本資料來源于七彩教育網全國初中（初一）數學競賽輔導第五講 方程組的解法二元及多元(二元以上)一次方程組的求解，主要是通過同解變形進行消元，最終轉化為一元一次方程來解決所以，解方程組的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加減消元兩種，下面結合例題予以介紹例1 解方程組解 將原方程組改寫為由方程得x=6+4y，代入化簡得11y-4z=-19 由得2y+3z=4 3+4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1將y=-1代入，得z=2將y=-1代入，得x=2所以為原方程組的解說明 本題解法中，由，消x時，采用了代入消元法；解，組成的方程組時，若用代入法消元，無論消y，還是消z，都會出現分數系數，計算較繁，而利用兩個方程中z的系數是一正一負，且系數的絕對值較小，采用加減消元法較簡單解方程組消元時，是使用代入消元，還是使用加減消元，要根據方程的具體特點而定，靈活地采用各種方法與技巧，使解法簡捷明快例2 解方程組解法1 由，消x得由，消元，得解之得將y=2代入得x=1將z=3代入得u=4所以解法2 由原方程組得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x， 即x=-15+16x，解之得x=1將x=1代入得u=4將u=4代入得z=3將z=3代入得y=2所以為原方程組的解解法3 +得x+y+z+u=10， 由-(+)得y+u=6， 由2-得4y-u=4， +得y=2以下略說明 解法2很好地利用了本題方程組的特點，解法簡捷、流暢例3 解方程組分析與解 注意到各方程中同一未知數系數的關系，可以先得到下面四個二元方程： +得x+u=3， +得y+v=5， +得z+x=7， +得u+y=9 又+得x+y+z+u+v=15 -得z=7，把z=7代入得x=0，把x=0代入得u=3，把u=3代入得y=6，把y=6代入得v=-1所以為原方程組的解例4 解方程組解法1 2+得由得代入得為原方程組的解為原方程組的解說明 解法1稱為整體處理法，即從整體上進行加減消元或代入消為換元法，也就是干脆引入一個新的輔助元來代替原方程組中的“整體元”，從而簡化方程組的求解過程 例5 已知分析與解 一般想法是利用方程組求出x，y，z的值之后，代入所求的代數式計算但本題中方程組是由三個未知數兩個方程組成的，因此無法求出x，y，z的確定有限解，但我們可以利用加減消元法將原方程組變形-消去x得3+消去y得5+3消去z得 例6 已知關于x，y的方程組分別求出當a為何值時，方程組(1)有唯一一組解；(2)無解；(3)有無窮多組解分析 與一元一次方程一樣，含有字母系數的一次方程組求解時也要進行討論，一般是通過消元，歸結為一元一次方程ax=b的形式進行討論但必須特別注意，消元時，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時，這個式子的值不能等于零解 由得2y=(1+a)-ax， 將代入得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2) (1)當(a-2)(a+1)0，即a2且a-1時，方程有因而原方程組有唯一一組解(2)當(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)0時，即a=-1時，方程無解，因此原方程組無解(3)當(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0時，即a=2時，方程有無窮多個解，因此原方程組有無窮多組解例7 已知關于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，當a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，試求出這個公共解解法1 根據題意，可分別令a=1，a=-2代入原方程得到一個方程組將x=3，y=-1代入原方程得(a-1)3+(a+2)(-1)+5-2a=0所以對任何a值都是原方程的解說明 取a=1為的是使方程中(a-1)x=0，方程無x項，可直接求出y值；取a=-2的道理類似解法2 可將原方程變形為a(x+y-2)-(x-2y-5)=0由于公共解與a無關，故有例8 甲、乙兩人解方程組原方程的解分析與解 因為甲只看錯了方程中的a，所以甲所得到的解4(-3)-b(-1)=-2 a5+54=13 解由，聯立的方程組得所以原方程組應為練習五1解方程組2若x1，x2，x3，x4，x5滿足方程組試確定3x4+2x5的值3將式子3x2+2x-5寫成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，試求4k為何值時，