33.1幾何概型學習目標1了解幾何概型與古典概型的區別2理解幾何概型的定義及其特點3會用幾何概型的概率計算公式求幾何概型的概率預習導引1三角形的面積Sah(其中底為a，高為h)；圓的面積Sr2.2棱錐的體積VSh，棱柱的體積VSh，球的體積Vr3.知識鏈接1. 幾何概型的概念事件A理解為區域的某一子區域A，如圖，A的概率只與子區域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關滿足以上條件的試驗稱為幾何概型2. 幾何概型的概率計算公式在幾何概型中，事件A的概率定義為：P(A)，其中，表示區域的幾何度量，A表示子區域A的幾何度量要點一與長度有關的幾何概型例1取一根長為5 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于2 m的概率有多大？解如圖所示記“剪得兩段繩長都不小于2 m”為事件A.把繩子五等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發生由于中間一段的長度等于繩長的，所以事件A發生的概率P(A).規律方法1.解答本題的關鍵是將基本事件的全部及其事件A包含的基本事件轉化為相應的長度，進而求解2在求解與長度有關的幾何概型時，首先找到試驗的全部結果構成的區域D，這時區域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發生對應的區域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點是否取到卻不影響事件A的概率跟蹤演練1兩根相距6 m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2 m的概率解記“燈與兩端距離都大于2 m”為事件A，則P(A).要點二與面積有關的幾何概型例2一只海豚在水池中自由游弋，水池為長30 m，寬20 m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2 m的概率解如圖所示，區域是長30 m、寬20 m的長方形圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2 m”，問題可以理解為求海豚嘴尖出現在圖中陰影部分的概率由于區域的面積為3020600(m2)，陰影部分的面積為30202616184(m2)所以P(A)0.31.即海豚嘴尖離岸邊不超過2 m的概率約為0.31.規律方法解此類幾何概型問題的關鍵是：(1)根據題意確認是否是與面積有關的幾何概型問題(2)找出或構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關面積，套用公式從而求得隨機事件的概率跟蹤演練2(2013陜西高考)如圖，在矩形區域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區域ADE和扇形區域CBF(該矩形區域內無其他信號來源，基站工作正常)若在該矩形區域內隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是()A1 B.1 C2 D.答案A解析由幾何概型知所求的概率P1.要點三與體積有關的幾何概型例3一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，求蜜蜂“安全飛行”的概率解依題意，在棱長為3的正方體內任意取一點，這個點到各面的距離均大于1.則滿足題意的點區域為：位于該正方體中心的一個棱長為1的小正方體由幾何概型的概率公式，可得滿足題意的概率為P.規律方法如果試驗的全部結果所構成的區域可用體積來度量，我們要結合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出基本事件所占的區域體積及事件A所占的區域體積其概率的計算公式為P(A).跟蹤演練3本例條件不變，求這個蜜蜂飛到正方體某一頂點A的距離小于的概率解到A點的距離小于的點，在以A為球心，半徑為的球內部，而點又必須在已知正方體內，則滿足題意的A點的區域體積為3.P.1下列關于幾何概型的說法錯誤的是()A幾何概型也是古典概型中的一種B幾何概型中事件發生的概率與位置、形狀無關C幾何概型中每一個結果的發生具有等可能性D幾何概型在一次試驗中能出現的結果有無限個答案A解析幾何概型與古典概型是兩種不同的概型2(2013南昌高一檢測)面積為S的ABC，D是BC的中點，向ABC內部投一點，那么點落在ABD內的概率為()A. B. C. D.答案B解析向ABC內部投一點的結果有無限個，屬于幾何概型設點落在ABD內為事件M，則P(M).3如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區域內的概率為，則陰影區域的面積為()A. B. C. D無法計算答案B解析由幾何概型的概率公式知，所以S陰S正.4當你到一個紅綠燈路口時，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，那么你看到黃燈的概率是()A. B. C. D.答案C解析由題意可知在80秒內路口的紅、黃、綠燈是隨機出現的，可以認為是無限次等可能出現的，符合幾何概型的條件事件“看到黃燈”的時間長度為5秒，而整個燈的變換時間長度為80秒，據幾何概型概率計算公式，得看到黃燈的概率為P.5在1 000 mL水中有一個草履蟲，現從中隨機取出3 mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發現草履蟲的概率是_答案解析由幾何概型知，P.1幾何概型適用