高校自主招生數學問題講練全國重點大學自主招生考試是自年開始的一個新的考試門類，目前，這種考試有三大聯盟：即，以清華為首的七校聯盟，簡稱“華約”（清華、上海交大、西安交大、南京大學、浙江大學、中國科大、中國人大）；以北大為首的十三校聯盟，簡稱“北約”（北大、北航、北師大、復旦、南開、武大、廈大、川大、山東大學、蘭州大學、中山大學、華中科大、香港大學）（注：復旦、南開兩校今年起退出北約單獨干）；以及以北京理工大學為首的九校聯盟，簡稱“卓越聯盟”（北理工、大連理工、華南理工、天津大學、同濟大學、重慶大學、東南大學、西北工大、哈爾濱工大）其試題特點是注重基礎，知識全面，強化應用，突出能力，靈活多變，并與大學的知識內容及思想方法有所銜接，部分試題具有一定的高等數學以及數學競賽背景自年起，自主招生試題已由各有關高校自行命題，改為由國家考試中心命題，目前還沒有制定考試大綱，今年仍然按三個聯盟分別命題，明年，或許又將合為一卷，這正如三國演義開篇所說：“話說天下大勢，分久必合，合久必分”自主招生試題，包括中學所涉及的全部知識（而不單是按某個省的教材），內容可能會有某些超越試題例講、對于數列：即正奇數有個，且按自小到大排列，是否存在整數，使得對于任意正整數，都有恒成立？（表示不超過的最大整數）（上海交大）解：對正整數分段，第一段個數，第二段個數，第三段個數，第段個數，而，于是當時，的取值為第個奇數，即此時，由于，所以，據此，將此與題目要求相比較，可知即是適合條件的整數；（注：年南昌市賽及年江西預賽題：數列由全體正奇數自小到大排列而成，并且每個奇數連續出現次，如果這個數列的通項公式為，（其中表示的整數部分，為整數），則 （答案：）.簡解：由，即當 時， ，所以 ，于是，）同類問題：數列數列：即正整數有個，自小到大排列而成，求及解：先對正整數分段，第一段個數，第二段個數，第三段個數，第段有個數，而前段項數和為，前段項數和為，如果，那么，于是，當給定時，由此式解得，注意，于是等于的整數部分，即，也就是，由于數列第段由個組成，其和為，因此數列前段的總和為；由于位于第段的第個數，而這些項全是，因此，；其中、已知一無窮等差數列中有三項：，求證：為數列中的一項（北大）證：注意到，一個無窮等差數列任意截去前面一段后仍然是無窮等差數列，故可設此數列為，且，設公差為，則，所以，所以皆為整數，而，即是等差數列的第項、寫出所有公差為的三項等差質數數列，并證明之（清華大學理科）解：設三數為，其中為質數；考慮模的余數，若，則，即，故是合數，不滿足條件；若，則，即，故是合數，不滿足條件；故只有，因為質數，只有，于是只有唯一解，即三數為、設的整數部分為，小數部分為；、求出；、求的值；、求（清華大學理科）解：、因為，所以，；、；由于，則、已知，設數列滿足：，、證明數列是等比數列；、求數列的通項；、設，證明：當時，有（華南理工大學）解：、由條件知，是方程的兩根，由，所以，；又由條件，所以，由，得，即，且，所以是首項為，公比為的等比數列；、據知，即 ，兩邊同除，（暫記）得，令，并求和得，所以，則；、利用數學歸納法，時，結論成立；若時結論成立，即有，則當時，即時，結論也成立，于是結論得證、個圓至多將平面分成多少個部分？個球至多將空間分成多少個部分？（南京大學）解：設個兩兩相交的圓將平面分成部分，現加入圓，它與前個圓都相交，共得對交點，這對交點把的圓周分成段弧，每段弧穿過一個原先的區域，就將該區域一分為二（即增加一個區域），即增加圓后，新增加的區域數為，所以，即，又，于是再設個兩兩相交的球將平面分成部分，現加入球，它與前個球都相交，這個球在的球面上交出個圓，據上述結論，球面被分成 個區域，則，且，解得、數列滿足：；、求和的關系；、若，證明；、若，證明 （中國科大）解：、由，相減得，所以，繼而有所以，即 、用數學歸納法，若，由得，據此，；若已有，由，因此在時結論也成立，故由數學歸納法，對一切正整數，、由得 ，若，則由得，據歸納易見對一切，有，所以由，因此、設二次函數的圖像過原點，且滿足，而數列滿足，、確定的表達式；、證明：；、證明： （武漢大學）解：、設，由過，則，當條件式兩邊都取等號時，由得，這時條件式成為，得，即，于是；又由，即，也即，此式對任意實數成立，所以有且判別式，即，于是，由此、，今用數學歸納法證明，時顯然，假若在時已有，則，因此對所有正整數皆有由于，所以，即、由，得，由知，所以，若令，則，即，故構成公比為的等比數列，所以有，因此，于是；由于當時，恰有，而當時，即對一切正整數，都有，故，所以、對于函數，如果存在函數 ，使，則稱為函數. 試確定：是否為函數？ 是否為函數？（上海交大）解：取，則，（或取）因此為函數.不是函數.反證法，若存在函數，使 .記 .則 ，四數必有一個不為零，據對稱性，不妨設 ，由得， .由、得，所以.由、得，記 ， 由得 ，由此知，皆不是零函數. 因此有，使，則 .式化為， ，即.因此有 ，矛盾！、求所有的正整數，使得集合可以分拆成個四元子集：，對于每個集合， 而四數，其中的一數等于另外三數的算術平均（北大夏季）解：不妨設，每個子集中，是的算術平均，則有，所以，因此，另一方面，當時，集確有滿足條件的劃分，為此，記，其中，則在中有，而在中有、在由若干南方球隊和北方球隊參加的排球單循環賽中，已知南方隊比北方隊多支，所有南方隊得分總和是所有北方隊得分總和的倍（每場比賽勝者得分，負者得分）證明：循環賽結束后，某支南方隊積分最高（年北京大學）證：設北方球隊有支，南方隊有支，其中，則比賽場數為，所以北方隊總分為，而南方隊總分為，因北方隊內部比賽場，得分為分，所以北方隊在與南方隊比賽中共得分，這是一個正整數，故可令，即 有正整數解，故其判別式為平方數，即為平方數設，由此，的末位數字為，則的末位數字為或，只有或，于是對應的或；當，成為，解得正整數根，此時北方隊有支，南方隊有支；全部個隊總積分為分；今分析分數構成情況：北方隊總得分為，南方隊總得分為；南方隊之間“內戰”分數為分，于是南方隊從北方隊中獲得分而南、北隊間“對抗”分數為分，因此南方隊只輸給北方隊兩場，所以北方的個隊中，最強的隊的得分不會超過分；而南方隊的得分平均值，所以得分最高的是南方某個隊；當，成為，解得正整數根，此時北方隊有支，南方隊有支；全部個隊總積分為分；分數構成情況：北方隊總得分為，南方隊總得分為；南方隊之間“內戰”分數為分，于是南方隊從北方隊中獲得分而南、北隊間“對抗”分數為分，因此南方隊只輸給北方隊場，所以北方的個隊中，最強的隊的得分不會超過分；而南方隊的得分平均值，所以得分最高的是南方某個隊、集合，集合是集合對于的補集；、證明：不存在無限項的等差數列，使得各項都在集合中；、是否存在滿足條件的等比數列？說明理由（中國科大）證：、如果存在無限項的等差數列，使得其各項都在集合中，則的各項及公差皆為正整數，設其首項為，公差為，那么，據條件，對每個，不在中，今考慮集合中的個數，模的情況：由于每個，故皆不在集中，當然也不是的項，所以；另一方面，由于，個正整數中，任一個都不是的倍數，即它們被除得的最小非負余數只有這種情況，其中必有兩個余數相同，設，即，于是由上式得，即，矛盾！因此不存在無限項的等差數列，使得各項都在集合中；（這個問題的另一說法是，任一個各項為正整數的無窮等差數列，必有某些項在集合中）【注】本題也可用構造法來證，如果存在無限項的等差數列，使得其各項都在集合中，則的各項及公差皆為正整數，設其首項為，公差為，那么，取正整數，則，矛盾！、滿足條件的等比數列存在例如，取首項為，公比為的等比數列，（其中）；下面用反證法證明，該數列的任一項皆不在中（即：數列所有的項都在中）顯然皆不能表示成形式，當時，設有某項，即有，使，也就是，由于，所以，這時與皆互質，它不可能是的因數，矛盾！因此等比數列的任一項皆不在集中，故全在集合中【注】這種等比數列不是唯一的，例如也可取等比數列：，因為若有，即存在，使得，即，由于左邊，則，故右邊的含有大于的奇因子，矛盾！因此的任一項皆在中、設都是有理數，并且也是有理數；證明：都是有理數 （清華大學）證：分情況討論；若中至少兩個是，則顯然可得都是有理數；若中恰有一個是，不妨設， ，其中為有理數，由得，則為有理數，再由得為有理數，因此，都是有理數若中皆不為，設（此為正有理數）則由，平方得，即 ，則再平方得，由于，則為有理數，同理得為有理數、三個內角的正切值皆為整數，如果將彼此相似的三角形只算作是同一種三角形，那么，全部合符條件的三角形的共有幾種？ 解：設，為非零整數，且其中至多有一個負數；由恒等式得即 ，以及 若其中有負整數，設，則為正整數，由，于是，得，矛盾所以皆為正整數，且其中必有一個等于，否則若皆，則由，又得矛盾設，則，由，得，即全部情況只有 即這種三角形只有一種【注】此題是年我們給中等數學第期所提供的高中數學聯賽模擬試卷的一道選擇題，后來被改編成年南京大學自主招生試題：求所有非，使得解：由于在非中有，則據條件得，因為對任何實數，有，即成立，于是，則，因此皆為整數，且其中至少有兩個正整數；不妨設都是正整數，則由，可知也是正整數，故只需求方程 的正整數解；不妨設，若，則，此時，與式矛盾！故只有，則由，得，所以；綜上，唯有三個內角的正切值分別是的三角形滿足條件、設是方程 的根，是系數為有理數的二次多項式，且，求 （華約）解：因為皆不是方程的根，故方程沒有有理根，因此是無理數；設，其中為有理數，據條件，則，又由條件，；即 ，改記，為有理數，成為 ，因此， 即 ，因為是無理數，則，若，由即，這與方程無有理根矛盾！因此，由，得，導致，于是，因此、九個連續正整數自小到大排成一個數列，若為一平方數，為一立方數，求這九個正整數之和的最小值解：設這九數為 ，則有，則，得 令，得，所以 ，再取，化為 ，取，可使左式成立，這時，、在中取一組數，使得任意兩數之和不能被其差整除，最多能取多少個數？ （北京大學）解：首先，可以取個數（或者），其中任兩數之和不能被整除，而其差是的倍數；其次，將中的數自小到大按每三數一段，共分為段：；從中任取個數，必有兩數取自同一段，則或，注意與同奇偶，于是因此的最大值為.（注