高等數學常用概念及公式 極限的概念 當 x 無限增大 x 或 x 無限的趨近于 x0 x x0 時 函數 f x 無限的趨近于常數 A 則稱函數 f x 當 x 或 x x0時 以常數 A 為極限 記作 f x A 或 f x A lim x lim 0 xx 導數的概念 設函數 y f x 在點 x0某鄰域內有定義 對自變量的增量 x x x0 函數有增量 y f x f x0 如果增量比當 x 0 時有極限 x y 則稱函數 f x 在點 x0可導 并把該極限值叫函數 y f x 在點 x0的導 數 記為 f x0 即 f x0 lim 0 x x y lim 0 xx 0 0 xx xfxf 也可以記為 y x x0 x x0或 x x0 dx dy dx xdf 函數的微分概念 設函數 y f x 在某區間內有定義 x 及 x x 都在此區間內 如 果函數的增量 y f x x f x 可表示成 y A x x 其中 A 是常數或只是 x 的函數 而與 x 無關 當 x 0 時是 無窮小量 即 x 這一項是個比 x 更高階的無窮小 那么稱函 數 y f x 在點 x 可微 而 A x 叫函數 y f x 在點 x 的微分 記作 dy 即 dy A x f x dx 不定積分的概念 原函數 設 f x 是定義在某個區間上的已知函數 如果存在一個函 數 F x 對于該區間上每一點都滿足 F x f x 或 d F x f x dx 則稱函數 F x 是已知函數 f x 在該區間上的一個原函數 不定積分 設 F x 是函數 f x 的任意一個原函數 則所有原函數 F x c c 為任意常數 叫做函數 f x 的不定積分 記作 dxxf 求已知函數的原函數的方法 叫不定積分法 簡稱積分法 其中 是不定積分的記號 f x 稱為被積函數 f x dx 稱為被積 表達式 x 稱為積分變量 c 為任意實數 稱為積分常數 定積分的概念 設函數 f x 在閉區間 a b 上連續 用分點 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn 1 xn b 把區間 a b 任意分成 n 個小 區間 xi 1 xi i 1 2 n 每個小區間的長度為 xi xi xi 1 i 1 2 n 在每個小區間 xi 1 xi 上任取一點 i 作和式 In n i ii xf 1 當分點無限增加 n 且所有小區間長度中的最大值 max xi 0 時 和式 In的極限 叫做函數 f x 在區間 a b 上的定積分 記 作 即 b a dxxf b a dxxf n i ii n xf 1 0 lim 其中 f x 稱為被積函數 b 和 a 分別稱為定積分的上限和下限 區間 a b 叫積分區間 x 為積分變量 極限的性質及運算法則 無窮小的概念 若函數 f x 當 x x0 或 x 時的極限為零 則稱 f x 當 x x0 或 x 時為無窮小量 簡稱無窮小 須要注意的是 無窮小是變量 不能與一個很小的數混為一談 無窮小的性質 性質 1 有限個無窮小的代數和也是無窮小 性質 2 有界函數與無窮小的乘積也是無窮小 推論 1 常數與無窮小的 乘積也是無窮小 推論 2 有限個無窮小的乘積也是無窮小 無窮大的概念 若當 x x0 或 x 時 函數 f x 的絕對值無限增 大 則稱函數 f x 當 x x0 或 x 時為無窮大量 簡稱無窮大 注意無窮大是變量 不能與一個絕對值很大的數混為一談 另外 一個變量是無窮大 也不能脫離開自變量的變化過程 無窮大與無窮小的關系 定理 在同一變化過程中 若 f x 為無窮 大 則為無窮小 反之 若 f x 為無窮小 且 f x 0 則 1 xf 就為無窮大 1 xf 極限運算法則 法則 1 lim f x g x lim f x lim g x A B 法則 2 lim f x g x lim f x lim g x A B 特別的 lim cf x c lim f x c A c 為常數 法則 3 lim 其中 B 0 xg xf lim lim xg xf B A 注意用法則 3 求極限時 如果分子 分母均為無窮大 可先將其變 成無窮小 如果均為無窮小 就用約分及分子分母有理化來解 以 上情況均可用導數的應用中的羅必塔法則求解 兩個重要極限 重要極限 1 1 1 x x x sin lim 0 sin lim 0 重要極限 2 1 x e 1 e 或 e lim x x 1 lim 1 lim 0 1 1 等價無窮小 x 0 在求極限過程中經常使用等價無窮小互相代替 sin xxtan xxarcsin xxarctan xxln 1 x x1 x e x 1 cos x 2 1 2 x11 x 1 2 x1 x a lnxa 導數的性質 求導法則及常用求導公式 連續的概念 若函數 f x 在 x0的某鄰域內有定義 當 x x0時 函 數的極限存在 且極限值等于函數在 x0處的函數值 f x0 即f x lim 0 x x f x0 則稱函數在 x0處是連續的 連續與可導的關系 定理 若函數 f x 在點 x0處可導 則函數在點 x0處連續 連續是可導的必要條件 其逆命題不成立 即函數在某 一點連續 但在該點不一定可導 導數的計算步驟 按定義計算 第一步 求增量 在 x 處給自變量增量 x 計算函數增量 y 即 y f x x f x 第二步 算比值 寫出并化簡比式 化簡比式的 x y x xxf f x 關鍵是使分式中僅分母或分子中含有 x 項 避免出現或 0 0 第三步 取極限 計算極限 f x lim 0 x x y 常用基本初等函數的導數公式 x 1 x x a ln x aa x e x e logax 1 lnxa ln x 1 x sin x cosx cosx sin x tan x 2 sec x cot x 2 csc x secx sec tanxx cscx csc cotxx arcsin x 2 1 1x arccosx 2 1 1x arctan x 2 1 1x arccot x 2 1 1x 導數的四則運算法則 設 u u x v v x 則 u v u v cu cu uv u v uv v u 2 v uvvu 反函數的導數 y f x 是 x y 的反函數 則 y 即 f x 1 x 1 y 復合函數求導法則 設 y f u u x 則復合函數 y f x 的導數為 或 y x f u x dx dy du dy dx du 隱函數求導方法 隱函數的概念 針對因變量 y 寫成自變量 x 的明顯 表達式的函數 y f x 這種函數叫顯函數 而兩個變量 x 和 y 的對 應關系是由一個方程 F x y 0 所確定 函數關系隱含在這個方程中 這種函數稱為由方程所確定的隱函數 求隱函數的導數 并不需要先化為顯函數 事實上也很難都顯 化 只需把 y 看成中間變量 y y x 利用復合函數求導法則 即可 求出隱函數 y 對 x 的導數 例 求方程 x2 y2 1 所確定的函數的導 數 解 在方程的兩端對 x 求導 并將 y2看作 x 的復合函數 則 x2 y2 1 即 2x 2yy 0 y y x 得 y y x 參數方程所表示函數的導數 如下方程組 其中 t 為參數 x t y t 設函數 t 和 t 都可導 且函數 t 存在連續反函數 t 1 t 當 1 t 0 時 這個反函數也可導 這時 y 是 x 的復合函數 y 1 t f x 它可導 由復合函數求導法則知 y x dx dy dt dy dx dt dt dx dt dy x x 羅必塔法則 當 x x0 或 x 時 函數 f x g x 同時趨向于零或 同時趨向于無窮大 這時分式的極限可能存在 也可能不存在 xg xf 我們稱其為未定式 并記作型或 這類極限將無法用 商的極 0 0 限等于極限的商 這一極限法則求出 未定式未定式 羅必塔法則一羅必塔法則一 A 或無窮大 0 0 lim 0 xx xg xf lim 0 xx xg xf 若其中 x 時 結論仍然成立 使用羅必塔法則時 分子分母分 別求導之后 應該整理化簡 如果化簡后的分式還是未定式 可以 繼續使用這個法則 未定式未定式 羅必塔法則二羅必塔法則二 A 或無窮大 lim 0 xx xg xf lim 0 xx xg xf 若其中 x 時 結論也成立 未定式未定式 0 型及型及 型 型 這兩類未定式可轉化為型或型 0 0 未定式未定式 00 0 1 型 型 該類未定式可以通過對數轉化為前面的未定式 微分的運算及法則 由微分的的概念 dy f x dx 可知 求一個函數的微分 只要求出導 數 f x 再乘以 dx 就得到微分 dy 因此不難由導數公式做出相應的 微分公式 例 對于 y sinx 有 y cosx 從而 dy cosxdx 微分的法則 設 u u x v v x 則 d cu cdu d u v du dv d uv udv vdu d v u 2 v udvvdu 不定積分的性質 基本公式及計算方法 由不定積分定義及微分知識 可直接推出不定積分的性質 性質一 性質一 f x 或 d f x dx dxxf dxxf 性質二 性質二 F x c dxxF 性質三 性質三 k k 是不為 0 的常數 dxxkf dxxf 性質四 性質四 dxxgxf dxxf dxxg 不定積分的基本公式 均應加上常數 C c dx0kdx kxx dx 1 1 x dx x ln x x e dx x e x a dx ln x a a cosxdx sin xsin xdx cosx tan xdx ln cosx cot xdx ln sin xsecxdx ln sectanxx cscxdx ln csccotxx 2 sec xdx tan x 2 ccsxdx cot x sec tanxxdx secx csc cotxxdx cscx 2 1 dx x arctan x 2 1 dx x arcsin x 22 1 dx xa 1 arctan x aa 22 1 dx xa 1 ln 2 xa axa 22 1 dx xa 22 ln xxa 22 1 dx ax arcsin x a 第一換元積分法 設函數 u x 且 f u 有原函數 F u du x dx 即 dx du x 參見微分概念及計算 F u c F x c dxxxf duuf 注意 該公式有一個隱含的條件 即要求原積分公式中已含有 x 方可在換元時代入 dx du x 并約去 x 提示 該積分法的步驟是先找出適當的 u x 將函數轉化為 關于 u 的積分公式 再求出關于 u 原函數 最后根據 u 與 x 的關系代入 x 第二換元積分法 設函數 x t 單調可微且 t 0 dx t dt 參見微分概念及計算 F t c F 1 x c dxxf dtttf 提示 該積分法的步驟是先找出適當的 x t 將函數轉化為 關于 t 的積分公式 再求出關于 t 原函數 最后根據 x 與 t 的關系代入 x 分部積分法 設函數 u u x v v x 具有連續導數 則 uv 解題時這個為 u 不行就換那個為 u dxuv dxvu 提示 運用此公式有時可以使難求的不定積分轉化為易 dxuv 求的不定積分 從而得所求結果 dxvu 定積分的性質及計算方法 性質一 k k 為常數 b a dxxkf b a dxxf 性質二 b a b a dx 性質三 b a dxxgxf b a dxxf b a dxxg 性質四 若把區間 a b 分為兩個區間 a c 與 c b 則 b a dxxf c a dxxf b c dxxf 注意 c 有任意性 可在 a b 之外 性質五 若 f x 與 g x 在 a b 上有 f x g x 則 b a dxxf b a dxxg 性質六 若 M m 分別是 f x 在 a b 上的最大值和最小值 則 m b a M b a 估值定理 b a dxxf 性質七 若 f x 在 a b 上連續 則至少有一點 a b 使得 f b a 定積分中值定理 求平均值 b a dxxf 牛頓 萊布尼茲公式 若 f x 在 a b 上連續 F x 是 f x 的一個原 函數 則 F x F b F a b a dxxf b a 可見 計算定積分 先用不定積分的方法求出一個原函數 然后把 上 下限