13.4課題學習最短路徑問題教學設計 杜爾門沁學校 張娜一、分析1、教學目標：（1）能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟化歸思想；（2）. 能將實際問題中的“地點”、“河”抽象為數學中的“點”、“線”，把實際問題抽象為數學問題，并能利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟“轉化”作用。2、重點難點： 重點：將實際問題抽象為數學問題；將同側兩點轉化為異側兩點 難點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題，邏輯推理證明所求距離最短.3、學情分析： 由于八年級學生首次遇到某條線段或線段和最小，所以無從下手，另外證明兩條線段和最小時要選取另外一點，學生想不到、不會用，所以利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題，邏輯推理證明所求距離最短是本節課的難點。4、教材分析： 教科書在這一節中安排了兩個問題，分別是“牧馬人飲馬問題”和“造橋選址問題”，解決這兩個問題的關鍵是通過軸對稱和平移等變化把問題轉化為關于“兩點之間，線段最短”的問題（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題，在解決這兩個問題的過程中滲透了化歸的思想。5、教學方法： 采用“引導探究發現”的教學模式，突出學習方法的引導，注重思維習慣的培養，為學生搭建參與和交流的平臺。6、 學法指導： 實踐操作、發現法、練習法、合作學習。突出探究與發現，思考與歸納提升，在動手探究、自主思考、互動交流中，獲取本節課的知識與方法7、 教學資源： 借助PPT課件展示引例及變式訓練題組，增大課堂容量，吸引學生眼球，最大限度地激發學生的學習興趣，優化課堂結構，提高課堂教學效率。8、 教學評價： 評價量規：隨堂提問、動手實踐、操作演練、練習反饋；9、 評價策略： 堅持“及時評價與激勵評價相結合，定量化評價與定性化評價相統一”的原則，最大限度地做到面向全體學生，充分關注學生的個性差異，將學生自評、生生互評和教師概括引領、激勵測進式點評有機結合，既有即興評價，又有概要性評價；既有學生的自評，又有師生、生生之間的互評，力求在評價中幫助學生認識自我、建立自信，使其逐步養成獨立思考、自主探索、合作交流的學習習慣。二、教學過程教學活動【活動1】創設情境、引入新課請一位同學把你的筆記本拿給老師好嗎？謝謝，請問，你剛才為什么要選擇從這條路徑走，而不是繞外圍呢？同學們，你們能用我們的數學知識來解釋這個生活常識嗎？現實生活中，我們常常涉及到選擇最短路徑問題，今天我們將利用大家前一階段所學的知識解決生活中的實際問題：13.4 最短路徑問題【活動2】嘗試探究，解決問題問題1如圖，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？為什么這樣做就能得到最短距離呢？ 教師出示問題1，學生先閱讀明確題意。 思考：怎樣把這個實際問題抽象為數學問題？已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。（連接AB,線段AB與直線L的交點P，就是所求。）道理：兩點之間，線段最短。總結：求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求問題2相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：看圖：從A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全最短？精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個問題抽象為數學問題嗎？做法：如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B；（2）連接AB，與直線l相交于點C則點C即為所求證明：如圖，在直線l上任取一點C（與點C不重合），連接AC，BC，BC由軸對稱的性質知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC思考：證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C（與點C不重合），證明AC+BCAC+BC？這里的“C”的作用是什么？答：若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小教師出示問題2，學生先閱讀明確題意。追問1：這是一個實際問題，你打算首先做什么？追問2：你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？（將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線）（1）從A地出發，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；（3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小（如圖）追問3：如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？（1）對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側B處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB的長度相等？（2）你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B嗎？分析：先確定其中一個點關于直線l的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，與直線l的交點M即為所求的點點撥：運用軸對稱變換及性質將不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題.（師講解做法見左欄）追問4：你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？（學生先思考，教師視情況點撥提示，講解證法） 總結：求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求 運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同問題3（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）作法：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，2.連接AE交河對岸與點M,則點M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質，得BNEM且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DBAM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。 警誤區利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求根據軸對稱的性質、 利用三角形的三邊關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時，要認真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求審題不清導致答非所問教師出示問題3，學生先閱讀明確題意。 同上引導學生將實際問題抽象為數學問題，然后引導分析思路，找出方法。思路導引：從A到B要走的路線是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此時兩線段應在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時不難說明點N即為建橋位置，MN即為所建的橋 總結：選址問題的關鍵是把各條線段轉化到一條線段上如果兩點在一條直線的同側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決 解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變為零，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題 在解決