帶電粒子在磁場中運動習題課一 蘇州新區一中 1 帶電粒子在勻強磁場中運動 只受洛倫茲力作用 做 簡單回顧 2 洛倫茲力提供向心力 半徑 帶電粒子在勻強磁場中的運動規律 周期 勻速圓周運動 一 兩個公式 帶電粒子做圓周運動的分析方法 一 帶電粒子做圓周運動的分析方法 二 幾個重要的幾何關系 四點三角兩三角 形 一根線 半徑 四點三角兩形一線 帶電粒子做圓周運動的分析方法 三 解題步驟 畫軌 定心 求半徑1 定心方法 1 兩v 徑 定心 已知入射方向和出射方向 與速度垂直的半徑交點就是圓弧軌道的圓心 2 一徑一弦定心 已知入射方向和出射點的位置時 半徑與弦中垂線的交點就是圓弧軌道的圓心 帶電粒子做圓周運動的分析方法 2 求半徑 一般利用幾何知識 常用解三角形的方法 運動時間 四 運動時間的求解 五 關注三類典型問題 1 帶電粒子在有界磁場中做圓弧運動 2 帶電粒子在磁場中運動時的一些臨界問題的討論3 多解問題 帶電粒子在磁場中運動 一 帶電粒子在單邊界磁場中的運動 粒子的出射角和入射角相等 如果與磁場邊界成夾角 進入 則運動軌跡所對的弦長L 2Rsin 二 平行直線邊界 速度較小時 作半圓運動后從原邊界飛出 速度增加為某臨界值時 粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切 速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出 B P S Q P Q Q 速度較小時 作圓周運動通過射入點 速度增加為某臨界值時 粒子作圓周運動其軌跡與另一邊界相切 速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出 圓心在過入射點跟跟速度方向垂直的直線上 圓心在過入射點跟邊界垂直的直線上 沿邊界線入場 圓心在磁場原邊界上 垂直入場 量變積累到一定程度發生質變 出現臨界狀態 P 速度較小時 作圓弧運動后從原邊界飛出 速度增加為某臨界值時 粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切 速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出 三 垂直邊界 例 一個質量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P a 0 點以速度v 沿與x正方向成60 的方向射入第一象限內的勻強磁場中 并恰好垂直于y軸射出第一象限 求 1 勻強磁場的磁感應強度B和射出點的坐標 2 帶電粒子在磁場中的運動時間是多少 四 矩形邊界磁場 o B 圓心在磁場原邊界上 圓心在過入射點跟速度方向垂直的直線上 速度較小時粒子作半圓運動后從原邊界飛出 速度在某一范圍內時從側面邊界飛出 速度較大時粒子作部分圓周運動從對面邊界飛出 速度較小時粒子做部分圓周運動后從原邊界飛出 速度在某一范圍內從上側面邊界飛 速度較大時粒子做部分圓周運動從右側面邊界飛出 速度更大時粒子做部分圓周運動從下側面邊界飛出 量變積累到一定程度發生質變 出現臨界狀態 軌跡與邊界相切 究竟從哪個邊先出還要看邊界的長寬 例 如圖14所示 邊長為L的等邊三角形ABC為兩個有界勻強磁場的理想邊界 三角形內的磁場方向垂直紙面向外 磁感應強度大小為B 三角形外的磁場 足夠大 方向垂直紙面向里 磁感應強度大小也為B 把粒子源放在頂點A處 它將沿 A的角平分線發射質量為m 電荷量為q 初速度為v 的負電粒子 粒子重力不計 求 圖14 1 從A射出的粒子第一次到達C點所用時間為多少 2 帶電粒子在題設的兩個有界磁場中運動的周期 五 三角形磁場 解析 1 帶電粒子垂直進入磁場 做勻速圓周運動qvB T 將已知條件代入有r L從A點到達C點的運動軌跡如圖所示 可得 tAC TtAC 2 帶電粒子在一個運動的周期運動軌跡如第 1 問圖所示 粒子通過圓弧從C點運動至B點的時間為tCB 帶電粒子運動的周期為TABC 3 tAC tCB 解得TABC 答案 1 2 六 圓形邊界 O 入射速度方向指向勻強磁場區域圓的圓心 剛出射時速度方向的反向延長線必過該區域圓的圓心 徑向入 徑向出 O1 O2 O3 O4 六 圓形邊界 B O O 七 環形邊界 例1 如圖直線MN上方有磁感應強度為B的勻強磁場 正 負電子同時從同一點O以與MN成30 角的同樣速度v射入磁場 電子質量為m 電荷為e 它們從磁場中射出時相距多遠 射出的時間差是多少 例2 一帶電質點 質量為m 電量為q 以平行于x軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域 為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于x軸的速度v射出 可在適當的地方加一個垂直于xy平面 磁感強度為B的勻強磁場 若此磁場僅分布在一個圓形區域內 試求這圓形磁場區域的最小半徑 重力忽略不計 例3 如圖 在一水平放置的平板MN上方有勻強磁場 磁感應強度的大小為B 磁場方向垂直于紙面向里 許多質量為m 帶電量為 q的粒子 以相同的速率v沿位于紙面內的各個方向 由小孔O射入磁場區域 不計重力 不計粒子間的相互影響 下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經過的區域 其中R mv qB 哪個圖是正確的 A v 以速率v沿紙面各個方向由小孔O射入磁場 B v B v B v 解 帶電量為 q的粒子 以相同的速率v沿位于紙面內的各個方向 由小孔O射入磁場區域 由R mv qB 各個粒子在磁場中運動的半徑均相同 在磁場中運動的軌跡圓圓心是在以O為圓心 以R mv qB為半徑的1 2圓弧上 如圖虛線示 各粒子的運動軌跡如圖實線示 帶電粒子可能經過的區域陰影部分如圖斜線示 例4 核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫 為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內 否則不可能發生核反應 通常采用磁約束的方法 托卡馬克裝置 如圖所示 環狀勻強磁場圍成中空區域 中空區域中的帶電粒子只要速度不是很大 都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區域內 設環狀磁場的內半徑為R1 0 5m 外半徑R2 1 0m 磁場的磁感強度B 1 0T 若被束縛帶電粒子的荷質比為q m 4 107C 中空區域內帶電粒子具有各個方向的速度 試計算 1 粒子沿環狀的半徑方向射入磁場 不能穿越磁場的最大速度 2 所有粒子不能穿越磁場的最大速度 解析 1 要粒子沿環狀的半徑方向射入磁場 不能穿越磁場 則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切 軌跡如圖所示 由圖中知 解得由得 所以粒子沿環狀的半徑方向射入磁場 不能穿越磁場的最大速度為 2 當粒子以V2的速度沿與內圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時 則以V2速度沿各方向射入磁場區的粒子都不能穿出磁場邊界 如圖所示 由圖中知由得所以所有粒子不能穿越磁場的最大速度帶電粒子在有 圓孔 的磁場中運動 例5 在如圖所示的平面直角坐標系xoy中 有一個圓形區域的勻強磁場 圖中未畫出 磁場方向垂直于xoy平面 O點為該圓形區域邊界上的一點 現有一質量為m 帶電量為 q的帶電粒子 重力不計 從O點以初速度vo沿 x方向進入磁場 已知粒子經過y軸上P點時速度方向與 y方向夾角為 30 OP L求 磁感應強度的大小和方向 該圓形磁場區域的最小面積 分析 OP的垂直平分線與v0的反向延長線交于Q 作OQ的垂直平分線與OP相交于O O 即帶電粒子運動軌跡圓的圓心 帶電粒子在磁場中所做的是1 3圓周的勻速圓周運動 不確定邊界問題 解 1 由左手定則得磁場方向垂直xoy平面向里 粒子在磁場中所做的是1 3圓周的勻速圓周運動 如圖所示 粒子在Q點飛出磁場 設其圓心為O 半徑為R L R sin30 R R L 3 得 2 由圖得 例6 如圖所示 現有一質量為m 電量為e的電子從y軸上的P 0 a 點以初速度v0平行于x軸射出 為了使電子能夠經過x軸上的Q b 0 點 可在y軸右側加一垂直于xOy平面向里 寬度為L的勻強磁場 磁感應強度大小為B 該磁場左 右邊界與y軸平行 上 下足夠寬 圖中未畫出 已知 L b 試求磁場的左邊界距坐標原點的可能距離 結果可用反三角函數表示 解 設電子在磁場中作圓周運動的軌道半徑為r 則 解得 當r L時 磁場區域及電子運動軌跡如圖1所示 由幾何關系有 則磁場左邊界距坐標原點的距離為 其中 當r L時 磁場區域及電子運動軌跡如圖2所示 由幾何關系得磁場左邊界距坐標原點的距離為 解得 反思總結 返回 小結 1 帶電粒子進入有界磁場 運動軌跡為一段弧線 2 當同源粒子垂直進入磁場的運動軌跡 3 注意圓周運動中的有關對稱規律 2 粒子進入單邊磁場時 入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角 1 在圓形磁場區域內 沿徑向射入的粒子 必沿徑向射出 一朵梅花 帶電粒子在磁場中運動軌跡賞析 一把球拍 a a O x y v v P 甲 乙 t B B0 B0 0 T 2T 一條波浪 a a O x P v a a O x P v o A B P Q 一顆明星 a a B 一幅窗簾 二 帶電粒子在磁場中運動問題的解