第一章一元一次不等式和一元一次不等式組 1 一 知識點總結 1 不等號 表示下等關系的符號稱為不等號 一般包括 五種 例 用不等號表示下列兩數或兩式的關系 1 3 1 2 10 0 3 2x2 0 4 2x 3x 2 2 不等式 用不等號連接起來的式子 例用適當的符號表示下列關系 1 a的2倍比8小 2 y的3倍與1的和大于3 3 x除以2的商加上2至多為5 4 a與b兩數和的平方不大于2 5 x與y的差為非正數 6 a與4的和不小于2 注 列不等式與列等式一樣 3 3 不等到式的基本性質 性質1 不等式的兩邊都加上 或減去 同一個整式 不等號的方向不變 性質2 不等式的兩邊都乘以 或除以 同一個正數 不等號的方向不變 性質3 不等式的兩邊都乘以 或除以 同一個負數 不等號的方向改變 4 例 1 由a0 B m 0 C m 0 D m 0 D 2 下列變形中正確的是 A 由ab 得 2 3a 2 3b D 由7x 3x 2 得x 2 C 注 在不等式兩邊都乘以 或除以 同一個整式時 應考慮整式為正數 負數 零三種情況 5 4 不等式的解 使不等式成立的未知數的值 例 2是不是不等式2x 1 3的解 4呢 解 當X 2時 2x 1 2 2 1 5 3 的解 當x 4時 2x 1 2 4 1 7 3 即不等式左邊 右邊 所以x 4是不等式2x 1 3的解 6 5 不等式的解集 一個含有未知數的不等式的所有解 組成了這個不等式的解集 例 x 5是不等式3x 5 2x的解集 則下列說法正確的有 個 5是不等式3x 5 2x的一個解 0是不等式3x 5 2x的一個解 x 4也是不等式3x 5 2x的解集 所有小于4的數都是不等式3x 5 2x的解 剖析 x 5是不等式3x 5 2x的解集 說明任何一個小于5的數都是不等式3x 5 2x的一個解 當然小于4的值也一定是不等式3x 5 2x的解 但x 4不是不等式的解集 因為它不是由不等式的所有解組成的 A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 B 7 6 解不等式 求不等式解集的過程 其實質就是把不等式化為 x a或x a或x a或x a 的形式 7 用數軸表示不等式的解集 x a x a x a x a 大于向右畫 小于向左畫 例 1 關于x的不等式2x a 1的解集如圖所示 則a的取值是 A 0 B 3 C 2 D 1 D 2 如圖 表示的是不等式的解集 或中錯誤的是 x 1 x 1 x 0 x 0 A B C D 用數軸表示不等式的一般步驟 1 畫數軸 2 定界點 3 定方向 C 8 8 不等式解集中最值問題 對于不等式x a的解集有最小值 最小值為x a 對于不等式x a的解集有最大值 最大值為x a 而不等式x a的解集沒有最小值 x a沒有最大值 例 x 2時x的最小值是a x 5時x的最大值是b 試求ba的值 解 根據已知條件 得a 2 b 5則ba 52 25 9 一元一次不等式 不等式的左右兩邊都是整式 只含有一個未知數 并且未知數的最高次數是1 像這樣的不等式 叫做一元一次不等式 10 一元一次不等式的解法 去分母 去括號 移項 合并同類項 系數化為1 9 例 1 解下列不等式 并把它們的解集在數軸上表示出來 1 2 5x 3 x 3 1 2x 2 不等式2x 7 5 2x的正整數解有 A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 B 3 若關于x的方程的解是非負數 求m的取值范圍 10 11 利用方程和一個一次函數的圖象求一元一次不等式的解集 一次函數y kx b的圖象是條直線 kx b是一元一次方程 其解為直線與x軸的交點的橫坐標 kx b 0 kx b 0是一元一次不等式 它們分別對應直線x軸上方的部分和直線在x軸下方的部分 相應不等式的解集便是相應的圖象對應的所有x值 這種解法較為直觀 關鍵是確定一次函數的圖象與x軸的交點 11 例 作函數y x 3的圖象 并觀察圖象 回答下列問題 1 x取何值時 x 3 0 2 x取何值時 x 32 12 12 利用兩個一次函數的圖象求一元一次不等式的解集 對于兩個一次函數y1 k1x b1和y2 k2x b2 若y1 y2 則一次函數y1 k1x b1的圖象在一次函y2 k2x b2的圖象的上方 從而找出對應的x的取值范圍即可 若y1 y2 則一次函數y1 k1x b1的圖象在一次函數y2 k2x b2的圖象的下方 從而找出對應的x的取值范圍即可 若y1 y2即為求一次函數y1 k1x b1與y2 k2x b2的交點處的橫坐標 解決這類問題關鍵是確定兩個一次函數圖象的交點坐標 13 例 已知y1 x 1 y2 2x 試用兩種方法回答下列問題 1 當x取何值時 y1 y2 2 當x取何值時 y1 y2 3 當x取何值時 y1 y2 14 13 一元一次不等式組 一般地 關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起 就組成一個一元一次不等式組 14 一元一次不等式組的解集 一般地 一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分 叫這個一元一次不等式組的解集 15 一元一次不等式組的解集的取法 x b x a a x b 無解 同大取大 同小取小 大小小大取中間 大大小小就無解 15 16 一元一次不等式的解法 步驟 1 解不等式組中的每一個不等式 分別求出它們的解集 2 將每個不等式的解集在同一條數軸上表示出來 找出它們的公共部分 注意 公共部分可能沒有 了可能是一個點 3 根據公共部分寫出不等式級一解集 若沒有公共部分 則說明不等式組無解 16 例 解下列不等式組 17 17 一元一次不等式 組 的應用 1 利用不等式解決商家銷售中的利潤問題 例 某商店將一件商品的進價提價20 的 以降價30 以105元出售 問該商店賣出這件產品 是盈利還是虧損 解 設這件商品的進價為x元 則x 1 20 1 30 105 解得x 125 因為105 125 所以該商店賣出這件產品虧損了 18 A 甲B 乙C 丙D 不能確定 C 練習 免交農業稅 大大提高了農民的生產積極性 某鎮政府對生產的土特產進行加工后 分為 甲 乙 丙三種不同包裝推向市場進行銷售 其相關信息如下表 春節期間 這三種不同包裝的土特產都銷售1200千克 那么在相次銷售中 這三種包裝的土特產獲得利潤最大的是 19 2 利用不等式解決方案設計問題 例1 某校在 五一 期間組織學生外出旅游 如果單獨租用45座的客車若干輛 恰好坐滿 如果單獨租用60座的客車 可少租一輛 并且有一輛不空也不滿 1 求外出旅游的學生人數是多少 2 已知45座客車座客車每輛租金250元 60座客車每輛租金300元 為了節省租金 并保證每個學生都能有座 決定怎樣租用客車 使得租金最少 20 例2 某單位急需用車 但以不準備買車 他們準備和一個個體車主或一國營出租車公司中一家簽訂月租車合同 設汽車每月行駛x千米 應付給個體車主有月租費用是y1元 應付給國營出租車公司的月租費用是y2元 y1 y2分別與x之間的函數關系 兩條射線 如圖所示 回答下列問題 1 分別寫出y1 y2與x的函數關系式 2 每月行駛的路程在什么范圍內 租國營出租車公司的車合算 在什么范圍內租個體車主的車合算 3 每月行駛的路程是多少千米時 租兩家車的費用相同 4 如果這個單位估計每月行駛的路程為2300米 那么這個單位租哪家的車合算 21 2xy1 即2x x 1000 解得x 1000 所以當每月行駛的路程小于1000千米時 租國營出租四公司的車合算 當每月行駛的路程大于1000千米時 租個體車主和車合算 3 由題意得y1 y2 即2x x 1000 解得x 1000 所以每月行駛的路程為1000千米時 租兩家車的費用相同 4 因2300 1000 所以租個體車主和車合算 22 例3 某飲料廠為了開發新產品 用A B丙種果汁原料各19千克 17 2千克試制甲 乙兩種新型飲料共50千克 下表是實驗的相關數據 1 假設甲種飲料需配制千克 請你寫出滿足題意的不等式組 并求出其解集 2 若甲種飲料每千克成本為4元 乙種飲料每千克成本為3元 設這兩種飲料的成本總額為y元 請寫出y與x的函數關系式 不要求寫自變量的取值范圍 并根據 1 的運算結果 確定當甲種飲料配制多少千克時 甲 乙兩種飲料的成本總額最少 23 解 1 由題意得 解不等式組 得 2 y 4x 3 50 x 即y x 150 因為x越小 y越小 所以當x 28時 y最小 即當甲種飲料配制28千克時 甲 乙兩種飲料的成本總額最少 28 x 30 24 練習 綿陽市 全國文明村 江油白玉村果農王燦收獲枇杷20噸 桃子12噸 現計劃租用甲 乙兩種貨車共8輛將這批水果全部運往外地銷售 已知一輛甲種貨車可裝枇杷4噸和桃子1噸 一輛乙種貨車可裝枇杷和桃子各2噸 1 王燦如何安排甲 乙兩種貨車可一次性地運到銷售地 有幾種方案 2 若甲種貨車每輛要付運費300元 乙種貨車每輛要付運費240元 則果農王燦應選擇哪種方案 使運費最少 最少運費是多少 25 解 1 設安排甲種貨車x輛