吉林省吉林市2020學年高二數學下學期期末考試試題 文（含解析）一、選擇題（單選題；每題5分，共60分） 1.已知集合，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由得，所以，因為，所以，故選D.【考點】 一元二次不等式的解法，集合的運算【名師點睛】對于集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數軸或韋恩圖處理.2.A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根據公式，可直接計算得詳解： ，故選D.點睛：復數題是每年高考的必考內容，一般以選擇或填空形式出現，屬簡單得分題，高考中復數主要考查的內容有：復數的分類、復數的幾何意義、共軛復數，復數的模及復數的乘除運算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負號導致出錯.3.設，則“”是“”A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】分析：分別解不等式，求出x的范圍，取值范圍小的條件可以推出取值范圍大的條件，反之則不成立.詳解：解不等式：，顯然前面命題范圍大，所以后者可以推出前者，前者不能推出后者，所以前面命題為后面命題的必要不充分條件.故選B.點睛：本題意在考察充分必要條件的判斷，如果是范圍問題，注意小范圍為大范圍的充分不必要條件.4.設，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據指、對數的單調性直接將的范圍求出來，然后再比較大小.【詳解】因為，所以；所以，故選：D.【點睛】指對數比較大小，常用的方法是：中間值分析法（與比較大小），單調性分析法（根據單調性直接寫出范圍）.5.在中，則（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先選用正弦定理求解的大小，再根據的內角和為即可求解的大小.【詳解】因為，代入數值得：；又因為，所以，則或；當時，；當時，.所以或.故選：D.【點睛】解三角形過程中涉及到多解的時候，不能直接認為所有解都合適，要通過給出的條件判斷邊或角的大小關系，從而決定解的個數，6.已知x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最大值是A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D【解析】畫出約束條件表示的可行域,如圖中陰影部分所示，平移直線,可知當其經過直線與的交點時,取得最大值，為,故選D.【名師點睛】(1)確定二元一次不等式(組)表示的平面區域的方法是：“直線定界,特殊點定域”,即先作直線,再取特殊點，并代入不等式(組)若滿足不等式(組),則不等式(組)表示的平面區域為直線與特殊點同側的那部分區域；否則就對應與特殊點異側的平面區域.當不等式中帶等號時,邊界為實線；不帶等號時,邊界應畫為虛線,特殊點常取原點.(2)利用線性規劃求目標函數最值的步驟：畫出約束條件對應的可行域；將目標函數視為動直線,并將其平移經過可行域,找到最優解；將最優解代入目標函數,求出最大值或最小值7.在平面直角坐標系中， 四邊形是平行四邊形，則（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】因為，所以，應選答案A。8.要得到函數的圖象，只需要將函數的圖象（ ）A. 向左平移個單位B. 向右平移個單位C. 向左平移個單位D. 向右平移個單位【答案】B【解析】因為函數，要得到函數的圖象，只需要將函數的圖象向右平移個單位。本題選擇B選項.點睛：三角函數圖象進行平移變換時注意提取x的系數，進行周期變換時，需要將x的系數變為原來的倍，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同9.已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：設，則根據平面幾何知識可求，再結合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的常考知識點，在解決這類問題時經常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.10. 下列函數中，既是偶函數又存在零點的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由選項可知，項均不是偶函數，故排除，項是偶函數，但項與軸沒有交點，即項的函數不存在零點，故選A.考點：1.函數的奇偶性；2.函數零點的概念.11.中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線經過點（4,2），則它的離心率為A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意知,過點(4,-2)的漸近線方程為y=-x,-2=-4,a=2b.設b=k,則a=2k,c=k,e=.12.若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，函數在區間單調遞增，在區間上恒成立，而在區間上單調遞減，的取值范圍是故選：D考點：利用導數研究函數的單調性.二、填空題（每題5分，共20分）13.如圖，在菱形中，以該菱形的個頂點為圓心的扇形的半徑都為.若在菱形內隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率是_【答案】【解析】在菱形ABCD中，AB=2，ABC=60， 以A和C為圓心的扇形面積和為 以B和D為圓心的扇形面積和為 菱形內空白部分的面積為 則在菱形內 隨機取一點，該點取自黑色部分概率是 故答案為：14.垂直于直線且與圓相切于第一象限的直線方程是_【答案】【解析】設直線方程，與圓相切，所以，所以，即，填。【點睛】直線與圓相切，一般用圓心到直線的距離等于半徑。15.設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若，則； 若，則；若，則；若，則，其中正確命題的序號是_.【答案】【解析】【分析】利用線面平行性質以及線面垂直的定義判斷真假；利用面面平行的性質以及線面垂直的性質判斷真假；可借助正方體判斷真假.【詳解】因為，過作平面，使得，則有；又因為，所以，又因為，所以，故正確；因為，所以；又因為，所以，故正確；例如：正方體上底面的對角線分別平行下底面，但是兩條對角線互相不平行，故不正確；選正方體同一頂點處三個平面記為，則有，但與相交，故不正確.故填：.【點睛】判斷用符號語言描述的空間中點、線、面的位置關系的正誤：（1）直接用性質定理、判定定理、定義去判斷；（2）借助常見的空間幾何體輔助判斷（正方體等）.16.更相減損術是出自九章算術的一種算法如圖所示的程序框圖是根據更相減損術寫出的，若輸入，則輸出的值為_【答案】【解析】輸入，執行程序框圖，第一次；第二次；第三次；第四次，滿足輸出條件，輸出的的值為，故答案為.三、解答題（共70分）17.記為等差數列的前項和，已知， （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值為16【解析】分析：（1）根據等差數列前n項和公式，求出公差，再代入等差數列通項公式得結果，（2）根據等差數列前n項和公式得的二次函數關系式，根據二次函數對稱軸以及自變量為正整數求函數最值.詳解：（1）設an的公差為d，由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通項公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為16點睛：數列是特殊的函數，研究數列最值問題，可利用函數性質，但要注意其定義域為正整數集這一限制條件.18.某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質量分別在，（單位：克）中，經統計得頻率分布直方圖如圖所示.(1) 經計算估計這組數據的中位數；(2)現按分層抽樣從質量為，芒果中隨機抽取個，再從這個中隨機抽取個，求這個芒果中恰有個在內的概率.【答案】(1)268.75；(2).【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖，找到頻率總和為時對應的質量，這個質量大小就是中位數；（2）先用分層抽樣計算出和中的芒果數；然后對每個芒果進行標記，采用枚舉法列出所有情況，最后用古典概率模型計算目標事件概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，前三組頻率之和為：，第四組頻率為：； 所以中位數為：；（2）抽取的6個芒果中，質量在和內的分別有4個和2個.設質量在內的4個芒果分別為，質量在內的2個芒果分別為. 從這6個芒果中選出3個的情況共有，共計20種，其中恰有一個在內的情況有，共計12種，因此概率.【點睛】利用頻率分布直方圖求數據的中位數：（1）確定頻率總和為時所在的區間段；（2）確定前面幾段的頻率總和，用(前幾段頻率總和)；（3）利用組距，然后中位數頻率總和為時所在的區間段左端點值.19.如圖，在直三棱柱中，證明：平面；求三棱錐的體積【答案】（1）見解析；（2）4.【解析】試題分析：（1）由題意可得，根據余弦定理可證得，從而可得平面，于是可得，然后根據線面垂直的判定可得（2）利用等積法，根據求解試題解析：（1）由題意得，又，在中，由余弦定理得，故，又，又，（2）由題意得 20.已知直線過拋物線：的焦點，且垂直于拋物線的對稱軸，與拋物線兩交點間的距離為.(1)求拋物線的方程;(2)若點，過點的直線與拋物線相交于,兩點，設直線與的斜率分別為和.求證：為定值，并求出此定值.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）由直線過拋物線：的焦點，且垂直于拋物線的對稱軸，與拋物線兩交點間的距離為可得拋物線的通徑為，可得拋物線的方程為；（2）設直線的方程為：，與拋物線可得，根據韋達定理以及斜率公式，消去參數，可得.試題解析：（1）由題意可知，拋物線的方程為. （2）已知點，設直線的方程為：，則，聯立拋物線與直線的方程消去得可得，代入可得.因此可以為定值，且該定值為.【方法點睛】本題主要考查待定待定系數法求拋物線及直線與拋物線的位置關系、圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種： 從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關； 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21.已知函數f （x）x3（1a）x2a（a2）xb（a，bR）（）若函數f （x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為3，求a，b的值；（）若曲線yf （x）存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍【答案】（I）；（II）.【解析】試題分析：（I）由函數的圖象過原點可求得，由在原點處的切線斜率為可得進而可求得；（II）由曲線存在兩條垂直于軸的切線得有兩個不同的根，即，可解得的取值范圍.試題解析：（）由題意得，解得（）曲線存在兩條垂直于軸的切線，關于的方程有兩個不相等的實數根，即a的取值范圍是考點：導數的幾何意義.22.在極坐標系中，已知圓的圓心，半徑點在圓C上運動.（1）求圓C的極坐標方程；（2）若P點線段上，且，求動點P的軌跡方程.【答案】（1）