探索三角形的相似條件（1）教學設計深圳市光明新區實驗學校 董博 一、教材內容分析：探索三角形的相似條件（1）選自課程標準實驗教科書北師大版數學九年級上冊第四章相似圖形。本章是初中數學學習的重要內容之一，是研究全等圖形的繼續和深化，圖形由全等進入相似，使認識擴大到了一個新的領域，具體表現在：線段關系從相等發展到成比例。全等三角形是相似形的特殊情況，從這個意義上講，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性，這一章所研究的問題實際上是在全等三角形知識基礎上的拓寬與發展。同時，后續知識三角函數的概念、解直角三角形、圓的一些性質也是以相似形為基礎的。所以圖形的相似在整個教材中起著承上啟下的作用。此外，在其它學科中，也要運到相似三角形的有關知識。本節課是探索三角形相似條件第一課時的內容，它是在學生學習了全等三角形的性質與判定，相似三角形的定義以及兩個三角形相似對應角相等，對應邊成比例這些知識的基礎上進行的。在直觀認識形狀相同的圖形基礎上，探索與理解相似三角形的判定條件，為后續學習通過相似三角形有關知識測量物體的高度、距離做好準備。因此這部分內容也是今后進一步學習不可缺少的基礎。新課程標準強調：教師的有效教學應指向學生有意義的數學學習，有意義的數學學習又必須建立在學生的主觀愿望和意識經驗基礎之上。為此，本節課以問題式教學與探索性學習為主。從簡單的問題引入，以探索三角形全等判定條件為引子，然后過渡到三角形相似判定條件的探索。學生按教師所提出的問題進行思考，并在教師的啟發下進行自主探索與合作交流。最后總結得出：兩角對應相等的兩個三角形相似的判定條件。通過練習學會用此結論去解決實際問題。通過本節課的學習，還可培養學生猜想、實驗、證明、探索等能力，對掌握觀察、比較、類比、轉化等思想有重要作用。二、教學目標設置：1、通過運用三角形全等條件的探索方法，探索得出兩角對應相等的兩個三角形相似，并會用這一結論解決一些簡單的問題。2、經歷“類比猜想探索總結-應用”的活動過程，探索兩角對應相等的兩個三角形相似，進一步領悟類比的思想方法。3、在活動中，開發、培養學生的發散性思維，進一步發展學生的探究合作、交流意識，以及動手動腦和諧一致的習慣。重點：三角形相似條件的探索與應用。難點：三角形相似條件在運用時，如何找準相等的兩組對應角。為此我引導學生用類比、探究等方法尋求判定兩個三角形相似的條件，突出教學重點；采用基本圖形的各種變式訓練，強化三角形相似條件的應用，分解教學難點。三、學生學情分析學生在本章前幾節，已學過相似三角形的基本概念和基本性質等知識，在七年級下冊已經接觸過對三角形全等條件的探索，初步體會了類比方法在數學學習中的作用，已具備一定的合作與自主探索能力，本節課是在此基礎上的延伸和提高。因此在教學中采取開放式的教學形式，讓學生動手感知，合作交流，養成積極探索與實踐的良好習慣。教學過程中，創設直觀形象，利于操作的問題情境，引起學生的極大關注，有利于學生對內容的較深層次的理解。多為學生創設自主學習、合作交流的機會，促使他們主動參與、勤于動手，從而樂于探究。但需承認學生之間的個體差異，對學有余力的學生要有提高、拓展的機會。對學困生要有一定的展示平臺，在難點的突破上，要讓他們最大程度的參與其中。四、教學策略分析數學新課程標準綱要指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學習數學的重要方式。為了充分體現數學新課程標準綱要的要求，培養學生的動手實踐能力，邏輯推理能力，積累豐富的數學活動經驗，根據本節課的教學目標、教材內容以及學生的認知特點，這節課主要采用動手實踐，自主探索與合作交流的學習方法，使學生積極參與教學過程，在教學過程展開思維，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，進一步理解觀察、類比、分析等數學思想方法。五、教學過程：活動一：創設情境，類比猜想同學們：前面我們用全等三角形的學習方法探究學習了相似三角形的定義與性質，請同學們口述一下？（定義：三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；性質：三角對應相等，三邊對應成比例）我們探究相似三角形依然離不開組成三角形的元素-邊和角。本節課我們利用學習全等三角形判定的方法探究相似三角形的判定。（板書：探索三角形的相似條件（1）設問、交流：（1）探究三角形全等條件是從哪些方面去探究的？（角、邊、邊角結合三方面）（2）全等三角形的判定方法有幾種？（角邊角、邊角邊、角角邊、邊邊邊，直角三角形還可以用斜邊直角邊來判定。）（3）你認為探究三角形相似應該從哪些方面去探究？（角、邊、邊角結合三方面）（4）三角形全等最多需要幾個條件？（3個），你認為三角形相似最多需要幾個條件？（3個） 下面就請同學們從角、邊、邊角結合三方面具體探究一下，共有幾種探索方案？（可小組交流討論）角：一角對應相等的兩個三角形是否相似兩角對應相等的兩個三角形是否相似三角對應相等的兩個三角形是否相似（對于三角問題，根據三角形內角和，可將三角問題與二角問題化歸為同一種情況。）邊：一邊對應成比例的兩個三角形是否相似兩邊對應成比例的兩個三角形是否相似三邊對應成比例的兩個三角形是否相似（由于一邊對應不能成比例，因此一邊問題不去探究）邊角：一邊對應成比例且一角對應相等的兩個三角形是否相似一邊對應成比例且兩角對應相等的兩個三角形是否相似兩邊對應成比例且一角對應相等的兩個三角形是否相似（由于一邊對應不能成比例，因此一邊一角、一邊兩角問題也不去探究，而兩邊一角可以是兩邊對角，也可以是兩邊夾角）總結方案：【設計意圖】：情境導入的目的是設疑激趣。這里從學生已有的體驗開始，從直觀的和容易引起想象的問題出發，讓數學背景包含在學生熟悉的事物和相關聯的情境之中，引導學生類比全等三角形判定的探究方法具體制定三角形相似判定的探索方案，在此滲透分類討論、轉化等數學思想。活動二：活動探究，得出結論我們首先從角開始探索：1、探究：一角對應相等的兩個三角形是否相似？（學生舉例或畫圖后，教師演示）得出結論：兩個三角形中有一個角對應相等，不能作為判定這兩個三角形相似的條件，一個角對應相等的三角形不一定相似。【設計意圖】：這里降低了探索問題的難度，盡量讓有不同意見的學生發表見解，這樣可以避免不動腦筋被動聽課的現象。2、探究：兩角對應相等的兩個三角形是否相似？請同學們依據下列條件畫三角形：兩人一組，一人畫ABC，另一人畫A1B1C1，使A=A160 ， B=B1 45 。 畫完后，思考：這兩個三角形是否相似？ 為什么？在這里，由于畫圖、度量的誤差，學生會出現兩種結果，一種認為相似，另一種認為不相似。這時教師引出幾何畫板，讓學生在幾何畫板上畫三角形ABC和A1B1C1，并通過度量計算得出兩個三角形是相似的。在此基礎上，教師出示課前在幾何畫板上畫的滿足兩角對應相等的兩個三角形，再次讓學生度量計算得到這兩個三角形也是相似的。最后教師演示：當改變角的大小，但始終保持兩角對應相等，讓學生觀察知道:角的大小在變，邊的長度也在變，但三邊對應的比值始終保持相等這一事實。從而總結得出結論：兩角對應相等的兩個三角形相似。結合圖形你能用符號語言描述嗎？符號表述： A=A，B=B， ABCA BC。【設計意圖】：這里學生通過動手操作驗證結論時，出現了思維的碰撞，借機教師用幾何畫板讓學生進一步驗證結論，比較直觀和形象，既加深了學生對兩角對應相等的兩個三角形相似這一結論的理解和記憶，又培養了學生學習數學的興趣。同時也使學生意識到數學規律的發現離不開驗證這一過程。而且在動手操作、合作交流過程中，通過相互表達與傾聽，不僅使自己的想法、思路更好的表現出來，而且還可以了解他人對問題的不同理解，使學生的理解不斷加深。并引導學生將文字語言轉化成圖形語言和符號語言。活動三：初步應用，達成目標題組練習一：1、下面兩組圖形中的兩個三角形是否相似？為什么？2、判斷下列說法是否正確？并說明理由。（1）所有的直角三角形都相似。( )（2）所有的等腰直角三角形都相似。( ) （3）所有的等腰三角形都相似。( ) （4）有一個角是100 的兩個等腰三角形都相似。( )（5）有一個角是70 的兩個等腰三角形都相似。( ) （6）所有的等邊三角形都相似。( )【設計意圖】第1題讓學生首先獨立思考，在此基礎上進行合作交流；第2題讓學生思考、舉反例，滲透反證法的思想。做到規范說理要求，達到初步應用三角形相似條件的目的。活動四：典例示范，應用拓廣例1、如圖，點D、E分別是ABC邊AB、AC上的點，且DEBC。（1）圖中有哪些相等的角？（2）找出圖中的相似三角形，并說明理由。（3）寫出三組成比例的線段。變式一：如圖，當點D、E分別移動到邊AB、AC的延長線上時，且DEBC，ADE與ABC相似嗎？為什么？變式二：如圖，當點D、E分別移動到邊BA、CA的延長線上時，且DEBC，ADE與ABC相似嗎？為什么？ 我們在剛才做練習時，要說明兩個三角形相似的關鍵是什么？（找兩個角對應相等），而平行線正好可以創造出角相等-同位角相等，內錯角相等。因此，我們以后做題時，看到平行線就要找一找圖中是否有相似三角形，以便幫助我們解決問題。變式三：如圖，當DE不平行于BC時，ADE與ABC還可能相似嗎？滿足什么條件時可以相似？ 【設計意圖】：這里我把教科書作為學生數學學習的素材，并利用圖形的多種變換讓學生初步感受相似形的幾何模型。引導學生主動觀察、猜想、推理、合作與交流，使學生在對教科書內容的處理過程中獲得發展，形成自己對數學知識理解的有效學習策略。題組練習二：1、 如圖：在平行四邊形ABCD中，E是BC延長線上一點，AE交DC于點F，試找出圖中的相似三角形。2、在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，圖中有幾對相似三角形？請找出它們，并說明理由。【設計意圖】：以上2個問題旨在讓學生進一步熟悉相似形的幾何模型，讓學生獨立完成后展示交流，體現了對學生思維、說理的教學，培養學生邏輯思維能力。題組練習三： 如圖：AB是斜靠在墻上的長梯，梯腳B距墻80cm，梯上點D距墻70cm，BD長55cm，你可以計算出梯的長度嗎？解：BCAC， DEACA ED=ACB=900 又A為公共角。ADEABC（兩角對應相等兩個三角形相似）(（相似三角形的對應邊成比例）又AB=AD+BD=AD+55，BC=80，DE=70(AD+55)/AD=80/70解得：AD=385AB=AD+55=440梯子的長度為440 cm【設計意圖】：這里通過具體的實際問題，使學生學數學、用數學的意識得到強化。使學生創造性的將數學知識應用于實踐，并在實踐中獲得創造的成功感。更