1,隨機信號分析基礎第5章習題講解,四川大學電子信息學院,2,5.8解：由題可知，要求系統輸出過程的均值：,設X(t)是有界的平穩過程，其均值為mX，則,顯然，是與時間無關的常數。,5.2.1.2（1）系統輸出的均值,3,首先計算系統輸入過程均值已知有關系式：,4,系統所示的傳函為：,為求得輸出的自相關函數，分別從時域和頻域可得兩種方法。,5.11要求的是輸出的自相關函數,5,5.11從時域角度,若隨機輸入過程X(t)是寬平穩的，那么線性時不變系統的輸出過程Y(t)也是寬平穩的隨機過程。實際上，對于嚴平穩隨機過程結論同樣也成立。若輸入是各態經歷過程，輸出也將是各態經歷過程。,5.2.1.2（2）系統輸出的自相關函數,6,5.2.2.1系統輸出的功率譜密度,若輸入隨機過程X(t)為平穩過程，則輸出的自相關函數為：,利用傅立葉變換，可得輸出的功率譜密度,式中H()是系統的傳輸函數，其模（絕對值）的平方H()2稱之為系統的功率傳輸函數。,5.11從頻域角度,7,5.11解：先求出輸入電壓的自相關函數,所以輸入的功率譜密度：,8,9,從計算復雜度考慮，我們從頻域的角度來計算輸出的自相關函數,10,5.16解：要求傳輸函數和輸出Z(t)的均方值，由系統圖可知：,所以傳函為：,11,（2）解：,12,若輸入隨機信號為白噪聲過程，其Gx()=N0/2，則有,因此當系統性能未知時：若能設法得到互譜密度，就可由式(5.2.42)確定線性系統的的傳輸函數。,5.2.2.2系統輸入與輸出之間的互譜密度,5.18解：要求互功率譜密度,13,所以：,已知微分器傳遞函數為,14,5.23解：要求自相關函數和功率譜密度由圖可知：,由維納辛欽定理可得：,15,5.26解：由題可知，所求的系統為一白化濾波器，有：,把已知的有色噪聲通過某系統后變為白噪聲，這個系統稱為白化濾波器。,16,對于物理可實現系統，當t0時，有h(t)=0，所以有：,如果一個線性時不變系統，對任意有限輸入其響應有界，則稱此系統是穩定的。,5.1.3系統的穩定性與物理可實現的問題,5.26解：要求系統穩定,17,穩定的最小相位系統的H(s)的極點在左半S平面，而零點不在右半S平面。,穩定系統的沖激響應h(t)應絕對可積的，即滿足,系統傳函的極點在S平面的左半平面或Z平面的單位圓內。,5.26解:,18,5.27解：這是求解一個形成濾波器,形成濾波器,對于某個具有有理譜密度的零均值平穩隨機序列，可以把它看作是一零均值單位譜高的白序列通過離散線性系統形成的，這個離散線性系統的傳遞函數為H(z)（穩定的最小相位系統），稱濾波器H(z)為這個隨機過程的形成濾波器。,類似離散序列，任意一有理譜密度的平穩過程可以認為是零均值單位譜高的白噪聲通過因果線性定常系統H(s)后形成的。,19,穩定的最小相位系統的H(s)的極點在左半S平面而零點不在右半S平面。,同題5.26選取穩定的最小相位系統：,20,自回歸或AR(Autoregresive)模型,滑動平均(MA)模型,自回歸滑動平均(ARMA)模型,常見的隨機序列的模型,5.30要求自相關函數和功率譜密度,21,5.30（1）解：,顯然這是一個一階MA過程，該過程輸出的自相關函數滿足下列方程,該方程可參考教材107頁式（5.5.5）,22,輸入隨機序列在-1到1間均勻分布，所以：,由上述方程可以算出：,功率譜為：,23,（2）解：,這是一個二階MA過程,24,可求得功率譜為：,25,（3）解：,這是一個一階AR過程，輸出的自相關函數可由Yule-Walker方程表示為：,26,27,功率譜密度為：,28,解法二：先計算功率譜，再得到自相關函數,對方程兩邊作Z變換有：,得傳函為：,29,輸入和傳函知道了，就可得到功率譜：,計算相關函數之前，熟悉一下一個變換對,該變換對見教材111頁式（5.5.29）和式（5.5.30),30,利用上述公式可得：,31,5.31解：要求差分方程由題可知,得到：,32,從穩定性和系統特性考慮選取：,數字濾波器的概念,濾波器是對輸入信號的波形或頻譜進行某種變換，以得到一定的輸出信號。實現濾波的系統是離散的稱為數字濾波。