圓錐曲線大題歸類1 定點問題例1.已知橢圓C：y21(a1)的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：(x3)2(y1)23相切(1)求橢圓C的方程；(2)若不過點A的動直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且0，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標解析(1)圓M的圓心為(3,1)，半徑r.由題意知A(0,1)，F(xiàn)(c,0)，直線AF的方程為y1，即xcyc0，由直線AF與圓M相切，得，解得c22，a2c213，故橢圓C的方程為y21.(2)方法一：由0知APAQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，故可設直線AP的方程為ykx1，直線AQ的方程為yx1.聯(lián)立整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故點P的坐標為(，)，同理，點Q的坐標為(，)直線l的斜率為，直線l的方程為y(x)，即yx.直線l過定點(0，)方法二：由0知APAQ，從而直線PQ與x軸不垂直，故可設直線l的方程為ykxt(t1)，聯(lián)立整理得(13k2)x26ktx3(t21)0.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)則(*)由(6kt)24(13k2)3(t21)0，得3k2t21.由0，得(x1，y11)(x2，y21)(1k2)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，將(*)代入，得t，直線l過定點(0，)例2.已知拋物線C：y22px(p0)的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為，求證：直線AB過x軸上一定點解析(1)因為拋物線y22px(p0)的焦點坐標為(1,0)，所以1，所以p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)證明：當直線AB的斜率不存在時，設A(，t)，B(，t)因為直線OA，OB的斜率之積為，所以，化簡得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此時直線AB的方程為x8.當直線AB的斜率存在時，設其方程為ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立得化簡得ky24y4b0.根據(jù)根與系數(shù)的關系得yAyB，因為直線OA，OB的斜率之積為，所以，即xAxB2yAyB0.即2yAyB0，解得yAyB0(舍去)或yAyB32.所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，yk(x8)綜上所述，直線AB過定點(8,0)圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關二定值問題例3.已知橢圓C：1(ab0)的兩個焦點分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線互相垂直.(1)求橢圓C的方程；(2)過點M(1,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設點N(3,2)，記直線AN，BN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2定值解析(1)依題意，由已知得c，則a2b22，由已知易得b|OM|1，所以a，所以橢圓的方程為y21.(2)當直線l的斜率不存在時，不妨設A(1，)，B(1，)，則k1k22為定值當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x1)，由得(3k21)x26k2x3k230，依題意知，直線l與橢圓C必相交于兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，又y1k(x11)，y2k(x21)，所以k1k22，綜上，得k1k2為定值2.例4 （2016北京理科）求定值問題常見的方法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值三探索性問題例5.(2015新課標全國，12分，理)已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點(，m)，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由解析(1)設直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值(2)四邊形OAPB能為平行四邊形因為直線l過點(，m)，所以l不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k0，k3.由(1)得OM的方程為yx.設點P的橫坐標為xP.由得x，即xP.將點(，m)的坐標代入l的方程得b，因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因為ki0，ki3，i1,2，所以當l的斜率為4或4時，四邊形OAPB為平行四邊形例6.已知橢圓C：1(ab0)的右焦點為F(1,0)，右頂點為A，且|AF|1.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若動直線l：ykxm與橢圓C有且只有一個交點P，且與直線x4交于點Q，問：是否存在一個定點M(t,0)，使得0.若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由解析(1)由c1，ac1，得a2，b，故橢圓C的標準方程為1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.yPkxPmm，即P(，)M(t,0)，Q(4,4km)，(t，)，(4t,4km)，(t)(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在點M(1,0)符合題意設P(xP，yP)，則xP，yPkxPmm，即P(，)M(t,0)，Q(4,4km)，(t，)，(4t,4km)，(t)(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在點M(1,0)符合題意4、 取值范圍問題例7.(2015浙江，15分)已知橢圓y21上兩個不同的點A，B關于直線ymx對稱.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標原點)解析(1)由題意知m0，可設直線AB的方程為yxb.由消去y，得()x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點，所以2b220，設M為AB的中點，則M(，)，代入直線方程ymx，解得b.由得m.(2)令t(，0)(0，)，則且O到直線AB的距離d.設AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|d，當且僅當t2時，等號成立故AOB面積的最大值為.|AB|，例8.已知圓x2y21過橢圓1(ab0)的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點，直線l：ykxm與圓x2y21相切，與橢圓1相交于A，B兩點記，且.(1)求橢圓的方程；(2)求k的取值范圍；(3)求OAB的面積S的取值范圍解：(1)由題意知2c2，所以c1.因為圓與橢圓有且只有兩個公共點，從而b1，故a，所以所求橢圓方程為y21.(2)因為直線l：ykxm與圓x2y21相切，所以原點O到直線l的距離為1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范圍是.(3)|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22，由k21，得|AB|.設OAB的AB邊上的高為d，則S|AB|d|AB|，所以S.即OAB的面積S的取值范圍是.例9.已知橢圓E：1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k(k0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MANA.(1)當t4，|AM|AN|時，求AMN的面積；(2)當2|AM|AN|時，求k的取值范圍【解】(1)設M(x1，y1)，則由題意知y10.當t4時，E的方程為1，A(2，0)由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2.(2)由題意知t3，k0，A(，0)將直線AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由題設知，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)當k時上式不成立，因此t. t3等價于0，即0.由此得或解得kb0)的離心率為，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心、以3為半徑的圓與以F2為圓心、以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.求的值；求ABQ面積的最大值解】(1)由題意知2a4，則a2.又，a2c2b2，可得b1，(2)由(1)知橢圓E的方程為1.設P(x0，y0)，由題意知Q(x0，y0)因為y1，又1，即1，所以2，即2.所以橢圓C的方程為y21.設A(x1，y1)，B(x2，y2)將ykxm代入橢圓E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.則有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因為直線ykxm與y軸交點的坐標為(0，m)，所以OAB的面積S|m|x1x2|2.設t.將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0|FM|，點N的軌跡E為橢圓，且2a4