*大學本科生畢業論文（設計）題 目 * 學 院 * 專業班級 * 學生姓名 * 指導教師 * 撰寫日期：二一二年五月二日目 錄摘要21 引言22 在金融領域應用數學方法的必要性32.1 金融研究的對象具有可計量性32.2 教學具有高度的抽象性，高度的精確性，嚴密的邏輯性32.3 在金融領域應用數學方法的局限性32.3.1 非經濟因素的影響32.3.2 數學方法應用目的不明確43 數學在金融領域的主要發展及應用43.1 金融數學模型化發展的思考4311 金融實踐為什么需要(復雜的)數學模型43.2 數學在金融領域中的應用5321 資產估價模型5322 證券投資組合模型63.2.2.1 均值方差模型73.2.2.2 資本資產定價模型(CAPM)73.2.2.3 套利定價模型103.3 數學方法在金融領域中的廣泛應用123.3.1 金融工程學123.3.2 金融文學124 現代金融理論的發展趨勢134.1 隨機最優控制理論134.2 鞅理論134.3 脈沖最優控制理論134.4 微分對策理論144.5 最優停時理論144.6 智能優化145 結論14參考文獻：15致 謝16數學方法在金融領域中的發展及應用* 信息與管理科學學院信息與計算科學專業摘要：數學是研究現實的數量關系和空間形式的科學，因此，它一直是和各種各樣的應用問題緊密相關的。隨著知識經濟的到來。人們對各種問題的要求越來越精確，數學方法以其精確和嚴密性在金融學中被廣泛應用，闡述金融工具從日常語言發展到數理語言具有了理論上的抽象，是金融學科的一種進步。那為什么高深的數學方法在金融研究中作用有限呢?金融學研究不確定性條件下的決策不存在完美的金融模型來指導實踐。本文主要介紹了數學在金融領域中的主要發展及應用，并在此基礎上分析了目前存在的問題。關鍵詞：羊群行為度量方法 ；證券投資；資本資產定價；期權定價；金融趨勢Mathematics method in the field of financial development and applicationAbstract: Mathematics is the number of reality and the form of the space science relationship, therefore, it has always been and all kinds of the application of closely related. With the coming of knowledge economy, People on a variety of issues more and more precise requirements, mathematical method to its accurate and rigor is widely used in finance, expounds the financial tools from daily language development to mathematical language. With the theory of abstracting, is financial discipline of a kind of progress. Why advanced mathematical methods in research in finance limited role? Finance affairs under the uncertainty of a decision, does not have the perfect financial model to instruct the practice. This article mainly introduced the mathematics in the financial sector of the main development and application, and based on this analysis of the current problems.Keywords: Herding measurement method; Negotiable securities investment.The capital asset pricing; Option pricing; Financial trend 1 引言數學方法是科學方法中的理性方法的最重要的一種，大凡在比較成熟的科學中，都廣泛運用數學方法。數學方法包括各種純粹數學和應用數學方法，比如數字計算、數學推理、建立和求解方程、運籌、統計、計算機模擬和推演等。隨著金融市場的發展，金融學越來越與數學緊密相連，而且現代金融學的發展也推動了數學的某些分支的發展，同時數學理論和方法為金融學的發展提供了有力的工具。實踐已經證明，數學給金融學帶來了巨大的活力，實踐還將繼續證明，數學在金融理論中會發揮越來越大的作用。但是在我們對數學的作用作出樂觀的估計的同時，必須清楚地意識到數學所處的地位，企圖把所有的金融問題都納入金融數學的范疇的想法是不現實的，也是荒唐的。數學總是其它學科的合作伙伴，它著眼于“能做什么和“怎樣做的更好”，這大概正是它在一些邊緣學科中獲得成功所遵循的路線。這條路線已經并將繼續在金融經濟領域中得到貫徹，數學家與金融家的通力合作是發展金融數學的必由之路。2 在金融領域應用數學方法的必要性2.1 金融研究的對象具有可計量性金融學要反映金融活動中的數量關系，金融研究的對象是具有可計量性的。同任何其他經濟活動一樣，金融現象和過程既有質的規定性又有量的規定性，這就決定了把數學方法應用于金融研究是完全可能的。金融活動中也存在大量的數據，比如，證券交易，期貨等等。在進行金融理論研究時，搜集和整理這些數據并運用數學模型對貨幣金融活動中的利率、匯率、貨幣供給與需求、收益率等數據進行分析，才能得出更為精確的結論。2.2 數學具有高度的抽象性，高度的精確性，嚴密的邏輯性由于其固有的抽象性可使金融研究借助于數學方法的抽象，更好地發現現實金融問題背后的經濟變量函數，使復雜的關系得以清晰化。由于其固有的精確性，采用數學方法可以準確的研究和描述經濟范疇之間的數量關系。由于其固有的嚴密邏輯性，使得數學分析成為科學推理的主要手段可以使一些用其他方法難以說清的邏輯關系得到簡潔明了的說明。比如馬科維茨證明的“不要把雞蛋放在一個籃子里”的道理從而使金融投資理論由老祖母的經驗成為嚴謹的數學。2.3 在金融領域應用數學方法的局限性2.3.1 非經濟因素的影響金融學所研究的問題具有復雜、不容易被量化的特點，存在著許多非經濟因素的影響。其中包括政治的，文化的，習俗的，心理的等。而數學模型對現實的把握是相對的、有條件的，不是絕對的，因此數學模型的理論前提不得不建立在一系列假設的基礎上，這些假設與現實市場的狀況在某些時候是完全不同的。數學模型就失去了它的分析能力，對未來結果的預測也喪失了其應有的準確性。次貸危機、五大投資銀行的衰落，都證明了這一點。2.3.2 數學方法應用目的不明確數學也是一種語言對某種現象之所以要用數學而不用其他形式的語言去描述，就是因為它能夠比其他形式的語言更簡練、更準確地將該現象表示出來。如果達不到簡練準確的效果，就應該采用其他的，而不應該以淵博的數學知識作為傲視同仁之資本，用以掩飾金融理論貧乏之尷尬。例如20世紀90年代，一些經濟學家試圖用隨機微分和非參數統計方法研究金融問題。但至今成效甚徽甚至于應用方面出現了致命的偏差。數學科學是研究數量關系和空間形式的一個宏大科學體系，它是一門集嚴密性、邏輯性、精確性和創造力與想象力于一體的學問，也是自然科學、技術科學、社會管理科學等的巨大智力資源。金融市場是一個復雜的系統，隨著社會經濟的發展，特別是世界經濟一體化的迅速發展，金融的全球化自由化也日益加強。與此同時，也加劇了金融市場的激烈競爭，使金融風險普遍存在。金融風險的防范和控制僅靠傳統的金融體制和金融業務是不夠的，金融市場秩序也不能只靠行政和司法來維持，它要求金融改革深化和金融創新，特別要求金融理論的系統科學化、數學化和計算機化，也就是說，從系統科學的觀點出發，著眼于金融市場的整體，運用模型，特別是數學模型來表達金融市場系統的本質，用最優化技術來評價，選擇方案，運用計算機尋找滿意的結果，使金融市場系統整體達到最經濟，最有效，最合理的狀態。在這樣的狀態下，才有可能最大限度地控制和化解金融風險。3 數學在金融領域的主要發展及應用3.1 金融數學模型化發展的思考最近50年來金融數學模型與金融實踐的相互作用越來越明顯。金融數學模型直接、明顯地改變著金融實踐，反過來金融實踐強烈地影響著數學模型的產生發展。因此，數學模型對金融業未來的發展有著重大影響。事實上，現代金融理論就是現代數學上的優化與應用上的完美結合。311 金融實踐為什么需要(復雜的)數學模型金融理論的核心問題，就是研究在不確定的環境下，經濟代理人在空間和時間上分配或配置金融資產的活動。這種金融行為涉及到金融資產的時間因素，不確定性因素即金融資產的價值和風險問題。由于時間因素、不確定性因素及其交互作用的結果使金融行為呈現出極端的復雜性。處理這種復雜性常常就需要引入復雜的數學工具。如不確定性的描述就需要引入概率、統計和隨機過程理等，如何在空間和時間上分配資源需要引入最優化模型等。歷史上，數學模型對金融實踐有著直接的和明顯性的影響，推動了金融實踐的發展；同時，金融實踐也強烈地影響著金融數學模型的產生與發展。金融數學模型在未來將改變傳統的風險管理方法。金融風險是上世紀90年代金融機構管理的中心內容，事實上，風險管理一直是金融機構管理的重點，然而由于無法精確辨識、測定各種金融風險，傳統的風險管理重點只能集中于資本分配方面，利用股權資本來充當各種風險的“緩沖墊，這種方法的優點在于，無需預測風險的來源，因為股權資本能防御任何風險，但從代理成本、稅收的角度看，股權資本的融資成本很高，因而這種方法成本高效率低。風險管理的另一種基本方法是，利用各種創新金融工具如衍生證券通過套頭交易來規避風險。與股權資本方法不同，套頭交易是一種具有針對性的風險控制技術。當金融機構用這種技術來規避風險時，不僅要辨識風險的類型(商品風險、利率風險，匯率風險)，而且要測定風險暴露的精確數量。利用這種風險管理技術，管理者可以針對性地將非系統風險的、與收益無關的風險剝離出來。這種風險管理技術成本低效率高，但是要求其管理者對其業務有深刻的數量理解，也就是說這種管理風險的技術需要復雜的數學模型。以金融數學模型為核心的金融創新對未來全球金融系統影響的第三個方面是對會計制度的影響。金融創新己使傳統的金融資產界限劃分變得模糊。例如，傳統的股權通過金融互換協議(Swap)，可以轉換為債權。又如，巴塞爾協議對不同風險類的資產要求不同的資本金，在美國，對銀行持有美國長期國庫券不要求資本金，對抵押債券要求4的資本金(當然，長期國庫券的收益低于抵押債券收益)。銀行可以投資于長期國庫券，然后進行一個分期攤還互換交易，銀行支付國庫券的收益，得到抵押債券的收益。這樣，銀行可以得到與直接投資于抵押債券相同的收益，而逃避4的資本金要求。在會計業務中，往往利用比率來測量公司的金融風險程度，其中重要的一個比率是杠桿比(資產與股本資本之比)。然而，在金融創新的環境下，傳統的杠桿比變得越來越沒有意義，尤其對金融公司。簡而言之，在過去大多數的時間中，金融數學模型對金融實踐的影響是有限的和附屬的。但是，在過去20年間，這些模型已成為全世界金融機構和市場中實踐者的中心內容。在未來，金融數學模型在包括管理和會計活動在內的全球性金融系統運作中大概有必不可少的作用。32 數學在金融領域中的應用321 資產估價模型資金具有時間價值。不同的時間點上的現金流不能直接相加減或相比較，1896年，美國經濟學家歐文費雪(Irving fisher)提出了資產當前價值等于未來現金流量貼現值之和的思想，解決了這一問題，為資產估價模型建立了基礎。最簡單的估價模型是復制(或貼現)公式。歐文費雪思想的數學表達如下：設某項投資未來時刻t的現金流量為C(t)，其貼現率為R(t)，n為期數，總現值為PV，則PV= 這一數學表達成為計算證券投資價值的資本化方法基礎，并根據不同的條件具有多種多樣的表現形式。在1938年，美國投資理論家威廉斯(Williams)提出了貼現現金流模型(DCF)，明確表達了股票的內在價值等于它的所有未來股息的貼現值之和：P(t)= 。其中，P(t)為時刻t的股票價格，D(t+k)為時刻t+k獲得的股息，i(常數)為合適的貼現利率。在此基礎上，又產生了許多特殊條件下的價值模型，如固定收人證券的價值模型，股息零增長模型，可變貼現率價值模型等。總之，費雪的思想對資產定價模型起了奠基石的作用。322 證券投資組合模型1952年馬柯維茨(Markowtz，HM)的博士論文“投資組合的選擇是現代金融數學的第一個突破口。他在該論文中提出了用于投資分析的均值一方差分析方法。他認為，投資者的目標應是收益的期望效用最大化，而不單單是期望收益最大化。他用收益率的方差作為風險的度量，先從各證券收益率的聯合特性用二次規劃確定可供投資者選擇的有效投資組合邊界，然后根據投資者的效用函數(對收益和風險的權衡)確定最優投資組合。金融市場存在不確定性。人們在進行證券投資時，收益與投資存在著時間上的滯后，這種滯后伴隨著許多未來不確定性因素的影響，將導致投資者可能得不到預期的收益甚至有虧損的危險，這種危險便是投資風險。風險就是未來實際收益與預期收益之間的偏離程度。在數學上，人們常把股票的未來價格看成一個隨機變量或隨機過程。由于不同證券，不同時期的股票價格不可比較，人們便將價格序列轉化成百分數表示的可比較的收益率序列。把收益率看成一個隨機變量或隨機過程，更便于數學處理。費雪曾提出未來資產收益的不確定性可以用概率分布來描述。收益率的概率分布實際上描述了一項投資風險的環境。這樣一來，人們可以用收益率R的數學期望E(R)來作為未來收益率的點值預測，把R的方差D(R)= 作為度量未來實際收益率與預期收益率之間偏離程度的數字特征，即用方差(或標準差)來度量投資風險的大小。3.2.2.1 均值方差模型在早期研究成果的基礎上，美國經濟學家，諾貝爾經濟學獎得主馬柯威茨(Markowitz)在20世紀50年代建立了均值一方差模型的分析框架(即投資組合選擇理論)。它的這一創造性工作使金融學由述性科學轉變為分析性科學。當投資選擇全部為風險資產時，均值一方差模型表述如下：設X= (T為轉置)為一個n維投資向量，其中為投資比例：I=E(R)=，其中， (i=1，2，n)為資產的期望收益率，并假定以不全相等；=為協方差矩陣，并假定非奇異(這實際上要求沒有一項資產的收益與其余部分資產組成的投資組合收益完全相關，沒有一項資產或資產投資組合是風險的)；E(R)和是已知的。對給定的組合P，收益率均值記為，方差為，那么按照馬柯威茨的思想，最小方差投資組合選擇問題表述為一個二次規劃問題：，StE(R)= 。由于正定及凸性，該問題存在唯一解，并可利用拉格朗日乘數法求出這個解：投資向量為X=，投資組合最小風險值。作為均值一方差模型的深入和補充，有托賓在1959年建立的兩資金分離定理，還有許多人使用的具有無風險資產的均值一方差模型，以及其他多種多樣的推廣和改進。3.2.2.2 資本資產定價模型(CAPM)50年代初數理經濟學家阿羅(Arrow，K)和德布羅(Debreu，G)提出的不確定性經濟的一般均衡模型被認為是現代金融理論的另一重要源泉。因為它是金融資產的均衡定價的基礎。這兩位學者分別是1972年和1983年諾貝爾經濟學獎得主。1964年、1965年和1966年，威廉夏普、約翰林特納(John Lintner)、簡莫辛(Jan Mossin)三人分別獨立地著作的資產定價模型，它是第一個在不確定的條件下探討資本資產定價理論的數學模型，它為金融市場收益結構的分析提供了理論依據。他們研究了在競爭均衡市場中金融資產的價格形成。他們證明了在均衡市場中，市場投資組合(即按每種證券的市值與市場中證券總市值之比確定比重)是有效投資組合，每種組合資產的預期收益率和它們與市場投資組合的協方差之間有線性關系，這就是著名的資產定價模型(CAPM)。CAPM在證券估價，投資組合績效的測定、資本預算及投資風險分析中得到廣泛應用。馬柯威茨模型要求大量的數據，并且計算相當復雜。他的學生威廉夏普(William Sharpe)對此進行了簡化。20世紀60年代，夏普提出了單指數模型，加上莫森(Mossin)，林特(Lintner)等人的工作，形成了資本資產定價模型(CAPM)。這一模型是以市場均衡原理為前提的。在市場達到均衡狀態時，每種風險證券的價格都將調整到使其供求達到均衡。這時存在一個組合M，每種證券在組合M中所占有的份額正好等于其市場價值占市場上全部證券市場價值的比例。在CAPM模型框架中，只要知道無風險資產的收益率，市場組合M的期望收益率和標準差，投資者就容易確定有效組合邊界。有效組合P的期望收益率和標準差的線性關系表達為資本市場線：=，并且，在均衡狀態下，風險證券(或者組合)i的期望收益率是它與市場組合收益率的協方差線性函數：此外，羅伯特默頓(Rorbet Merton)把該模型推廣到多因素的CAPM。例基于資產定價模型的股票市場羊群行為指標：決策相關引起股票市場投資者在同一時間買賣相同或相近的股票，結果導致股票價格行為趨于一致的市場羊群行為。投資者羊群行為最終通過股票價格偏離長期均衡價值來表現，這種價格偏差與投資者買賣股票的一致性行為是等價的，都包含了投資者認知狀況的基本信息。 由于股票長期均衡價值是對該股票風險收益關系的總結，股票價格偏離了長期均衡價值意味著該股票的風險收益均衡關系被打破。對于CAPM 模型，均衡系數衡量了一支股票的長期風險收益均衡關系，羊群行為打破了該股票的風險收益的均衡關系意味著實際系數偏離了均衡系數值對市場中的所有股票而言，市場羊群行為出現后，市場所有股票系數的橫截面離散度變小。對于CAPM 模型： (1)在市場長期均衡狀況下，有與分別為t時刻個股i和市場的超額收益率；為t 時刻數學期望因子.事實上，股票i的均衡系數會隨時間而逐漸變化，但這種通過公司長期發展帶來的變化是極其緩慢的，為此，在實證研究中一般認為股票i 的市場系數是不變的. 所以，短期內諸多股票市場系數出現變化即意味著市場出現了行為異常，而非這些公司發展帶來的股票基本面調整引起的. 根據上述分析，股票短期 系數值與其長期均衡值的偏離程度包含市場行為的基本信息，該偏離程度與源于投資者認知變化的股票市場羊群行為具有等價性.當市場出現羊群行為時，股票的長期風險收益均衡關系被打破，每支股票的系數和期望收益率會出現不同程度的偏離. 如果代表了市場的共同觀點，那么，羊群行為的出現會促使投資者以為基礎重新認識個股收益 ，這將導致實際系數由于投資者的認知改變而與長期均衡偏離.根據CAPM 模型，當市場出現羊群行為時，實際系數服從下列關系：. (2)與分別為個股i的短期期望收益與系數，參數的經濟涵義見（3）.在傳統因子定價模型中，代表資產收益對因子變動靈敏度的因子載荷（Factor loading）（如CAPM 模型的市場系數）的離散度指標（截面方差）變化具有特殊的經濟涵義.一般情況下，因子載荷離散度指標不依賴于市場收益時間序列出現波動，只依賴于個股收益與因子實現值相互關系的變化. 在平均意義上，個別信息對市場范圍所有資產因子載荷的影響是細微的，資產因子載荷離散度不可能被個別信息顯著改變，因子載荷離散度指標的任何顯著變化只能是投資者一致性交易行為帶來的股價同漲同跌的結果.大部分資產的因子載荷會追隨市場中的某個因素偏離其長期均衡值而導致整個市場資產因子載荷離散度發生顯著變化.資產定價模型因子載荷離散度指標具備的克服股票市場其它基礎變量影響的先天性優勢為利用其設計出更符合實際情況的股票市場羊群行為指標創造了條件.為了利用股票的市場系離散度指標的經濟含義，根據離散度數學定義，有： (3)定義系數離散度對其長期均衡值的離散度的偏離度為股票市場羊群行為參數，1, 當=0時，=，均衡CAPM 成立，未出現羊群行為；當=1 時，=1，市場中的所有個股與市場按照同樣的節奏運動，市場出現完全意義上的羊群行為；當0，即市場出現部分個股逆大盤而動的走勢，0，表示股票期望收益率，常數0，表示股價波動性強度，B(t)為維納過程。該方程的解析解即為BlaekScholea公式：其中，。一直以i為期權價格，為標準正態分布函數，為期權執行價格，r為利率，T為到期日。默頓對期權價值模型給予了更加清晰的闡述，他們三人共同在1997年獲得了諾貝爾經濟學獎。CAPM、APM模型和BlackScholes公式等理論框架的形成，標志著分析性金融學和財物理論開始走向成熟。1958年莫迪利亞尼(Modigliani，F)和米勒(Miller，MH)首次從金融市場均衡理論出發研究了公司財務決策。他們在假定金融市場處于均衡狀態和公司不賦稅及無破產成本的前提下，證明了公司的市場價值與公司的資本結構(即債權和股權之比)無關(這一結果在文獻上稱為M-_M定理)。他們是從“套利推理”得出這一與正常人直覺大相徑庭的結論的，即假設定理不成立，則可在金融市場中構造套利投資策略。套利推理對日后的金融數學的發展(如套利定價思想和期權定價的鞅方法)產生了重要影響。莫迪利亞尼和米勒分別獲得1985和1990年度的諾貝爾經濟學獎。3.3 數學方法在金融領域中的廣泛應用3.3.1 金融工程學在金融工程的研究方面，所適用的最基本的方法是數學方法。我們知道，數學方法所涉及的內容十分廣泛。從基本的代數知識、微積分、線性代數到微分方程、運籌學和優化技術，乃至模糊數學、博弈論(包括微分對策)、統計學中的概率論、隨機過程和其它隨機分析方面的理論和方法(包括倒向隨機微分方程)，但隨著金融工程學的迅速發展和備學科的相互滲透的結果各種自然科學的前沿理論和最新工程技術，如混沌理論、小波理論、遺傳算法、復雜系統理論、人工智能技術(包括知識工程、專家系統和人工神經網絡等)、模擬退火方法、面向對象方法等都已經或正在成為金融工程的重要理論與實踐工具。3.3.2 金融文學數學以其精確的描述，嚴密的推導已經不容爭辯地走進了金融領域。在金融證券化的趨勢中無論是我們采用統計學的方法分析歷史數據，尋找價格波動規律，還是用數學分析的方法去復制金融產品，誰最先發現了內在規律誰就能在瞬息萬變的金融市場中獲取高額利潤。盡管由于森嚴的進入堡壘，數學進入金融領域受到了一定的排斥和漠視。然而為了追求利潤，這種排斥和漠視逐漸轉為關注，甚至是重視它的存在。金融市場存在巨大的利潤和高風險需要計算機技術幫助分析然而計算機不可能大概、左右等描述性語言，它本質上只能識別由O和l構成的空間。金融數學(Ficial Matllematics)，又稱分析金融學，是利用數學工具研究金融進行數學建模、理論分析、數值計算等定量分析，以求找到金融學內在規律并用以指導實踐。金融數學在這個過程中正好扮演了一個中介角色，它可以用精確語言描述隨機波動的市場，為實際金融部門提供較深入的技術分析咨詢。比如，通過收益率狀態矩陣在無套利的情形下找到了無風險貼現因子。現代金融的核心問題無不由微積分方程理論來解決。通過數學方法，使人們對于金融領域中無處不在的巨大風險性和統計規律有更為深刻的了解。從墨西哥金融危機到亞洲金融危機，再到全球金融危機，使我們發現我們需要掌握金融工程，金融數學等現代化金融管理技術的金融人才。這些人才需要既懂得數學又懂得金融知識。另外，我們只有掌握了現代金融衍生工具，能對金融風險做定量和定性的分析。我們才可以避免在激烈的國際金融競爭中蒙受巨大的損失才能使中國金融業在后金融危機時代發揮巨大的作用。4 現代金融理論的發展趨勢現代金融理論大量應用金融數學取得的豐碩成果不過是近幾十年的事。然而，由于許多專家和學者的努力及實際發展的需要，現代金融理論大有蓬勃發展之勢。下面僅就現代金融理論的發展趨勢和國內專家與學者對現代金融理論的貢獻簡述如下：4.1 隨機最優控制理論現代金融理論一個更值得重視的應用領域是解決帶有隨機性的問題，而解決這個問題的重要手段是隨機最優控制理論。隨機最優控制是控制理論中在相當晚時期得到發展的。應用貝爾曼最優化原理，并用測度理論和泛函分析方法，是數學家們在本世紀60年代末和70年代初對于這一新的數學研究領域作出的重要貢獻。金融學家們對于隨機最優控制的理論方法的吸收是十分迅速的。70年代初開始出現了幾篇經濟學論文，其中有默頓(Merton)使用連續時間方法論述消費和資產組合的問題，有布羅克(Brock)和米爾曼(Mirman)在不確定情況下使用離散時間方法進行的經濟最優增長問題。從此以后，隨機最優控制方法應用大多數的金融領域。在國內以彭實戈為代表的中青年學者對此也做出了卓越貢獻。4.2 鞅理論現代金融理論最新的研究成果是鞅理論的引入。在金融市場是有效的假定下，證券的價格可以等價于一個鞅隨機過程。由Karatzas和Shreve等人倡導的鞅方法直接把鞅理論引入到現代金融理論中，利用等價鞅測度的概念研究衍生證券的定價問題，得到的結果不僅能深刻揭示金融市場的運行規律，而且可以提供一套有效的算法，求解復雜的衍生金融產品的定價與風險管理問題。利用鞅理論研究金融理論的另一個好處是它能夠較好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題，從而使現代金融理論取得了突破性的進展。目前基于鞅方法的衍生證券定價理論在現代金融理論中占主導地位，但在國內還是一個空白。4.3 脈沖最優控制理論在證券投資決策問題中，大部分的研究假設交易速率是有界的和連續變化的。而實際上投資者的交易速率不是有界的，又不是頻繁改變的。因此，用連續時間隨機控制理論來研究，僅僅是一種近似，使得問題變得更容易處理，但是事實上往往與實際問題有較大的距離。因此，若用脈沖最優控制方法研究證券投資決策問題似更為合適。4.4 微分對策理論現代金融理論的另一個值得注意的研究動向是運用微分對策方法研究期權定價問題和投資決策問題，目前取得了一定的成果。當金融市場不滿足穩態假定或出現異常波動時，證券價格往往不服從幾何布朗運動，這時用隨機動態模型研究證券投資決策問題的方法無論從理論上，還是從實際上都存在著較大偏差。用微分對策方法研究金融決策問題可以放松這一假設，把不確定擾動假想成敵對的一方，針對最差情況加以優化，可以得到“魯棒性”很強的投資策略。另外，求解微分對策的貝爾曼方程是一階偏微分方程，比求解隨機控制問題的二階偏微分方程要簡單得多。因此，運用微分對策方法研究金融問題具有廣闊的應用前景。對重復對策、隨機對策、多人對策理論在證券投資決策問題中的應用研究更是值得重視的研究課題。4.5 最優停時理論最優停時理論是概率論中一個具有很強應用背景的領域，他的蓬勃發展是60年代以后的事。近幾年，在國內也有一些學者開始熱心這一領域的研究，而且取得了可喜的成果。文運用最優停時理論研究了具有固定交易費用的證券投資決策問題，在國內有關這方面的研究尚不多見。相信運用最優停時理論來研究投資決策問題和風險最小化問題會有更大的進展。4.6 智能優化把智能優化方法(遺傳算法、模擬退火算法、人工神經網絡)和傳統方法結合起來，應用于風險控制和投資決策問題中是另一個具有更為廣闊的研究領域，給我們提供了廣泛的研究課題。國際上有關這方面的研究已經有了初步的成果，在國內也有一大批學者致力于這方面的研究相信金融學家、控制專家和智能專家們通力合作，在這一領域一定能取得突破性的進展。5 結論在金融數學迅速發展的同時，也存在一些問題，如金融市場數學模型是以理性預期的假設為前提，認為市場參與者(機構或個人)能夠理智地利用和處理一切可利用的信息，除隨機因素外，人們有完全的預見。但實際上，金融市場的預期是非理性的，短期的預期傾向于投機的影響，另外金融市場數學模型建立在新古典經濟學理論框架之中，是以市場均衡模式和線性數理方法為基礎的。但金融市場實際上均衡是短暫的，不均衡是絕對的，再如通過數學模型或定量分析方法所得到的結論是半經驗半理性等等。這些問題的存在，使數學模型理論計算與實際價格產生偏差，雖對歷史數據擬合較好，但對未來預測常遭失敗。因此，未來數學在金融領域的應用應在現有理論框架基礎上，豐富理論研究的方法和結果，使數學模型能夠更好地解釋現實，并要創新理論框架，如引入非均衡理論和引入非線性分析技術等。除此之外，還應當從金融市場整體出發，從基本面、技術面、信息面等各方面考慮，進行定性和定量相結合的分析，才有可能使數學模型盡可能反映金融市場系統的本質，起到優化作用。 中國數學家