第四節指數函數 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 根式 xn a 正數 負數 兩個 相反數 2 兩個重要公式 n a 0 a a 0 n為奇數 n為偶數 a a a a 3 有理數指數冪的運算性質 ar as a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q ar s ars arbr 4 分數指數冪 正分數指數冪 a 0 m n n n 1 負分數指數冪 a 0 m n n n 1 0的正分數指數冪是 0的負分數指數冪 0 無意義 5 指數函數的圖象與性質 上方 0 1 r 0 減 增 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 2 必備結論教材提煉記一記同底數冪相除 指數相減 3 必用技法核心總結看一看 1 常用方法 換元法 圖象平移法 2 數學思想 數形結合思想 分類討論思想 3 記憶口訣 指數函數記憶口訣多個圖形像束花 0 1 這點把它扎 撇增捺減無例外 底互倒時y軸夾 y 1為判底線 交點縱標看小大 重視數形結合法 橫軸上面圖象察 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 都等于a n n 2 2a 2b 2ab 3 函數y 3 2x與y 2x 1都不是指數函數 4 若am0且a 1 則m n 5 函數y 2 x在r上為單調減函數 解析 1 錯誤 當n為偶數 a1時 mn 5 正確 y 2 x 根據指數函數的性質可知函數在r上為減函數 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修1p56例6改編 若函數f x ax a 0 且a 1 的圖象經過點p 2 則f 1 解析 依題意可知 a2 解得a 所以f x 所以f 1 答案 2 必修1p60b組t2改編 若 3 則 解析 由 3 得x x 1 2 9 所以x x 1 7 所以x2 x 2 2 49 x2 x 2 47 因為 27 9 18 所以答案 3 必修1p60b組t1改編 若函數y a2 1 x在 上為減函數 則實數a的取值范圍是 解析 由y a2 1 x在 上為減函數 得0 a2 1 1 所以1 a2 2 即1 a 或 a 1 答案 1 1 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 陜西高考 下列函數中 滿足 f x y f x f y 的單調遞增函數是 a f x x3b f x 3xc f x d f x 解析 選b 根據函數滿足 f x y f x f y 可以推出該函數為指數函數 又函數為單調遞增函數 所以底數大于1 從而確定函數為f x 3x 2 2015 承德模擬 函數f x 的定義域為 a 3 0 b 3 1 c 3 3 0 d 3 3 1 解析 選a 由題意 自變量x應滿足解得所以 3 x 0 3 2015 綿陽模擬 函數y ax與y a 0 且a 1 的圖象關于 a x軸對稱b y軸對稱c 原點對稱d 直線y x對稱 解析 選b y a x 不妨設a 1 如圖所示 關于y軸對稱 考點1指數冪的化簡與求值 典例1 1 化簡 a 0 b 0 2 計算 解題提示 1 將根式化為分數指數冪 然后利用冪的運算性質進行計算 2 將負的分數指數冪化為正分數指數冪 然后利用冪的運算性質進行計算 規范解答 1 原式 答案 ab 1 2 原式 規律方法 指數冪的運算規律 1 有括號的先算括號里的 無括號的先算指數運算 2 先乘除后加減 負指數冪化成正指數冪的倒數 3 底數是負數 先確定符號 底數是小數 先化成分數 底數是帶分數的 先化成假分數 4 若是根式 應化為分數指數冪 盡可能用冪的形式表示 運用指數冪的運算性質來解答 提醒 運算結果不能同時含有根號和分數指數冪 也不能既有分母又含有負指數 形式力求統一 變式訓練 化簡下列各式 其中各字母均為正數 解析 1 原式 2 原式 加固訓練 1 化簡 x 0 y 0 得 a 2x2yb 2xyc 4x2yd 2x2y 解析 選d 2 x 2 y 2x2y 2 化簡的值為 解析 由題意可知a 0 故答案 3 化簡 解析 原式 答案 考點2指數函數的圖象及應用 典例2 1 2015 惠州模擬 函數y ax a 0 且a 1 的圖象可能是 2 若曲線 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b的取值范圍是 解題提示 1 分a 1及01時 y ax 為增函數 且在y軸上的截距為0 1 1 排除a b 當0 a 1時 y ax 為減函數 且在y軸上的截距為1 0 故選d 一題多解 解答本題 你知道幾種解法 解答本題 還有以下解法 方法一 當00 且a 1 的圖象必過點 1 0 所以選d 2 曲線 y 2x 1與直線y b的圖象如圖所示 由圖象可得 如果 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b應滿足的條件是b 1 1 答案 1 1 互動探究 若將本例 2 中 y 2x 1 改為 y 2x 1 且與直線y b有兩個公共點 求b的取值范圍 解析 曲線y 2x 1 與直線y b的圖象如圖所示 由圖象可得 如果曲線y 2x 1 與直線y b有兩個公共點 則b的取值范圍是 0 1 規律方法 指數函數圖象的畫法及應用 1 畫指數函數y ax a 0 a 1 的圖象 應抓住三個關鍵點 1 a 0 1 1 2 與指數函數有關的函數圖象的研究 往往利用相應指數函數的圖象 通過平移 對稱 翻折變換得到其圖象 3 一些指數方程 不等式問題的求解 往往利用相應的指數型函數圖象數形結合求解 變式訓練 1 2015 安慶模擬 已知函數f x x a x b 其中a b 若f x 的圖象如圖所示 則函數g x ax b的圖象是 解析 選a 由已知并結合圖象可知0 a 1 b 1 對于函數g x ax b 它一定是單調遞減的 排除c d 且當x 0時g 0 a0 b 1 b 0 即圖象與y軸交點在負半軸上 排除b 選a 2 方程2x 2 x解的個數是個 解析 方程的解可看作函數y 2x和y 2 x的圖象交點的橫坐標 分別作出這兩個函數圖象 如圖 由圖象得只有一個交點 因此該方程只有一個解 答案 1 加固訓練 1 已知實數a b滿足等式 下列五個關系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的關系式有 a 1個b 2個c 3個d 4個 解析 選b 函數y1 與y2 的圖象如圖所示 由得 a b 0或0 b a或a b 0 故 可能成立 不可能成立 故選b 2 若函數y ax b 1 a 0且a 1 的圖象經過第二 三 四象限 則a b的取值范圍分別是 解析 因為函數y ax b 1 a 0且a 1 的圖象經過第二 三 四象限 所以即答案 0 1 0 考點3指數函數的性質及應用知 考情指數函數的性質主要是其單調性 備受高考命題專家的青睞 高考常以選擇題或填空題的形式出現 考查指數冪值大小比較 解簡單指數不等式 判斷指數型函數單調性以及求指數型函數的最值等問題 難度偏小 屬中低檔題 明 角度命題角度1 比較指數冪的大小 典例3 2015 天津模擬 設y1 40 9 y2 80 48 y3 則 a y3 y1 y2b y2 y1 y3c y1 y2 y3d y1 y3 y2 解題提示 利用指數冪的運算性質 分別將y1 y2 y3化為同底數的冪 再利用單調性比較大小 規范解答 選d y1 40 9 21 8 y2 80 48 21 44 y3 21 5 因為1 8 1 5 1 44 且y 2x在r上單調遞增 所以y1 y3 y2 命題角度2 研究指數型函數的奇偶性 單調性等性質 典例4 2015 合肥模擬 已知f x ax a x a 0 且a 1 1 判斷f x 的奇偶性 2 討論f x 的單調性 解題提示 1 根據函數奇偶性的定義判斷 2 分a 1及0 a 1對函數f x 的單調性進行討論 規范解答 1 函數f x 的定義域為r 關于原點對稱 又因為f x a x ax f x 所以f x 為奇函數 2 當a 1時 a2 1 0 y ax為增函數 y a x為減函數 從而y ax a x為增函數 所以f x 為增函數 當00且a 1時 f x 在定義域內單調遞增 悟 技法有關指數函數性質的問題類型及解題思路 1 比較指數冪大小問題 常利用指數函數的單調性及中間值 0或1 2 簡單的指數不等式的求解問題 解決此類問題應利用指數函數的單調性 要特別注意底數a的取值范圍 并在必要時進行分類討論 3 求解與指數函數有關的復合函數問題 首先要熟知指數函數的定義域 值域 單調性等相關性質 其次要明確復合函數的構成 涉及值域 單調區間 最值等問題時 都要借助 同增異減 這一性質分析判斷 最終將問題歸結為內層函數相關的問題加以解決 提醒 在研究指數型函數單調性時 當底數與 1 的大小關系不明確時 要分類討論 通 一類1 2015 金華模擬 已知a 21 2 b c 2log52 則a b c的大小關系為 a cb 1 又c 2log52 log54b c 2 2015 哈爾濱模擬 若函數f x 則不等式的解集為 a 1 2 3 b 3 1 c d 1 3 解析 選b 函數f x 和函數g x 的圖象如圖所示 從圖象上可以看出不等式的解集是兩個無限區間 當x 0時 是區間 3 當x 0時 是區間 1 故不等式 f x 的解集為 3 1 3 2015 鄭州模擬 設偶函數f x 滿足f x 2x 4 x 0 則 x f x 2 0 a x x4 b x x4 c x x6 d x x2 解析 選b f x 為偶函數 當x0時 有或解得x 4或x 0 4 2015 成都模擬 已知函數f x 是定義在r上的奇函數 當x 0時 f x 1 2 x 則不等式f x 0時 f x 1 2 x 0 又f x 是r上的奇函數 所以f x x 0 的解集關于原點對稱 由1 2 x 得2 x1 則f x 的解集是 1 自我糾錯5應用指數函數的性質求參數 典例 2015 蘇州模擬 若函數f x ax a 0 a 1 在 1 2 上的最大值為4 最小值為m 且函數g x 1 4m 在 0 上是增函數 則a 解題過程 錯解分析 分析上面解題過程 你知道錯在哪里嗎 提示 對條件 g x 在 0 上是增函數 不會使用 求得結果后未進行檢驗得到兩個答案 規避策略 1 對指數函數的底數a分類討論指數函數的底數不確定時 單調性不明確 從而無法確定其最