等差數列前n項和教師：中衛市第一中學 俞清華一、教材分析 教學內容 等差數列前n項和現行高中教材第三章第三節“等差數列前n項和”的第一課時，主要內容是等差數列前n項和的推導過程和簡單應用。 地位與作用 本節對“等差數列前n 項和”的推導，是在學生學習了等差數列通項公式的基礎上進一步研究等差數列，其學習平臺是學生已掌握等差數列的性質以及高斯求和法等相關知識。對本節的研究，為以后學習數列求和提供了一種重要的思想方法倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用。 二、學情分析 知識基礎：高一年級學生已掌握了函數，數列等有關基礎知識，并且在初中已了解特殊的數列求和。 認知水平與能力：高一學生已初步具有抽象邏輯思維能力，能在教師的引導下獨立地解決問題。 任教班級學生特點：我班學生基礎知識較扎實、思維較活躍，能夠很好的掌握教材上的內容，能較好地應用數形結合的方法解決問題，但處理抽象問題的能力還有待進一步提高。三、目標分析1、教學目標依據教學大綱的教學要求，滲透新課標理念，并結合以上學情分析，我制定了如下教學目標： 知識技能 (1)掌握等差數列前n項和公式; (2)掌握等差數列前n項和公式的推導過程; (3)會簡單運用等差數列的前n項和公式。 數學思考(1) 通過對等差數列前n項和公式的推導過程,滲透倒序相加求和的數學方法；(2) 通過公式的運用體會方程的思想；(3) 通過運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力。 解決問題創設由探索1+2+3+100的和,推廣到探索一般的等差數列前n項和的求和公式的情景,使學生進一步體會從特殊到一般的數學研究方法, 并使學生在反饋練習的過程中，進一步提高問題解決的能力。 情感態度結合具體模型,將教材知識和實際生活聯系起來,使學生感受數學的實用性,有效激發學習興趣,并通過對等差數列求和歷史的了解,滲透數學史和數學文化。2、教學重點、難點 重點等差數列前n項和公式的推導和應用。 難點 等差數列前n項和公式的推導過程中滲透倒序相加的思想方法。 重、難點解決的方法策略本課在設計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學策略利用數形結合、類比歸納的思想，層層深入，通過學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫助學生理解，并通過范例后的變式訓練和教師的點撥引導，師生互動、講練結合，從而突出重點、突破教學難點。四、教學模式與教法、學法本課采用“探究發現”教學模式。教師的教法突出活動的組織設計與方法的引導。 學生的學法突出探究、發現與交流。五、過程設計結合教材知識內容和教學目標，本課的教學環節及時間分配如下： 公式應用與議練活動（1）（5分鐘）探究等差數列前n項和公式（18分鐘）創設情景提出問題（2分鐘） 圖片欣賞 數形結合新課引入 類比化歸 前后呼應 公式應用公式應用與議練活動（2）（9分鐘） 歸納總結（2分鐘）公式的認識與理解（4分鐘） 前后呼應 知識回顧五、教學過程教學環節教 師 活 動 學 生 活 動活 動說 明新課引入創設情境：首先讓學生欣賞一幅美麗的圖片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點，傳說中陵寢中有一個三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時提出第一個問題：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計算1+2+3+.+100=？問題2：何老師按揭買房,向銀行貸款25萬元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數額。2007年1月，我第一次向銀行還款2348元，以后每月比上月的還款額減少5元，若以2007年1月銀行貸款利率為基準利率,那么到2026年12月最后一次還款為止，何老師連本帶利一共還款多少萬元？現實模型： 圖片欣賞 生活實例模 型直 觀用實際生活引入新課。探 索 公 式探 索 公 式議練活動認識公式認識公式議練活動課 堂總結首先認識一位偉大的數學家高斯，然后提出問題：高斯是如何快速計算1+2+3+4+.+100？設等差數列前n項和為 ,則 問題1老師：利用高斯算法如何求等差數列的前n項和公式？老師：但是否剛好配對成功呢？（1） n為偶數時： （2） n為奇數時：老師：那么該如何解決落單的呢？同過對n取值的討論，得到了前n項和求和公式：但是對n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項和公式呢？接下來給出實際問題：伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數呢？ 問題2：如何用倒置的思想求等差數列前n項和呢？方法一：兩式相加得：方法二同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：兩式相加得：引導學生帶入等差數列的通項公式，換掉 整理得到公式2。例1：計算（1）1+2+3+n（2）1+3+5+(2n-1)（3）2+4+6+2n （4）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n 教師通過動畫演示給(1),(2)問一個直觀的解釋。變式練習：課前提出的房貸問題。解:由已知每月還款數成等差數列,設為：問題3：能否給求和公式一個幾何解釋呢？ 教師提示將求和公式與梯形建立聯系。 n剖析公式： 教師提示，從方程中量的關系入手。例2 等差數列-10，-6，-2，2， 前多少項的和為54？ 解：設題中的等差數列是，前n項和為： 則10，d6（10）4 令54，由等差數列前n項和公式，得： 解得 9，3（舍去）因此,等差數列的前9項和是 54 例3： 解：（1） （2） 本小題主要考察了對公式一的整體應用。根據課堂剩余時間，本題作為機動練習，（2）小問留給學生課后完成。1、教師引導學生歸納總結本節課所學習的主要內容2、課后作業：教材118頁：1、2、3、5、6、7 課后思考： 等差數列的前n項和的求和方法除了倒序相加法還有沒有其它方法呢?3、對求和史的了解 我國數列求和的概念起源很早，在北朝時，張丘建始創等差數列求和解法。他在張丘建算經中給出等差數列求和問題：例如：今有女子不善織布，每天所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，共織三十日，問共織幾何？原書的解法是：“并初、末日織布數，半之再乘以織日數，即得。”學生：1+100=101，2+99=101，.50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050學生：將首末兩項配對，第二項與倒數第二項配對，以此類推，每一對的和都相等，并且都等于 。學生：不一定，需要對n取值的奇偶進行討論。當n為偶數時剛好配對成功。 當n為奇數時，中間的一項落單了。（可能部分學生在此會遇到困難，老師做適當的引導。）學生：觀察的腳標與 腳標的關系，即： 學生觀察動畫演示，不難發現用倒置的思想來解決此問題。 （由上一問題的解決，學生容易想到倒序相加求和法。） 學生：利用倒序相加求和法。將中的每一項用等差數列的通項公式進行巧妙的改寫，在倒序相加求和時，每一組中的d都被正負抵消了。學生類比方法一與方法二的聯系與區別。學生自己閱讀教材，體會教材的解法是如何運用求和公式。 觀察多媒體課件演示。學生：要求總還款額實際就是對一個等差數列求和。 學生：將求和公式與梯形面積公式建立聯系，而梯形面積公式的推導也正是利用了倒置的思想。學生：同樣將公式2與梯形面積公式建立聯系。用“割”的思想將梯形分做一個平行四邊形和一個三角形，而梯形面積就是這兩部分面積之和。學生討論：公式中一共含有五個量，根據三個公式之間的聯系，由方程的思想，知三可求二。 學生討論分析題目所含的已知量，選取了公式2進行運算，利用了方程的思想。需要注意的是學生可能會把公差認為是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。學生進行了分組討論，然后每組派學生代表進行分析。不少小組首先對已知條件作轉化，希望能通過解方程求出首項和公差，但發現條件不夠，不能解出這些基本量，教師做適當的引導。 本環節由學生自主歸納、總結本節課所學習的主要內容，教師加以補充說明（1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）體會等差數列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數形結合的數學思想.（3）掌握等差數列的兩個求和公式及簡單應用。 了解我國古代研究等差數列求和的情況。高斯求和眾所周知，學生能快速解答。 這里用到了等差數列腳標和性質 從高斯算法出發，對n進行討論尋找求和公式思路自然，學生容易想到。對中間項的解決辦法的過程中，進一步讓學生體會研究數列就是對腳標數學的研究。倒序相加求和法是重要的數學思想，為以后數列求和的學習做好了鋪墊。在等差數列前n項和公式的推導過程中，通過問題獲得知識，讓學生經歷“發現問題提出問題解決問題”的過程通過對實際問題的解決讓學生認識到數學來源于生活，同時又服務于生活利用數形結合的思想，使學生對兩個公式有直觀的認識，體會數學的圖形語言。例2在解決了例1的基礎上，由淺入深，深化了對公式的理解，體現了方程的思想。緊扣教材，讓學生體會整體應用公式，類比化歸的思想方法，同時，為以后綜合問題的解答設下伏筆。通過對等差數列求和歷史的了解，滲透數學史和數學文化。板書設計：3.3 等差數列前n項和 和和一、等差數列前n項和二、公式的推導方法1：方法2：方法3：三、剖析公式：公式1：公式2： (主板書) 四、例題及解答(副板書)議練活動 (輔助性板書)等差數列前n項和教案說明 概述本課的教學設計分為六個部分，包括：教材分析，學情分析，目標分析，教學方法，過程設計和教學反思。設計反映了等差數列求和公式推導過程中數學思想方法倒序相加法的生成過程，這是設計的數學本質基礎；設計中結合本班學生的學習的實際情況，從而確定了教學活動的環節。以這些分析為基礎從而確定教學目標，而過程設計則針對目標從六個環節進行具體的設計。下面從如下幾個方面進行詳細說明。一、教學內容的數學本質及教學目標定位等差數列前n項和 ，這是教材給出的前n項和的定義，但需要說明的是這只是一個形式定義，表示求和是一般意義的加法運算，而本節課要推導的等差數列的前n項和的數學本質是尋求與n的一個函數關系式，如果這個關系式能夠用解析式來表達，那么我們就完全把握了這個求和公式。本節課是等差數列的前n項和的第一課時，從知識點來說，掌握求和公式對沒個學生來說并不困難，而難點是在于如何從求和公式的推導過程中滲透倒序相加求和的思想方法，因此，依據教學大綱的教學要求，滲透新課標理念，我首先對學情進行了具體分析，并結合學情分析，制定了本節課的教學目標。首先，高一學生已學習了函數，數列等有關基礎知識，并且在初中已了解特殊的數列求和，并且高一學生的抽象邏輯推理能力基本形成，抽象辯證，邏輯推論能力開始產生，能在教師的引導下獨立地解決問題。另外，我還對我班學生的具體情況做了如下分析：我班學生基礎知識比較扎實、思維較活躍，學生層次差異不大，能夠很好的掌握教材上的內容，能較好地做到數形結合，善于發現問題，深入研究問題，但是部分學生有些粗心，處理抽象問題的能力還有待進一步提高于是，結合以上的學情分析，我從 “知識技能”、“數學思考”、“解決問題”和“情感態度”設定目標。其中知識技能目標是：(1)理解等差數列前n項和的概念意義與公式意義的區別與聯系;(2)掌握等差數列的前n項和公式的推導過程;(3)會靈活運用等差數列的前n項和公式. “數學思考”則是：(1)通過對等差數列前n項和公式的推導過程,滲透倒序相加求和的數學思想.(2)通過公式的運用體會方程的思想. (3)通過靈活運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力以此來解決如何推導等差數列前n項和的問題。并且從過程滲透了本課的情感態度目標：結合具體模型,將教材知識和實際生活聯系起來,使學生感受數學的實用性,有效激發學習興趣,并通過對等差數列求和歷史的了解,滲透數學史和數學文化。以上是對教學目標定位的說明。 二、學習基礎及作用 本節內容是現行高中教材第三章第三節的第一課時，本節對“等差數列前n 項和”的推導，是在學生學習了等差數列通項公式的基礎上進一步研究等差數列，其學習平臺是學生已掌握等差數列的性質以及高斯求和法等相關知識。對本節的研究，為以后學習數列求和提供了一種重要的思想方法倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用 對求和公式的認識中，將公式1與公式2與梯形的面積公式建立了聯系，同時也回顧了以往推導梯形面積公式的方法，同樣用到了倒序的思想，前后呼應。三、教學診斷分析1、根據教學經驗及學生反饋的信息，在本課的學習中，學生對公式的掌握及簡單應用并不困難，而難點在于如何在推導等差數列前n項和的過程中滲透倒序相加的思想方法，這就意味著如何自然地給出倒序相加求和法，是本課設計環節中的一個重點內容。我首先讓學生回顧高斯求和法，學生容易進行類比，將首末兩項進行配對，但很快遇到問題，即奇偶項數的數列要分別進行討論，于是這里引導學生觀察腳標的特點，從而突破這一難點。但此法不是最好方法，為了實現這一創造過程的自然，設計中聯想到堆木料的例子，引導學生實現從一個數列“配對”的方法發展到兩個數列的“配對”，接下來的分析和應用也就水到渠成。2、在對公式的認識中，學生不容易想到將兩個公式與梯形面積公式建立聯系，此時教師可做適當的提示，一旦給出提示后，學生便能迅速找到二者的關系。認識過程中再次強調倒序相加的思想方法。 3、由于高斯求和法眾所周知，于是我補充了我國古代研究數列求和的情況，但由于時間關系不能展開講解，所以如何在課后引導學生進行了解是一個值得研究的問題。4、本節課充分利用了多媒體技術的強大功能，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，使學生樂意投入到現實的、探索性的教學活動中去。四、教法特點及預期效果分析根據教學內容和學生的學習狀況、認知特點，本課采用“探究發現”教學模式引導學生在活動中進行探究，在師生互動交流中，發現等差數列前n項和的推導方法，