湖南省衡陽市第八中學2020屆高三數學上學期第四次月考（11月）試題 文一、單選題1已知命題,總有,則為A,使得 B,使得C,總有 D,總有2在一個棱長為的正方體的表面涂上顏色，將其分割成27個棱長為的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個，取出的小正方體表面有三個面涂有顏色的概率是（ ）ABCD3函數（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點（ ）A向右平移個單位長度B向左平移個單位長度C向右平移個單位長度D向左平移個單位長度4執行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為2，則判斷框中可以填入的條件是（）An999Bn9999 Cn9999Dn0)的準線為l,直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A,B兩點,則p的值為_15.在ABC中,A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知,且,則ABC的面積為_16如圖，在邊長為3正方體中，為的中點，點在正方體的表面上移動，且滿足，當P在CC1上時，AP=_,點和滿足條件的所有點構成的平面圖形的面積是_. 三、解答題17已知向量，函數，且當，時，的最大值為.（1）求的值，并求的單調遞減區間；（2）先將函數的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求方程在區間上所有根之和.18已知函數，函數在上的零點按從小到大的順序構成數列（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.19在四棱錐中，,，為中點，為中點，為中點,（1）求證： 平面；（2）證明：平面；（3）求三棱錐的體積.20已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點(異于左右頂點)，橢圓C的左頂點為D，試判斷直線AD的斜率與直線BD的斜率之積與的大小，并說明理由.21已知函數.（1）若函數存在不小于的極小值，求實數的取值范圍；（2）當時，若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.22已知曲線：和：，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.（）求出，的普通方程.（）若曲線上的點到曲線的距離等于為，求的最大值并求出此時點的坐標；23已知函數.（I）當時，求不等式的解集；（II）若時，恒成立，求實數的取值范圍.衡陽市 2020屆第四次月考文科數學命題人：劉一堅 審題人：陳釗 仇武君一、單選題1已知命題,總有,則為A,使得 B,使得C,總有 D,總有【答案】A【解析】【詳解】命題的否定是對命題結論的否定，全稱命題的否定是特稱命題，因此為,使得，故選A.2在一個棱長為的正方體的表面涂上顏色，將其分割成27個棱長為的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個，取出的小正方體表面有三個面涂有顏色的概率是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由在27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面有三個面涂有顏色，有8種結果，根據古典概型及其概率的計算公式，即可求解【詳解】由題意，在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個，可得試驗發生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面有三個面都涂色，有8種結果，所以所求概率為故選：B3函數（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點（ ）A向右平移個單位長度B向左平移個單位長度C向右平移個單位長度D向左平移個單位長度【答案】A【解析】【分析】由圖象求得函數解析式的參數，再利用誘導公式將異名函數化為同名函數根據圖象間平移方法求解.【詳解】由圖象可知，又，所以，又因為，所以，所以，又因為，又，所以 所以，又因為，故只需向右平移個單位長度.故選A.4執行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為2，則判斷框中可以填入的條件是（）An999Bn9999 Cn9999Dn0)的準線為l,直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A,B兩點,則p的值為_【答案】【解答】解：拋物線y2=2px(p0)的準線為l：x=p2,雙曲線的兩條漸近線方程為,可得,則,可得故答案為15.在ABC中,A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知,且,則ABC的面積為_【答案】【解答】解：在ABC中,由余弦定理得,則,由正弦定理得,16如圖，在邊長為3正方體中，為的中點，點在正方體的表面上移動，且滿足，當P在CC1上時，AP=_,點和滿足條件的所有點構成的平面圖形的面積是_. 【答案】,.【詳解】取，的中點分別為，連結，由于，所以四點共面，且四邊形為梯形，因為，所以面，因為點在正方體表面上移動，所以點的運動軌跡為梯形，如圖所示：因為正方體的邊長為3，所以當點P在CC1上時，點P為CC1的中點N，又，所以梯形為等腰梯形，所以。三、解答題17已知向量，函數，且當，時，的最大值為.（1）求的值，并求的單調遞減區間；（2）先將函數的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求方程在區間上所有根之和.【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）函數，得.即，由題意得，得所以，函數的單調減區間為.（2）由題意，又，得解得：或即或或故所有根之和為.18已知函數，函數在上的零點按從小到大的順序構成數列（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】解：（1） ，由及得，則數列是首項，公差的等差數列，所以 （2）由（1）得 ，則19在四棱錐中，,，為中點，為中點，為中點,（1）求證： 平面；（2）證明：平面；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）解析：（1）因為為的中點，為中點，則在中，平面, 平面, 則平面 20已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點(異于左右頂點)，橢圓C的左頂點為D，試判斷直線AD的斜率與直線BD的斜率之積與的大小，并說明理由.【答案】(1)；(2).【詳解】(1)設橢圓的標準方程為為，由題，.即,橢圓C的方程為.(2)直線AD與直線BD的斜率之積為定值，且定值為由題易知當直線AB的斜率不存在時，易求當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程為，設聯立可得，則故直線AD與直線BD的斜率之積為定值.21已知函數.（1）若函數存在不小于的極小值，求實數的取值范圍；（2）當時，若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函數的定義域為，.當時，函數在區間上單調遞減，此時，函數無極值；當時，令，得，又當時，；當時，.所以，函數在時取得極小值，且極小值為.令，即，得.綜上所述，實數的取值范圍為；（2）當時，問題等價于，記，由（1）知，在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞增，所以，當時，由可知，所以成立；當時，設恒成立，所以在區間上單調遞增，所以在區間上單調遞增，所以.所以，函數在區間上單調遞增，從而，命題成立.當時，顯然在區間上單調遞增，記，則，當時，所以，函數在區間上為增函數，即當時，.，由于，顯然設，由可知在區間上單調遞增所以在區間內，存在唯一的，使得，故當時，即當時，不符合題意，舍去.綜上所述，實數的取值范圍是.22已知曲線：和：，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.（）求出，的普通方程.（）若曲線上的點到曲線的距離等于為，求的最大值并求出此時點的坐標；【答案】（），；（）【詳解】（）則，又則（）方法一：（利用橢圓的參數方程）設橢圓則點到曲線的距離：當此時，所以方法二：（利用平行相切）設聯立方程組由，得則直線都和橢