第五章 二元一次方程組 5.1認(rèn)識(shí)二元一次方程組專題 二元一次方程組解的規(guī)律探究1. 下表反映了按一定規(guī)律排列的方程組和它們的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系：方程組的序號(hào)方程組1方程組2方程組3方程組n（n為正整數(shù)）方程組方程組的解（1）寫出方程組1的求解過(guò)程；（2）請(qǐng)依據(jù)方程組和它們的解的變化規(guī)律，直接寫出方程組n和它的解（n為正整數(shù)）2. 下列是按一定的規(guī)律排列的方程組和它的解的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖，若方程組集合中的方程組自左向右依次記作方程組1，方程組2，方程組3，方程組n.（1）將方程組1的解填入圖中；（2）請(qǐng)依據(jù)方程組和它的解的變化規(guī)律，將方程組n和它的解直接填入集合圖中（注意：1-n2=(1+n)(1-n)；（3）若方程組的解是求m的值，并判斷該方程組是否符合題中的規(guī)律答案：w ww.1解：（1），由得x=2y+4把代入，得2(2y+4)+y=3解得y=-1把y=-1代入,得x=2所以方程組1的解為（2）方程組n為它的解為2解：（1）依次填：1,0.（2）依次填：x+y=1,x-ny=n,n,1-n.（3）方程組的解是10+9m=16，解得m=，按照題中規(guī)律可知：m是16的算術(shù)平方根，即m=4，矛盾該方程組不符合題中的規(guī)律5.2解二元一次方程組專題 解二元一次方程組的探究性問(wèn)題1. 若關(guān)于x，y的二元一次方程組 的解均為正整數(shù)，m也是正整數(shù)，則滿足條件的所有m值的和為_.2. 上數(shù)學(xué)課時(shí)，陳老師讓同學(xué)們解一道關(guān)于x、y的方程組并請(qǐng)小方和小龍兩位同學(xué)到黑板上板演.可是小方同學(xué)看錯(cuò)了方程（1）中的a，得到方程組的解為 小龍同學(xué)看錯(cuò)了方程(2)中的b，得到方程組的解為你能按正確的a、 b值求出方程組的解嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?3三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“若方程組的解是，求方程組的解.”提出各自的想法.甲說(shuō)：“這個(gè)題目好象條件不夠，不能求解”；乙說(shuō)：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說(shuō)：“能不能把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以5，通過(guò)換元替換的方法來(lái)解決”.參考他們的討論，你認(rèn)為這個(gè)題目的解應(yīng)該是多少？答案：1.6 【解析】 兩式相加，得（m+1）x=12，x=，當(dāng)m=1時(shí)，x=6，y=6-2=4；當(dāng)m=2時(shí)，x=4，y=4-2=2；當(dāng)m=3時(shí)，x=3，y=3-2=1；當(dāng)m=4時(shí)，x=，y=-2=；當(dāng)m=5時(shí)，x=2，y=2-2=0；當(dāng)m=6時(shí)，x=，y=-2=-；當(dāng)m=7時(shí)，x=，y=-2=；當(dāng)m=8時(shí)，x=，y=-2=；當(dāng)m=9時(shí)，x=，y=-2=；當(dāng)m=10時(shí)，x=，y=-2=；當(dāng)m=11時(shí)，x=1，y=1-2=-1；當(dāng)m=12時(shí)，x=，y=-2=可見(jiàn)，滿足條件的m值為1，2，3.其和為1+2+3=62解：由題意得方程組解得代入原方程組，得 解得3解：根據(jù)方程組解的定義,將代入方程組,得再根據(jù)丙同學(xué)的提示，將第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以5得 將,代入上面方程組得則當(dāng)時(shí)，不論a1,a2,b1,b2取何值方程組均成立，故知.5.3雞兔同籠專題 圖表信息題1. 如圖，在33的方陣圖中，填寫了一些數(shù)和代數(shù)式（其中每個(gè)代數(shù)式都表示一個(gè)數(shù)）使得每行的3個(gè)數(shù)，每列的3個(gè)數(shù)，斜對(duì)角的3個(gè)數(shù)之和均相等（1）求x，y的值；（2）畫圖完成此方陣圖2. 有三把梯子，分別是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步階梯上升的高度是一致的每把梯子的扶桿長(zhǎng)（即梯長(zhǎng)）、頂檔寬、底檔寬如圖所示，并把橫檔與扶桿榫合處稱作連接點(diǎn)（如點(diǎn)A）（1）通過(guò)計(jì)算，補(bǔ)充填寫下表：梯子種類兩扶桿總長(zhǎng)（米）橫檔總長(zhǎng)（米）連接點(diǎn)數(shù)（個(gè)）五步梯42.010七步梯九步梯（2）一把梯子的成本由材料費(fèi)和加工費(fèi)組成，假定加工費(fèi)以每個(gè)連接點(diǎn)1元計(jì)算，而材料費(fèi)中扶桿的單價(jià)與橫檔的單價(jià)不相等（材料損耗及其它因素忽略不計(jì)）現(xiàn)已知一把五步梯、七步梯的成本分別是26元、36元，試求出一把九步梯的成本 答案：1解：（1）由題意，得解得（2）如圖.2解：（1）七步梯、九步梯的扶桿長(zhǎng)分別是5米、6米；橫檔總長(zhǎng)分別是：（0.4+0.6）7=3.5(米)、（0.5+0.7）9=5.4(米)；連接點(diǎn)個(gè)數(shù)分別是14個(gè)、18個(gè).故依次填入:5,3.5,14,6,5.4,18.（2）設(shè)扶桿單價(jià)為x元/米，橫檔單價(jià)為y元/米，依題意得解得 故九步梯的成本為63+5.42+118=46.8（元），答：一把九步梯的成本為46.8元5.4增收節(jié)支專題 方案設(shè)計(jì)問(wèn)題1. 某中學(xué)擬組織九年級(jí)師生去韶山舉行畢業(yè)聯(lián)歡活動(dòng)下面是年級(jí)組長(zhǎng)李老師和小芳、小明同學(xué)有關(guān)租車問(wèn)題的對(duì)話：李老師：“平安客運(yùn)公司有60座和45座兩種型號(hào)的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金比45座的貴200元”小芳：“我們學(xué)校八年級(jí)師生昨天在這個(gè)客運(yùn)公司租了4輛60座和2輛45座的客車到韶山參觀，一天的租金共計(jì)5000元”小明：“我們九年級(jí)師生租用5輛60座和1輛45座的客車正好坐滿”根據(jù)以上對(duì)話，解答下列問(wèn)題：（1）平安客運(yùn)公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？（2）按小明提出的租車方案，九年級(jí)師生到該公司租車一天，共需租金多少元？2. （2012福建龍巖）已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次請(qǐng)選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)答案：1解：（1）設(shè)平安公司60座和45座客車每天每輛的租金分別為x元，y元由題意列方程組，解得.答：平安公司60座和45座客車每天每輛的租金分別為900元，700元.（2）九年級(jí)師生共需租金：5900+1700=5200（元）.答：共需租金5200元2解：設(shè)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨x噸、y噸，根據(jù)題意得，解得，w ww.故1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨3噸、4噸根據(jù)題意可得3a+4b=31，b=，使a，b都為整數(shù)的情況共有a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1三種情況，故租車方案分別為: A型車1輛，B型車7輛； A型車5 輛，B型車4輛；A型車9輛，B型車1輛設(shè)租車費(fèi)為w元，則w=100a+120b，方案租車費(fèi)為1001+1207=940(元)；方案租車費(fèi)為1005+1204=980(元)；方案租車費(fèi)為1009+1201=1020(元)故方案（1）最省錢，即租用A型車1輛，B型車7輛最少租車費(fèi)為940元.5.5里程碑上的數(shù)專題 行程問(wèn)題1. 一輛汽車在公路上勻速行駛，司機(jī)在路邊看到一個(gè)里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，行駛一小時(shí)后，他看到的里程碑上的數(shù)，恰好是第一個(gè)里程碑上的數(shù)顛倒順序后的兩位數(shù)，再過(guò)一小時(shí)，他看到的里程碑上的數(shù)，又恰好是第一次看到的兩位數(shù)中間添上一個(gè)零的三位數(shù)，那么他第一次看到的兩位數(shù)是（）A14B15C16D172. 某人在電車路軌旁與路軌平行的路上行走，他留意到每隔6分鐘有一部電車從他后面駛向前面，每隔2分鐘有一部電車從對(duì)面駛向后面假設(shè)電車和此人行走的速度都不變（分別為表示），請(qǐng)你根據(jù)下面的示意圖，求電車每隔幾分鐘（用表示）從車站開出一部？3. 甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，經(jīng)過(guò)3小時(shí)后相距3千米，再經(jīng)過(guò)2小時(shí)，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度答案：1C 【解析】 設(shè)第一次他看到的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)為x，十位數(shù)為y，汽車行駛速度為v，根據(jù)題意得解得x=6y.xy為1-9內(nèi)的自然數(shù)，x=6，y=1；即兩位數(shù)為16答：他第一次看到的兩位數(shù)是162解：根據(jù)題意得，解得（分鐘）答：電車每隔3分鐘從車站開出一部3解：設(shè)甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，則有兩種情況：（1）當(dāng)甲和乙相遇前相距3千米時(shí)，依題意得解得（2）當(dāng)甲和乙相遇后相距3千米時(shí)，依題意得解得答：甲乙兩人的速度分別為4km/h、5km/h或km/h，km/h5.6二元一次方程組與一次函數(shù)專題 二元一次方程組與一次函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用1. (2012江蘇鎮(zhèn)江)甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運(yùn)往B地，甲出發(fā)0.5小時(shí)后乙開始出發(fā)，結(jié)果比甲早1小時(shí)到達(dá)B地如圖，線段OP、MN分別表示甲、乙兩車離A地的距離s(千米)與時(shí)間t（小時(shí)）的關(guān)系，a表示A、B兩地間的距離請(qǐng)結(jié)合圖象中的信息解決如下問(wèn)題：(1)分別計(jì)算甲、乙兩車的速度及a的值；(2)乙車到達(dá)B地后以原速立即返回，請(qǐng)問(wèn)甲車到達(dá)B地后以多大的速度立即勻速返回，才能與乙車同時(shí)回到A地？并在圖中畫出甲、乙在返回過(guò)程中離A地的距離s（千米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)圖象2. 小華觀察鐘面（圖1），了解到鐘面上的分針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)360度，時(shí)針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)30度.他為了進(jìn)一步研究鐘面上分針與時(shí)針的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，從下午2:00開始對(duì)鐘面進(jìn)行了一個(gè)小時(shí)的觀察.為了研究方便，他將分針與原始位置OP（圖2）的夾角記為y1度，時(shí)針與原始位置OP的夾角記為y2度（夾角是指不大于平角的角），旋轉(zhuǎn)時(shí)間記為t分鐘，觀察結(jié)束后，他利用所得的數(shù)據(jù)繪制成圖象（圖3），并求出了y1與t的函數(shù)關(guān)系式：.請(qǐng)你完成：（1）求出圖3中y2與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并解釋這兩點(diǎn)的實(shí)際意義；（3）若小華繼續(xù)觀察一小時(shí)，請(qǐng)你在圖3 中補(bǔ)全圖象.答案：1解：（1）由題意知，甲的速度為km/h，乙的速度為km/h.設(shè)甲到達(dá)B地的時(shí)間為t，則解得t=4.5，a=180. w ww.（2）如圖，線段PE、NE分別表示甲、乙兩車返回時(shí)離A地的距離s（千米）與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：，若甲、乙兩車同時(shí)返回A地， 則甲返回時(shí)需用的時(shí)間為：（小時(shí)），甲返回的速度為90km/h.圖象如圖所示2解：（1）由圖3可知：y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,60）和（60,90），設(shè)y2=at+b，則， 解得.圖3中y2與t的函數(shù)關(guān)系式為：y2=t+60.（2）A點(diǎn)的坐標(biāo)是A（,），點(diǎn)A是和y2=t+60的交點(diǎn)；B點(diǎn)的坐標(biāo)是B（,），點(diǎn)B是和y2=t+60的交點(diǎn).（3）補(bǔ)全圖象如下：5.7三元一次方程專題 三元一次方程的應(yīng)用1小明、小敏、小新商量要在畢業(yè)前夕給老師辦公室的4道窗戶剪貼窗花表達(dá)大伙的尊師之情小明說(shuō)：“我來(lái)出一道數(shù)學(xué)題：把剪4個(gè)窗花的任務(wù)分配給3個(gè)人，每人至少剪個(gè)，有多少種分配方法”小敏想了想說(shuō)：“設(shè)各人的任務(wù)為x、y、z，可以列出方程x+y+z=4”小新接著說(shuō)：“那么問(wèn)題就成了問(wèn)這個(gè)方程有幾個(gè)正整數(shù)解”現(xiàn)在請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)看：這個(gè)方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）w ww.A6個(gè) B5個(gè) C4個(gè) D3個(gè)2某步行街?jǐn)[放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景甲種盆景由15朵紅花、24朵黃花和25朵紫花搭配而成；乙種盆景由10朵紅花、12朵黃花搭配而成；丙種盆景由10朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭配而成這些盆景一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，則黃花一共用了 朵3把數(shù)字1，2，3，9分別填入下圖的9個(gè)圈內(nèi)，要求三角形ABC和三角形DEF的每條邊上三個(gè)圈內(nèi)的數(shù)字之和都等于18（1）給出一種符合要求的填法；（2）共有多少種不同填法？證明你的結(jié)論答案：1D 【解析】（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=1，z=2或y=2，z=1；（2）當(dāng)y=1時(shí)，x=1，z=2或x=2，y=1；（3）當(dāng)z=1時(shí)，x=1，y=2或y=1，x=2故選D24380 【解析】設(shè)步行街?jǐn)[放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別有x盆、y盆、z盆由題意，有 ，由，得3x+2y+2z=580，由，得x+z=150，把代入，得x+2y=280，2y=280x，由得z=150x4x+2y+3z=4x+（280x）+3（150x）=730，24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6730=4380故黃花一共用了4380朵3.解：（1）如圖給出了一個(gè)符合要求的填法.（2）共有6種不同填法.證明:把填入A，B，C三處圈內(nèi)的三個(gè)數(shù)之和記為x；D，E，F(xiàn)三處圈內(nèi)的三個(gè)數(shù)之和記為y