勒讓德（legendre）多項式及其性質一 勒讓德多項式勒讓德多項式是由勒讓德方程的通解推導出來的，所以我們首先引入勒讓德方程，以及勒讓德方程的冪級數(shù)解，勒讓德方程的表達式如下： 其中為非負實數(shù) （1.1）它的冪級數(shù)解如下： （1.2）其中： （1.3） （1.4）由達朗貝爾判別法可知，當不為整數(shù)時，這兩個級數(shù)的收斂半徑為1，在（1.3）式和（1.4）式中，與可以任意取值，它們起著任意常數(shù)的作用，顯然，在區(qū)間（1，1）內和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。上面（1.3）和（1.4）冪級數(shù)當時級數(shù)收斂，此外級數(shù)是發(fā)散的。并且，我們發(fā)現(xiàn)，當取非負整數(shù)時，和中有一個便退化為次多項式，它就是方程（1.1）在閉區(qū)間-1,1上的有界解。此時，適當?shù)倪x定這個多項式的最高次冪系數(shù)，所得的多項式稱為階勒讓德多項式或第一類勒讓德函數(shù)，記作，下面我們來推導勒讓德多項式的表達式。 當為正偶數(shù)時退化為次多項式。為求得的表達式，在中我們通過來表示其它各項的系數(shù)。為此，將系數(shù)遞推關系式改寫成下列形式： （1.5）在（1.5）式中取，得： （1.6）習慣上取為 （1.7）于是有： （1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得： （1.9）一般地，我們有 （） （1.10）我們將這些系數(shù)帶入（1.3）中，并把此時的記作，可得： （1.11）這就是當為正偶數(shù)時勒讓德多項式。 當為正奇數(shù)時退化為次多項式，我們把記作，同理可得： （1.12）把（1.11）和（1.12）寫成統(tǒng)一的形式，得 （1.13）其中表示的整數(shù)部分由上述討論可知，當為非負整數(shù)時，和中有一個是階勒讓德多項式，而另一個是無窮級數(shù)，記作，稱為第二類勒讓德函數(shù)，此時方程（1.1）通解為： （1.14）特別當時，由（1.11）和（1.12）式得： 它們的圖形如下：二 勒讓德多項式的性質首先介紹一下勒讓德多項式的母函數(shù)：試將函數(shù) （1.15）展開成的冪級數(shù) （1.16）可以證明級數(shù)展開式中的系數(shù)恰好是勒讓德多項式，最終得到 （1.17）因此稱為勒讓德多項式的母函數(shù)。1 （1.18）將式（1.17）中的以代入，以代入，立即得到此結果。此式說明的奇偶性由而定，當為偶數(shù)時，為偶函數(shù)，當為奇數(shù)時，為奇函數(shù)。2 （1.19）將代入式（1.17），得到而所以由上式和（1.18）立即得到 3勒讓德多項式的遞推公式： （1.20） （1.21） （1.22） （1.23） （1.24）現(xiàn)在我們來證明（1.20）及其它的導數(shù)公式，將母函數(shù)分別對微分，得到得到下列兩個恒等式 （1.25） （1.26）又從式（1.25）和（1.26）得到 （1.27）將（1.17）兩端分別對微分，得到 （1.28） （1.29）然后將它們帶入（1.27），得到于是得到與導數(shù)之間的關系式其它的導數(shù)公式這里不在一一證明。將式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到上面級數(shù)的各項系數(shù)都等于零，因此，最終得到 這就是遞推公式，由，可以推出，由，可以推出，.4勒讓德多項