2009年普通高校招生考試重慶數學試題評析與教學指導意見一、命題范圍及試卷結構本次考試的命題范圍是全日制普通高中數學必修課和選修課的全部內容。本次試題充分考慮了文理科學生的實際情況，拉大了文理科試題的差異，既體現了個性，也體現了共性，文理科試題差異個數見下表。文理科試題差異個數相同題姊妹題不同題題目總數021921本次試卷結構和分值分布文理科完全相同，與去年比較，有一定變化，且分值安排偏向于學生容易得分的題目，參見下表。2009年2008年題目個數分值分布題目個數分值分布文科理科文科理科選擇題10每個5分，共50分1210每個5分，共60分每個5分，共50分填空題5每個5分，共25分46每個4分，共16分每個4分，共24分解答題6前3個各13分，后3個各12分，共75分66前2個各13分，后4個各12分，共74分前4個各13分，后2個各12分，共76分二、命題原則及指導思想今年重慶高考數學試題，按照國家教育部考試中心2009年制定的數學考試大綱的要求，嚴格遵循現行中學數學教學大綱的規定，力求發揮三個有利有利于高校選撥優秀人才，有利于全體學生正常發揮水平，有利于指導中學數學教學。充分體現“以四基為本，深化能力立意，積極改革創新，注重導向作用”的命題指導思想，并希望能對中學數學教學如何實施素質教育和培養學生創新意識與實踐能力方面產生良好的影響。三、試題的特點1.突出數學本質，注重數學思想方法的考查本次考題不偏不怪，常規常見，題面敘述平適近人，數學味較濃，淡化非數學成分，不少試題體現了對數量關系和空間形式的要求，突出了數學本質的考查。著重考查了數學考試大綱中所要求的幾種重要的數學思想方法，如函數與方程的思想、數形結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想、運動變換思想等。如文科第1、5、9、10、12、15、16、19、20題，理科第1、5、8、10、12、15、16、18、20題就要用到函數與方程的思想去解決；文科第1、9、10、15、16、18、20題，理科第1、5、9、10、15、16、19、20、21題就可用數形結合思想去解決；文科第8、9、17、21題，理科第6、10、13、17、18、21題就用到分類與整合的思想；文科第20、21題，理科第14、21題考查了特殊與一般的數學思想方法；文科第21題，理科第8、21題考查了有限與無限的思想；文科第8、17題，理科第6、17題滲透了或然與必然的思想；而化歸與轉化的思想幾乎滲透到了每一個題之中。今年的一個顯著亮點是對運動變換思想進行了重點考查，如文理科第10、16（2）、20（2）題等。2.體現以知識為載體，能力為中心的考查中學數學中所學的基礎知識、基本技能和基本數學思想方法是學生繼續深造的基礎，也是培養學生數學能力的前提。本次文理試題各個題目都是以相應的基本知識為載體的，不可能脫離基礎知識而獨立存在，因而所有的題目都體現了對基礎知識的考查。基本技能是指對變形、代換、推理、計算等技巧所掌握的熟練程度，如文理科選擇題的前8個，文理科填空題的前4個，文理科解答題第16、17、18（1）、19（1）、20（1）、21（1）題，只要平時基礎扎實的學生都能快速作答。特別對重點知識函數、數列與不等式、三角、概率統計、解析幾何、立體幾何進行了重點考查，如下表所示。內容函數、導數數列與不等式解析幾何立體幾何三角排列、組合、概率統計二項式向量集合、簡易邏輯線性規劃極限復數題號文10、12、19、5、7、211、15、209、186、168、13、14、17342、11/理10、12、185、14、211、15、209、197、166、13、173411/82分值文2222221818285510/理232222171823555/55這次考試題以邏輯思維能力為核心，對學生的數學能力、創新意識和實踐能力進行了較為全面的考查，并能體現對數學理性思維的考查。考查了思維、運算、應用等幾方面的能力，著重考查學生的理解、判斷、分析、轉化的能力，有的題目綜合程度較高，解題思路清新，側重考查學生的數學思維與創造能力以及解決實際問題的能力，需要學生在知識理解和方法掌握的基礎上，綜合思考，靈活解題。例如文理科第9、10、15、20、21題等。3.以重點知識為核心，突出數學學科自身內容的基本聯系從上表可以看出，這次試題覆蓋考試范圍的知識點比較多，幾乎涉及所考范圍的全部知識點，文理科僅有線性規劃和球的內容未出現。本次試題力求從整體的高度去設計試題，以重點知識為核心，努力在幾個知識層面的交匯處命題，以檢驗學生能否形成一個有序的網絡化知識體系，并從中提取相關的信息，靈活地解決問題。文理科選擇填空題一般涉及25個知識點，解答題涉及的知識點更多。如文科第10題以函數為依托，主要考查了函數圖象的平移、一元二次方程、不等式恒成立及利用導數求函數的最值，同時考查函數與方程的思想、化歸與轉化的思想等；理科第10題以函數為主線，主要考查函數的周期性、分段函數、直線與橢圓的位置關系等，同時考查數形結合的思想、化歸與轉化的思想以及對學生的運算能力提出了較高要求。文理科第15題以橢圓、雙曲線為背景，主要考查橢圓和雙曲線的定義、離心率、幾何性質，不等式的解法，同時考查化歸與轉化的思想、方程的思想、數形結合的思想及邏輯思維能力。文理科第16題以三角函數內容為核心，主要考查同角三角函數基本關系、二倍角及兩角和差的三角公式、三角函數的周期性、單調性、對稱性和圖象平移，以及考查轉化的思想、運算能力與綜合分析、解決問題的邏輯思維能力。文理科第17題以實際問題為背景、以概率統計知識為核心，主要考查對立事件、相互獨立事件的概率、獨立重復試驗、離散性隨機變量的分布列（二項分布）與期望，以及考查綜合計算方法和能力。文科第19題和理科第18題以函數內容為核心，主要考查函數的奇偶性、導數的幾何意義、利用導數研究函數的極值與單調性以及不等式的基礎知識，同時考查了分類討論思想、轉化思想及邏輯思維能力。文科第18題和理科第19題抓住了立體幾何內各主要知識點的基本聯系，主要考查三垂線定理、二面角、空間直線與平面的垂直與平行的判定與性質定理的應用，以及考查空間想象力、邏輯思維能力及轉化的思想，或考查利用空間向量求解距離和角。文理科第20題以解析幾何的內容為核心，主要考查雙曲線和橢圓的定義、標準方程、幾何性質、圓的方程、中點坐標公式、平面向量的基本運算、不等式的性質，同時考查轉化的思想、方程的思想、數形結合的思想等數學思想及“待定系數”、“設而不求”與“整體消元”的方法，對學生的運算能力也提出了較高要求。文理科第21題以數列與不等式的交匯為紐帶，構建成高考綜合解答題作為壓軸的典型試題，往往難度較大，主要考查等差數列與等比數列關于通項及前項和的基本運算、遞推數列、不等式性質、絕對值不等式、均值不等式的應用，同時考查轉化思想、方程思想、分類討論思想及反證法、放縮法，考查邏輯思維能力、運算能力和創新意識。以上這些題目都較好地凸現出在數學學科各知識點的交匯處命題的基本思想，雖不刻意追求知識覆蓋面，但在各知識點交匯處命題，突出能力立意這也是我們今后命題的一個非常重要的方向。4.引導師生關注當地現實，體現數學實際應用這次考試題文科第8、13、17題和理科第6、13、17題都是關于排列、組合、概率與統計的實際應用問題，共計23分，所占比例適當，問題背景涉及當前重慶現實的有：大學生到鄉鎮當村官、移栽大樹來綠化環境；貼近學生生活實際的有：籃球隊的分組、排隊中的不相鄰、舀取湯圓個數等。這些問題對數學建模的要求適當，難度與運算量較為適度，較好地體現了考查數學應用的功能，對學生的閱讀理解能力有較高要求。同時可以檢測學生理解新事物、新信息的能力，增強學生應用數學的意識，充分體現了對學生實踐能力的要求。5.梯度區分度較合理，有利于大多數學生正常發揮水平本次數學試題文科平均70.57分，及格率34.44%，優生率3.64%，理科平均84.40分，及格率45.92%，優生率6.83%。理科滿分1人，文科無滿分獲得者，文科學生分數集中在30分至110分之間，理科學生分數集中在60分至120分之間，這些數據說明今年高考數學試題的區分度是較為合理和理想的。需要說明的是文科考生在去年的基礎上增加了五千人左右，因此文科試題平均分不高，略為偏難。從整套試題來看中檔題居多，基礎題偏少，難題偏難，因此這既符合考綱中全卷應以中等題為主的方針，又大大提高了全卷的區分度。選擇題中文科的前6個，理科的前7個，填空題中文理科的前4個，解答題中文理科的前2個是較為容易的題目。文理科選擇題最后2個，填空題最后1個，文理科解答題倒數兩個的第2小題都是有一定難度的，而且不少解答題（1）小問容易，（2）小問較難。嚴格遵循考試大綱，注重基本知識、基本技能和基本的數學思想方法的考查，大多數題目是常規常見題，較好的體現了循序漸進，入手寬，深入難，分步設防，多層次，多題把關的設題思路，使不同層次的學生都能下筆答題，獲得較為理想的成績，這樣區分度才會自然提高。應該說這是今后高考命題在難度控制上的一個參照。6.注意縱向橫向聯系，體現初高中、新舊課程內容的銜接今年高考試題緊密結合初高中課改進程，汲取了新課程中的新思想、新理念，并注意從內容上相銜接。第一，注重對新增內容的考查，特別是對新課改要求比較高的內容的考查。如文理科第4題和理科第7、20（2）題是對平面向量的有關內容進行考查；文科第14題和理科第17（2）題是對統計內容進行考查；文科第8、17題和理科第6、17（1）題是對概率的內容進行考查；文科第10、19題和理科第8、18題是對導數及其應用與函數極限的相關知識的考查，更為重要的是考綱中“理解可導函數的單調性與其導數的關系”得到了重點體現。新增內容文科分值約占40分左右，理科分值約占53分左右，比例遠遠高于在平常教學課時中所占比例，其中統計與概率、導數、極限這些內容在當今小學、初高中的新課改中是要求相當高的。第二，注意初高中新課程對圖象變換、函數與方程等內容的要求。初中舊教材對圖形變換要求較低，現在初中數學新課程對圖形的平移、對折（對稱）、旋轉、相似等變換作了高要求，不僅從幾何的角度去研究，還從坐標的角度去研究這些變換，為我們高中數學學習打下了堅實的基礎；高中數學新課程對函數與方程的內容比過去要求更高，要求學生了解函數的零點與方程根的聯系，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解等。上述這些內容在這次考題中都有所體現，如文理科第10題不僅體現了對圖象變換的考查，而且體現了對函數的零點與方程根的聯系的考查，對圖象變換內容考查的還有：文科第16（2）、20（2）題，理科第9、16（2）、20（2）題，突出了對運動變換思想的考查，加大了“變”與“不變”的轉換，提高了空間思維的含量，不避免地增加了解決這些問題的難度。第三，注意與初中數學新課程的內容相銜接，盡量在高考題中不出現初中未學過內容的運用。如立方和（差）公式、高次方程（組）的求解、分組分解法等等。四、改進命題工作的幾點思考1.起點題的難度偏高，全卷運算量較大。這次送分的基礎題是常規常見題，但考查的知識點較多，且每道題都有一定量的運算，致使相當一部分學生在前面花費了不少時間，后面能夠解決的一些問題因時間不夠而望題興嘆。如文科第1題（選擇題第一題）平均3.94分，比后面的第2、3、4題的平均分都低，文科第11題（填空題第一題）平均3.07分，比后面的第12題的平均分低，文科第16題（解答題第一題）平均6.84分，比后面的第17題的平均分低，理科的第2題（選擇題第二題）平均4.47分，比后面的第3、4題的平均分低，理科的第16題（解答題第一題）平均7.98分，比后面的第17題的平均分低，這些充分說明，起點題的分數要送就送到手，不要害怕題簡單，畢竟存在大量中下學生參加高考。另外，這次考題對學生的運算水平進行了一次大檢驗，算得有點叫人難受，有用運算量來增加難度的感覺。如文科除第2、11題外，理科除第1、9題外，其余每道題都有一定量的運算，有些題的運算量真是不算不知道，一算嚇一跳。如文科第8、9、15題和20題的求點的坐標等，理科第6、10、15、20（2）題等。希望今后能夠控制每個題的運算量，增大思考的力度，不在運算上兜圈子，多設置一些“一眼望穿”的有一定思維含量的題目。2.個別知識點考查過多，有重復考查之嫌。本次考試對組合內容、平面向量的數量積考查較多，兩次出現“至少”一詞。如理科第6、13、17題都對組合內容進行了考查，且理科第6、13題都出現了“至少”一詞，理科涉及平面向量的數量積有第4、7、20（2）題。由此建議盡量在同一試卷中避免同一知識點的多次考查。3.少數題目結構不盡合理，有畫蛇添足、人為制造難度之嫌。如文科第20題的第2小題本來求的最小值就行了，但還要求學生求此時點的坐標就顯得多余了，并且求解點的坐標并非易事，要解二元二次方程組運算量較大，其結果也不簡捷，況且初中數學新課程對二元二次方程組也不作要求了。又如理科第20題的第1小題要先求出已知橢圓的方程，才能求的最大值，而的最大值與本題第2小題毫無關系，但橢圓的方程對第2小題有直接影響，因此，本題不如把第1小題改為求橢圓的方程，這樣設計就顯得題目結構和諧完美。4.文理科填空題、立幾解答題難度偏大，壓軸題的難度可適當再降低。文科填空題沒有一個題的難度值在0.7以上，后面三個填空題難度值在0.5以下，難度值最低為0.01，難得不可想象；理科填空題后面三個的難度值都在0.5以下，難度值最低為0.08，也不令人滿意。文科立幾第18題難度值為0.25，其難度與壓軸題的難度相當，這也是文科學生的空間想象能力較差所致；理科立幾第19題難度值為0.44，也不容樂觀。文科第20、21題的難度值分別為0.24、0.18；理科第20、21題的難度值分別為0.30、0.07，這些說明文理科最后兩個解答題的難度值都在0.3及以下，特別是理科最后一題屬超難題，有形同虛設之感。實際上，今年文理科第20題的難度已經是最后壓軸題的難度了，建議今后文理科最后一道壓軸題的難度能夠保持在0.2左右就較為理想了。五、統計數據下面統計數據均不包括零分和缺考人數。通過近三年統計數據的各項指標來看，文理科數學試題有逐年難度加大的趨勢，要實現重慶卷在難度上保持相對穩定的目標，還有待命題者們繼續努力。從統計表中還看到今年文、理科試卷整體的信度較高，標準差適中，區分度較好，但個別題目需調整完善。如文科的第8、9、10、14、15題和理科的第9、10題區分度明顯偏低。題號12345678910總計滿分555555555550平均分3.944.434.134.113.283.503.432.352.382.1733.72難度值0.790.890.830.820.660.700.690.470.480.430.674標準差2.041.591.891.912.372.292.322.502.502.48區分度0.540.410.560.470.590.520.400.110.180.24表一：文科選擇題統計數據表題號12345678910總計滿分555555555550平均分4.674.474.534.704.203.903.672.762.651.8537.40難度值0.930.890.910.940.840.780.730.550.530.370.748標準差1.231.541.451.181.842.072.212.492.502.41區分度0.340.390.480.390.460.360.400.480.290.11表二：理科選擇題統計數據表表三：文科填空題統計數據表題號1112131415總計滿分5555525平均分3.073.422.200.870.069.64難度值0.610.680.440.170.010.39標準差2.432.322.481.900.555.95區分度0.490.600.580.260.170.78表四：理科填空題統計數據表題號1112131415總計滿分5555525平均分4.413.172.271.270.4011.51難度值0.880.630.450.250.080.46標準差1.612.412.492.181.355.85區分度0.450.540.440.390.360.76表五：文科解答題統計數據表題號161718192021總計滿分13131312121275平均分6.847.093.264.952.932.1627.23難度值0.530.550.250.410.240.180.363標準差5.075.484.325.032.561.63區分度0.850.810.680.830.790.67表六：理科解答題統計數據表題號161718192021總計滿分13131312121275平均分7.9810.497.255.343.540.8835.48難度值0.610.810.560.440.300.070.473標準差3.853.784.534.042.861.64區分度0.760.710.790.680.700.48表七：文理科數學成績分段人數統計表文科（64480人）理科（106046人）110分10801.67%3880.37%1120分32935.10%13981.32%2130分47997.43%22722.14%3140分53468.28%30822.91%4150分55738.63%45624.30%5160分54428.43%68036.41%6170分50847.88%100039.43%7180分55848.65%1346212.69%8190分653710.13%1627015.34%91100分752811.66%1664715.69%101110分725611.24%1431713.50%111120分48507.51%100449.47%121130分17942.78%51464.85%131140分3600.56%15621.47%141150分280.04%1180.11%表八：文理科數學全卷成績統計數據表項目平均分標準差信度難度及格率優生率最高分有效分專一三本二本重點文科2007年76.170.50840%14984921041212008年74.0036.050.9120.49337.13%12.31%14783901051242009年70.5732.120.9130.47134.44%3.64%147808797.5112理科2007年90.830.60660%150941001061172008年87.5030.690.9040.58353.58%12.96%15091971031142009年84.4026.010.8700.56345.92%6.83%150848995106.5六、對中學數學教學的幾點建議1.學習數學科考試大綱，明確要求通過學習考試說明，明確考試的性質、內容、形式與基本結構。研究每一年考試大綱的變化及對高考試題的影響。特別是重慶將發布的有關考試說明是我們復習備考的重要依據，要逐條落實考試內容，有針對性的培養綜合考試所要求的五種能力，即思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創新意識。同時要明確今年高考在內容、難度和題型要求上將要發生的變化，哪些內容被刪去了，哪些內容降低了要求，哪些內容是增加的，都要做到心中有數。另外注意教育部頒布的普通高中數學課程標準，將引領數學教學改革與高考改革的方向。2.精心研究新教材，有的放矢與舊教材相比較，新教材增加了簡易邏輯，平面向量，概率與統計，函數極限與導數等內容，刪減了冪函數，指對數方程，三角函數中的部分公式及反三角函數，指對數不等式與無理不等式，復數的三角形式，坐標平移，參數方程與極坐標方程等舊教材中學生普遍感到學習困難的內容，對不等式的證明，立體幾何中的論述，解析幾何中的圓錐曲線性質等熱點內容的教學要求也有所降低；高三文科選修，理科選修的內容也有很大的差異，教學目標也極不相同；新教材同時還增加了實習作業、閱讀材料、研究性學習課題等三塊內容，這些極有可能成為高考數學命題的背景材料。近年高考數學試題緊密結合新教材內容，新增加的內容占了很大的比例，一般都高于它們在課時中所占的比例，而且要與傳統內容相結合命題，如函數的極限、導數（利用導數可確定函數的單調性和最值）與函數的傳統內容相結合，平面向量與解析幾何相結合，簡易邏輯與函數、不等式、方程等的結合，線性規劃與函數、不等式、方程的結合，概率統計與排列組合的結合等。3.強化“四基”的教學與訓練，夯實基礎所謂“四基”就是指基礎知識、基本技能、基本數學思想方法和基本數學活動經驗，從今年高考數學試題可見“出活題、考基礎、考能力”仍是命題的主導思