天星教育網，因你而精彩！版權所有，侵權必究！2012高考數學文最后沖刺【六大解答題】解析幾何1.如圖，在平面直角坐標系中。橢圓的右焦點為，右準線為。（1）求到點和直線的距離相等的點的軌跡方程。（2）過點作直線交橢圓于點，又直線交于點,若，求線段的長；（3）已知點的坐標為，直線交直線于點，且和橢圓的一個交點為點，是否存在實數，使得，若存在，求出實數；若不存在，請說明理由。解：（1）由橢圓方程為可得， ， 設，則由題意可知，化簡得點G的軌跡方程為. 4分（2）由題意可知，故將代入，可得，從而 8分（3）假設存在實數滿足題意由已知得 橢圓C： 由解得，由解得， 12分，故可得滿足題意 16分2.設A、B分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸長等于焦距，且是它的右準線，(1) 求橢圓方程；(2) 設P為右準線上不同于點（4，0）的任一點，若直線AP、BP分別與橢圓交于異于A、B兩點M、N，證明：點B在以MN為直徑的圓內解：（1）由 得 方程為 6分（2）A（，0），B（2，0），令 M在橢圓上，又M異于A、B點，令 P、A、M三點共線， 10分，0， 14分 B在以MN為直徑的圓內3.如圖，已知橢圓的長軸為，過點的直線與軸垂直直線所經過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標準方程； B（2）設是橢圓上異于、的任意一點，軸，為垂足，延長到點使得，連結延長交直線于點，為的中點試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系 （1）將整理得 解方程組得直線所經過的定點（0，1），所以 由離心率得所以橢圓的標準方程為-4分（2）設，則，點在以為圓心，2為半徑的的圓上即點在以為直徑的圓上6分又，直線的方程為令，得又，為的中點，8分，直線與圓相切4.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經過點，直線交橢圓于不同的兩點A，B.（）求橢圓的方程；（）求的取值范圍；（）若直線不過點M，試問是否為定值？并說明理由。 （），-2分依題意設橢圓方程為：把點代入，得 橢圓方程為-4分（）把代入橢圓方程得：，由可得-6分（）設，A,B與M不重合，-8分，為定值0.- -12分5.已知橢圓的焦點，過作垂直于軸的直線被橢圓所截線段長為，過作直線l與橢圓交于A、B兩點.（I）求橢圓的標準方程；()是否存在實數使，若存在，求的值和直線的方程；若不存在，說明理由 ()設橢圓方程為，由題意點在橢圓上，所以+=1，解得5分()當直線斜率不存在時，易求，所以由得，直線的方程為7分當直線斜率存在時，所以，由得即因為，所以此時，直線的方程為6.已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點。（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍；（3）若B點在于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點。 (1)解：由題意知，即又，故橢圓的方程為(2)解：由題意知直線AB的斜率存在，設直線PB的方程為由得： 由得：設A(x1，y1)，B (x2，y2)，則，的取值范圍是(3)證：B、E兩點關于x軸對稱，E(x2，y2)直線AE的方程為，令y = 0得：又，由將代入得：x = 1，直線AE與x軸交于定點(1，0)7.已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線（）求橢圓的方程；（）過點的動直線L交橢圓C于AB兩點問：是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T ? 若存在，求點T坐標；若不存在，說明理由。解析：（）由因直線相切，2分圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， 故所求橢圓方程為 （）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：由即兩圓公共點（0，1）因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1） （）當直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）（）若直線L斜率存在時，可設直線L：由記點 TATB, 綜合（）（），以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）8.設橢圓的兩個焦點是，且橢圓C上的點到焦點F2的最短距離為（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓C交于不同的兩點M、N，線段MN垂直平分線恒過點A（0，-1），求實數m的取值范圍。 9.已知橢圓的短軸長等于焦距，橢圓C上的點到右焦點的最短距離為（）求橢圓C的方程；（）過點且斜率為的直線與交于、兩點，是點關于軸的對稱點，證明：三點共線 (I)由題可知： 2分解得， 橢圓C的方程為4分 （II）設直線：，由得.6分所以，. 8分 而，10分三點共線10.橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為.點P(1，)、A、B在橢圓E上，且m(mR)(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率；(2)當m3時，證明原點O是PAB的重心，并求直線AB的方程解：（1）由=及解得a2=4，b2=3， 橢圓方程為；2分設A（x1,y1）、B（x2,y2）， 由得（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），即 又，兩式相減得; 6分（2）由（1）知，點A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐標滿足，點P的坐標為（1，）, m=-3， 于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3+=0， 因此PAB的重心坐標為(0，0)即原點是PAB的重心.x1+x2=-1，y1+y2=-，AB中點坐標為（，），10分 又，兩式相減得; 直線AB的方程為y+=(x+),即x+2y+2=0.11.已知拋物線，點關于軸的對稱點為，直線過點交拋物線于兩點（1）證明：直線的斜率互為相反數；（2）求面積的最小值；（3）當點的坐標為，且根據（1）（2）推測并回答下列問題（不必說明理由）：直線的斜率是否互為相反數？ 面積的最小值是多少？（1）設直線的方程為由 可得 設，則又當垂直于軸時，點關于軸，顯然綜上， - 5分（2）=當垂直于軸時，面積的最小值等于 -10分（3）推測：；面積的最小值為 - 13分12.已知橢圓E：=1（abo）的離心率e=，且經過點（,1），O為坐標原點。 （）求橢圓E的標準方程；（）圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x=4在x軸上方的一點，過M作圓O的兩條切線，切點分別為P、Q，當PMQ=60時，求直線PQ的方程.解：（1）橢圓的標準方程為： （2）連接QM，OP，OQ，PQ和MO交于點A，有題意可得M（-4，m），PMQ=600OMP=300，m0,m=4,M(-4,4)直線OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OMPQ,設直線PQ的方程為y=x+nOMP=300,POM=600,OPA=300,即O到直線PQ的距離為,(負數舍去),PQ的方程為x-y+2=013.設拋物線C1：x 24 y的焦點為F，曲線C2與C1關于原點對稱() 求曲線C2的方程；() 曲線C2上是否存在一點P（異于原點），過點P作C1的兩條切線PA，PB，切點A，B，滿足| AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由 ()解；因為曲線與關于原點對稱，又的方程，所以方程為 5分()解：設，,的導數為，則切線的方程，又，得，因點在切線上,故同理, 所以直線經過兩點，即直線方程為,即，代入得，則,，所以 ，由拋物線定義得，所以，由題設知，即，解得，從而綜上，存在點滿足題意，點的坐標為 或 15分14.在平面直角坐標系中，已知圓和圓，（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。 (1)設直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結合點到直線距離公式，得： 化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設點P坐標為，直線、的方程分別為：，即：因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等。 故有：，化簡得：關于的方程有無窮多解，有： 解之得：點P坐標為或。（方法二）因為為數列中的項，故為整數，又由（1）知：為奇數，所以經檢驗，符合題意的正整數只有。15.已知，橢圓C過點A，兩個焦點為（-1，0），（1，0）。（1）求橢圓C的方程；（2）E、F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。解：（）由題意，c=1,可設橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設直線AE方程為：，代入得 設,因為點在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，在上式中以K代K，可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。16已知雙曲線：的左焦點為，左準線與軸的交點是圓的圓心，圓恰好經過坐標原點，設是圓上任意一點（）求圓的方程；（）若直線與直線交于點，且為線段的中點，求直線被圓所截得的弦長；（）在平面上是否存在定點，使得對圓上任意的點有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：（）由雙曲線E：，得： ，2分又圓C過原點，所以圓C的方程為 4分（）由題意，設，代入，得，5分所以的斜率為，的方程為6分所以到的距離為， 7分直線FG被圓C截得的弦長為 9分()設P(s,t),G(x0,y0),則由，得整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. 11分又G(x0,y0)在圓C:(x+4)2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0 代入，得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. 13分又由G(x0,y0)為圓C上任意一點可知，14分解得：s= -12, t=0. 15分所以在平面上存在一定點P，其坐標為（-12,0）17.橢圓：（）的左、右焦點分別為、，右頂點為，為橢圓上任意一點已知的最大值為，最小值為（）求橢圓的方程；（）若直線：與橢圓相交于、兩點（、不是左右頂點），且以為直徑的圓過點求證：直線過定點，并求出該定點的坐標解析：（1） 是橢圓上任一點,且，2分當時，有最小值；當或時, 有最大值， ， 橢圓方程為。4分（2）設，將代入橢圓方程得6分，為直徑的圓過點，或都滿足，9分若直線恒過定點不合題意舍去，若直線：恒過定點。18. 已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.(1)求拋物線的方程;(2)已知動直線過點,交拋物線于、兩點.若直線的斜率為1,求的長;是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由. 解：解:(1)由題意,可設拋物線方程為. 1分由,得. 2分拋物線的焦點為,. 3分拋物線D的方程為. 4分(2)設,. 5分直線的方程為：, 6分聯立,整理得: 7分=.9分 19.已知圓C1的方程為，定直線l的方程為動圓C與圓C1外切，且與直線l相切（）求動圓圓心C的軌跡M的方程；（II）斜率為k的直線l與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線l的垂線恰好經過點A（0，6），并交軌跡M于異于點P的點Q，記為POQ（O為坐標原點）的面積，求的值解（）設動圓圓心C的坐標為，動圓半徑為R，則 ，且 2分A 可得 由于圓C1在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應該在直線l的上方，所以有，從而得，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程 5分（II）如圖示，設點P的坐標為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為由于該直線經過點A（0,6），所以有，得因為點P在第一象限，所以，點P坐標為（4,2），直線PQ的方程為 9分把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯立得，解得或4，可得點Q的坐標為所以 20已知橢圓經過點，它的焦距為，它的左、右頂點分別為，是該橢圓上的一個動點（非頂點），點 是點關于軸的對稱點，直線相交于點.（）求該橢圓的標準方程（）求點的軌跡方程解：（）由題意得：c=1， 3分由、得 所以所求橢圓的標準方程為6分（）由（）知，設所以兩式相乘得：由于點在橢圓上，所以代入上式得13分21.橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且 （1）求橢圓方程；（2）若，求m的取值范圍（1）設C：1（ab0），設c0，c2a2b2，由條件知a-c，a1，bc，故C的方程為：y21 5（2）由，14，3或O點與P點重合= 7當O點與P點重合=時，m=0當3時，直線l與y軸相交，則斜率存在。設l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 113 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 13m2時，上式不成立；m2時，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1）0 22設拋物線M方程為，其焦點為F，P（為直線與拋物線M的一個交點，（1）求拋物線的方程；（2）過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點，試問在拋物線M的準線上是否存在一點Q，使得QAB為等邊三角形，若存在求出Q點的坐標，若不存在請說明理由yxBQOFA解：（1） （舍去） -5分 （2）若直線的斜率不存在，則Q只可能為，此時不是等邊三角形，舍去，-7分若直線的斜率存在，設直線的方程為（），設直線與拋物線的交點坐標為A（）、B（） ，設存在，設Q到直線的距離為有題意可知：-10分 由可得：-代入得：，化簡得：-14分，為所求點-15分23.已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足.（）當點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；（）設、為軌跡上兩點，且1, 0,，求實數，使，且.解：（）設點，由得. 2分 由,得，即. 4分 又點在軸的正半軸上，.故點的軌跡的方程是. 6分（）由題意可知為拋物線：的焦點，且、為過焦點的直線與拋物線的兩個交點,所以直線的斜率不為. 7分 當直線斜率不存在時，得，不合題意； 8分 當直線斜率存在且不為時，設，代入得 ， 則，解得. 9分 代入原方程得，由于，所以，由, 得，. 12分24.如圖，在中，以、為焦點的橢圓恰好過的中點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右頂點作直線與圓 相交于、兩點，試探究點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧嗎？若能，求出直線的方程；若不能，請說明理由.yPABCOx解（1）依橢圓的定義有： ， 又， 橢圓的標準方程為7分（求出點p的坐標后，直接設橢圓的標準方程，將P點的坐標代入即可求出橢圓方程，也可以給滿分.）橢圓的右頂點，圓圓心為，半徑.假設點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧，則，圓心到直線的距離 當直線斜率不存在時，的方程為，此時圓心到直線的距離（符合）當直線斜率存在時，設的方程為，即，圓心到直線的距離，無解綜上：點M、N能將圓分割成弧長比值為的兩段弧，此時方程為xA(4,2)OyPF25.如圖所示，是拋物線的焦點，點為拋物線內一定點，點為拋物線上一動點，的最小值為8.（1）求拋物線方程；（2）若為坐標原點，問是否存在定點，使過點的動直線與拋物線交于兩點，且以為直徑的圓恰過坐標原點, 若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.解：設拋物線的準線為，過作于，過作于，BxA(4,2)OyPF （1）由拋物線定義知C(折線段大于垂線段)，當且僅當三點共線取等號.由題意知,即拋物線的方程為： 5分（2）假設存在點，設過點的直線方程為，顯然，設，由以為直徑的圓恰過坐標原點有 6分把代人得由韋達定理 7分又 代人得 代人得 動直線方程為必過定點 10分當不存在時，直線交拋物線于,仍然有， 綜上：存在點滿足條件 12分注：若設直線BC的方程為可避免討論.26.已知橢圓上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為，。（1）求橢圓的方程；（2）如果直線與橢圓相交于，若，證明直線與直線的交點必在一條確定的雙曲線上；（3）過點作直線（與軸不垂直）與橢圓交于兩點，與軸交于點，若，證明：為定值。解：（1）由已知3分所以橢圓方程為。5分（2）依題意可設，且有又，將代入即得所以直線與直線的交點必在雙曲線上。10分（3