.2014-3050-021 注：教師姓名后留有一個空格，后面填寫教師職稱。下面加下劃線。閱后刪除此文本框。 本科畢業論文（設計）代數基本定理的幾種證明學生姓名：黃容學號：1050501021系院：數學系專業：數學與應用數學指導教師：覃躍海 講師 提交日期：2014年4月27日畢業論文基本要求1畢業論文的撰寫應結合專業學習,選取具有創新價值和實踐意義的論題.2論文篇幅一般為理科以3000至5000字為宜.3論文應觀點明確,中心突出,論據充分,數據可靠,層次分明,邏輯清楚,文字流暢,結構嚴謹.4論文字體規范按廣東第二師范學院本科生畢業論文管理辦法（試行）和“論文樣板”執行.5論文應書寫工整,標點正確,用微機打印后,裝訂成冊.本科畢業論文（設計）誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業論文（設計）,是本人在指導老師的指導下,獨立進行研究工作所取得的成果,成果不存在知識產權爭議,除文中已經注明引用的內容外,本論文不含任何其他個人或集體已經發表或撰寫過的作品成果.對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確方式標明.本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承擔.學生簽名： 時間： 年 月 日關于論文（設計）使用授權的說明本人完全了解廣東第二師范學院關于收集、保存、使用學位論文的規定,即：1.按照學校要求提交學位論文的印刷本和電子版本；2.學校有權保存學位論文的印刷本和電子版,并提供目錄檢索與閱覽服務,在校園網上提供服務；3.學校可以采用影印、縮印、數字化或其它復制手段保存論文；本人同意上述規定.學生簽名： 時間： 年 月 .摘 要代數基本定理是代數學上一個重要的定理,甚至在整個數學上都起著基礎作用.最早在1629年由荷蘭數學家吉拉爾在他的論著代數新發現提出, 然而沒有給出證明.1637年迪卡兒也都提出這個定理,但同樣沒有給出證明.一直到一百年多后, 于1746年達朗貝爾才給出第一個證明.到十八世紀后半葉,歐拉等人也給出一些證明,然而這些證明都不夠嚴格,都先是假設了一些條件,然后才得出證明.直到1799年高斯才給出了第一個實質的證明.在二十世紀以前該定理對于代數學都是起著核心的作用，因為代數學所研究的對象都是建立在復數域上的, 因此也就之稱為代數基本定理.然而直到現在該定理卻還是沒有純代數證法,用純代數證明該定理卻是十分困難的,很多人相信根本不存在純代數的證法.不過后來隨著復變理論的發展,該定理已成為其他一些定理的推論了,用復函數理論可以很完美的證明了.現在據說也已經有了兩百多種證法.雖然前人已做了很多研究,但從多方面知識總結這些證明還是很有意義的.本論文基于多項式、柯西積分定理、儒歇定理、劉維爾定理、最大模定理和最小模定理這幾個方面介紹了代數基本定理的幾種證法.關鍵詞：代數基本定理；多項式；柯西積分定理；儒歇定理；劉維爾定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise Algebra newly discovered put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond dAlembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so its called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Roches theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.Key Words：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roches theorem; Lowville Theorem目 錄摘 要IAbstractII1. 引言- 1 -2.1. 利用多項式證明- 1 -2.1.1. 引理- 1 -2.1.2. 利用多項式證明代數基本定理- 2 -2.2. 利用柯西積分定理證明- 3 -2.2.1. 柯西積分定理- 3 -2.2.2. 利用柯西積分定理證明代數基本定理- 3 -2.3. 利用劉維爾定理證明- 5 -2.3.1. 劉維爾定理- 5 -2.3.2. 利用劉維爾定理證明代數基本定理- 5 -2.4. 利用儒歇定理證明- 6 -2.4.1. 儒歇定理- 6 -2.4.2. 利用儒歇定理證明代數基本定理- 6 -2.5. 利用最大模定理證明- 7 -2.5.1. 最大模定理- 7 -2.5.2. 利用最大模定理證明代數基本定理- 8 -2.6. 利用最小模定理證明- 8 -2.6.1. 最小模定理- 8 -2.6.2. 利用最小模定理證明代數基本定理- 8 -3. 總結- 9 -參考文獻- 10 -致謝.-12 -.代數基本定理的幾種證明1. 引言一元一次方程只有一個實數根,而在復數域內有兩個根,那么一元N次方程在復數域上會不會有N個根？另外,在積分運算中部分分式法也有與這樣的問題,所有實系數多項式是不是都可以分解成一次因式的乘積或者分解成實系數的一次因式和二次因式的乘積？上述這些問題關鍵在于證明代數基本定理.根據鐘玉泉編寫的復變函數論,代數基本定理的具體描述為：任何n次多項式方程在復數域中至少有一個根.根據該定理我們可以直接得到一個結果,在復數域內對于所有n次多項式方程有且只有n個根.可見證明代數基本定理意義十分重要.這個定理最早在1629年由荷蘭數學家吉拉德在他的論著代數新發現中提出，但沒有得到證明。后來笛卡兒，歐拉和麥克勞林也提到了這個定理，但沒有證明。直到1746年，達朗貝爾第一個證明了這個定理，但還是有缺點。拉格朗日于1772年再一次證明了這個定理。但這些證明都不夠嚴格，都是假定了一個先決條件是給定才證明的。人們通常認為這個定理最早是由高斯給出的，其基本思路如下：設為n次實系數多項式,記(x,y為實數),因為,即與,與分別表示坐標平面上兩條曲線與,通過對曲線作定性研究,這兩條曲線必然有一個交點,從而有,即,所以便是代數方程的一個根,得證.通常認為這是代數基本定理第一個嚴格的證明.不過就現代的標準來看其證明仍然是不夠嚴格的.而現在,據說已有兩百多種證法.接下來,我們討論的是代數基本定理的證明.2. 代數基本定理的證明2.1. 利用多項式證明2.1.1. 引理在這里先介紹一條引理.設是實系數多項式,（且,C為復數域）,則的充要條件是：.引理顯然成立,下面證明代數基本定理.2.1.2. 利用多項式證明代數基本定理設是實數域上的n次多項式,則f(x)在復數域上至少有一根 證明：如果x=0是f(x)的根,則定理得證如果x=0不是f(x)的根,則必有0, 因此只需要證明方程 (1)關于x有非零解。由引理可得,當x0時,方程（1）與 （2）等價.對方程（2）中分別另m=0,1,2, ,n-1,可得如下方程組： （3） 當x0時,方程組（3）和方程（1）同解,又方程組（3）可寫成： （4）這是關于變量的齊次線性方程組,其系數行列式是（2n)*(2n)階行列式.因為,故（4）有非零解,又1,0,0不是（4）的解,所以（4）有異于1,0,0的解,因此方程(1)有非零解.即f(x)在C上至少有一非零根.定理得證.2.2. 利用柯西積分定理證明2.2.1. 柯西積分定理設C是z平面上單連通區域D內的任意一條周線,函數f(z)在D內解析,則.這便是柯西積分定理.在附加假設“D內連續”的條件下黎曼得到了一個簡單的證明：令 ,則,而在D內連續,導致ux,uy,vx,vy在D內連續,并適合C.-R.方程：ux=vy,uy=vx.由格林定理,故得.2.2.2. 利用柯西積分定理證明代數基本定理任何次數n=1的復系數多項式在復系數域中至少有一個根.證明：（反證法）設多項式若f(z)沒有零點,則在整個復平面上解析.所以對任意充分大的R0,.由柯西積分定理得：,從而 （*）而其中為整個復平面上的解析函數.因此當時,.又,所以與（*）比較得：n=0,這與已知條件矛盾.定理得證.2.3. 利用劉維爾定理證明2.3.1. 劉維爾定理定義：在整個復平面上解析的函數稱為整函數.如多項式,ez,cos z及sin z都是整函數.而劉偉爾定理便是：有界函數f(z)必為常數.這是一個非局部性命題,也是模有界定理,其逆也真,即：常數是有界整函數；此定理的逆否定理為：非常數的整函數必無界.證明：設是有界整函數,即,使得,在上解析所以.令,可見,從而在上恒等于常數.2.3.2. 利用劉維爾定理證明代數基本定理設,是z平面上一n次多項式,則在z平面上p(z)至少有一個零點.證明：反證法.假設p(z)在z平面上沒有零點.而p(z)在z平面上是解析的,則在z平面上也必解析.下面證明在z平面上有界.由于存在足夠大的正數R,使當|z|R時,|1.又因在閉圓|z|R上連續,故可設（正常數）,從而,在z平面上,也就是說,在z平面上解析并且有界.由劉偉爾定理可知必為常數,即p(z)一定是常數.這與假設矛盾了.因此定理得證.2.4. 利用儒歇定理證明2.4.1. 儒歇定理設C是一條周線,f(z)符合以下的條件：（1） f(z)在C的內部除可能有極點外是解析的；（2） f(z)在C上解析且不為0.則有其中N（f,c)表示f(z)在C內部零點與極點的個數.儒歇定理：設c是一條周線,函數f(z)及滿足條件：（1） 他們在c的內部解析,且連續到c;（2） 在c上,則函數f(z)與在c的內部有同樣多零點（n級算作n個）.即.2.4.2. 利用儒歇定理證明代數基本定理接下來利用儒歇定理證明代數基本定理,這個證明和其它證明方法比較,其中一個優點是不僅證明了多項式至少有一個零點并且指出零點的個數和多項式的次數相等（計算重數）.任一n次方程有且只有n個根.證明：令當z在充分大的圓周C：|z|=R上時,例如取,則有由儒歇定理可知,在圓|z|R內方程與方程有相同個數的根,而在|z|R內有一個n重根z=0.因此原n次方程在|z|R內有n個根.另外在圓周|z|=R上,或者在圓周的外部,任取一點z0,則,于是也就是說方程在圓周|z|=R上及其外部都沒有根.因此n次方程有且只有n個根.2.5. 利用最大模定理證明2.5.1. 最大模定理復變函數論中,最大模定理是有關函數值的模的一個很有用的定理,若函數f是一個全純函數則它的模在其定義域內部不可能取到局部最大值.可具體表示為：設f在復平面C上連通開區域D內解析,并且恒不為常數,則在區域D內|f|于任意點都取不到最大值.2.5.2. 利用最大模定理證明代數基本定理還是用反證法.假設在復平面C上沒有零點,即,則在C平面上解析,顯然當且充分大時,有因此,在上并且充分大時,有由最大模原理,有,并且我們可以得到：,我們知道,而這對于R取充分大顯然不成立,所以假設不成立,也就是說一元次方程在內至少有一個根.定理得證.2.6. 利用最小模定理證明2.6.1. 最小模定理是區域D內不恒為常數的解析函數,若在D內有使得,則在D內的最小值不可能是.2.6.2. 利用最小模定理證明代數基本定理設,因為,取正數,則有 （1）另外其中取正數R,使得當時有：,且從而在|z|=R上有： （2）由在上連續且不為常數,因此由（1）（2）可得在D內部取得最小模,因此由最小模原理可知,在內至少存在一個零點.最大模原理和最小模原理對代數基本定理證明的證明方法都是很相似的,關鍵是要找到在區域內能達到最大值或最小