，e、m、n 分別 是 bc、bb 、a d 的中點。（1） 證明：mn / 平面 c de；（2） 求二面角 a-ma -n 的正弦值。19. （12 分）已知拋物線 c : y 2 =3 x 的焦點為 f，斜率為（1）若 | af | +| bf |=4 ，求 l 的方程； （2）若 ap

4、 =3pb，求 | ab | 。32的直線 l 與 c 的交點為 a、b，與 x 軸的交點為 p。20. （12 分）已知函數 f ( x) =sin x -ln(1 +x )，f ( x)為f ( x )的導數 。證明： （1） f ( x)在區間( -1, ) 存在唯一極大值點；2（2） f ( x ) 有且僅有 2 個零點。221. （12 分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗。試驗 方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗，對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另 一只施以乙藥，一輪的治療效果得出后，再安排下一輪試驗。當其中一種藥治愈的白

5、鼠比另一種 藥治愈的白鼠多 4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效。為了方便描述問題，約定： 對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得 -1 分； 若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1 分，甲藥得 -1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得 0 分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 a和b，一輪試驗中甲藥的得分記為 x。 （1）求 x 的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予 4 分， p (i =0,1, l ,8) 表示“甲藥的累計得分為 i 時，最i終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p =0，p =1， p =ap 0

6、8 ii -1+bp +cp (i =1,2, l ,7) ，其中 i i +1a =p ( x =-1)， b =p ( x =0)， c =p ( x =1) 。假設 a =0.5，b=0.8 。（i）證明： pi +1-p (i =0,1,2, l ,7) 為等比數列； i（ii）求 p ，并根據 p 的值解釋這種試驗方案的合理性。 4 4（二）選考題：共 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計 分。22. 選修 44：坐標系與參數方程（10 分）在直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數方程為 1 -t 2 x = 1 +t 2 4ty = 1 +t(t為參數) 。以坐標原點 o 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為 2 rcos （1）求 c 和 l 的直角坐標方程；（2）求 c 上的點到 l 距離的最小值。q+ 3 rsinq+11 =0 。23. 選修 45：不