分式的意義和性質分式的意義和性質 一 分式的概念一 分式的概念 1 用 A B 表示兩個整式 A B 可以表示成的形式 其中 A 叫做分式的分子 B 叫做 分式的分母 如果除式 B 中含有字母 式子就叫做分式 這就是分式的概念 研究分式就 從這里展開 2 既然除式里含有字母的有理代數式叫做分式 那么 在分式里分母所包含的字母 就不 一定可以取任意值 分式的分子 A 可取任意數值 但分母 B 不能為零 因為用零做除數沒 有意義 一般地說 在一個分式里 分子中的字母可取任意數值 但分母中的字母 只能取不 使分母等于零的值 3 1 分式 當 B 0 時 分式無意義 2 分式 當 B 0 時 分式有意義 3 分式 當 時 分式的值為零 4 分式 當 時 分式的值為 1 5 分式 當 時 即或時 為正數 6 分式 當時 即或時 為負數 7 分式 當時或時 為非負數 2 三 分式的基本性質 1 學習分式的基本性質應該與分數的基本性質類比 不同點在于同乘以或同除以同一個不 等于零的整式 這個整式可以是數也可以是字母 只要是不為零的整式 2 這個性質可用式子表示為 M 為不等于零的整式 3 學習基本性質應注意幾點 1 分子與分母同乘或同除的整式的值不能為零 2 易犯錯誤是只乘 或只除 分母或只乘 或只除 分子 3 如果分子或分母是多項式時 必須乘以多項式的每一項 4 分式變號法則的依據是分式的基本性質 5 分式的分子 分母和分式的符號 改變其中任何兩個 分式的值不變 如下列式子 四 約分 1 約分是約去分子 分母中的公因式 就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母 使分式化簡為最簡分式 最簡分式又叫既約分式 2 約分的理論依據是分式的基本性質 3 約分的方法 1 如果分式的分子和分母都是幾個因式乘積的形式 就約去分子和分母中相同因式的最 低次冪 當分子和分母的系數是整數時 還要約去它們的最大公約數 例 1 請說出下列各式中哪些是整式 那些是分式 1 2 3 4 3 5 a2 a 6 解 根據分式定義知 1 2 3 是分式 4 5 6 是整式 說明 判斷一個代數式是否是分式要緊緊抓住除式中含不含字母 這里是分式 不能因為 a b 而認為是整式 a b 是分式的值 要 區分分式的值和分式這兩個不同的概念 另外是整式而不是分式 雖然分母中有 但 不是字母而是無理數 是無限不循環小數 因此的除式中不含字母 例 2 在分式 1 2 3 中 字母 x 的值有什么限制 解 1 在中 當 x 2 時 使得分母 x 2 0 x 2 2 在中 當 x 2 時 使得分母 x 2 0 x 2 3 在中 當 x 2 或 x 3 時 使得分母 x 2 x 3 0 x 2 且 x 3 例 3 x 為何值時 分式 1 無意義 2 值為零 3 值為 1 4 值為 非負數 解 1 當分母 2x 3 0 時分式無意義 x 時 分式無意義 2 當時 分式值為零 x 1 時分式值為零 4 3 當時 分式值為 1 x 4 時分式值為 1 4 當或 時 分式值為非負數 或 x 1 或 x 時分式值為非負數 例 4 當 x 取何值時 分式 1 值為零 2 無意義 3 有意義 解 1 當 x 3 x 1 0 時 分式有意義 當 x 3 且 x 1 時分式有意義 又 6 2 x 0 時分式值為零 則 3 x 0 x 3 x 3 x 3 時分式值為零 2 x 3 x 1 0 分式無意義 即 x 3 0 或 x 1 0 x 3 或 x 1 時分式無意義 說明 對于 1 也可先令分子為零 求出字母的所有可能值為 x 3 后 再逐一代入分母 驗證是否為零 不為零者即為所求 對于 2 當 x 3 0 或 x 1 0 時 都會使分式的分母等于零 所以要注意 或 字的使用 解 3 x 3 x 1 0 時分式有意義 即 x 3 0 且 x 1 0 時 x 3 且 x 1 時分式有意義 說明 對于 3 分母 x 3 x 1 只有不為零時 分式有意義 而 x 3 x 1 0 當 x 3 0 或 x 1 0 都會使 x 3 x 1 0 所以應將 x 3 和 x 1 都同時排除掉 寫成 x 3 且 x 1 用 且 字 而不用 或 字 意義為 x 不能為 3 而且還不能為 1 即 3 和 1 都不能取 因為取任何其中一個 值 分母 x 3 x 1 都會為 0 而使分式都會無意義 例 5 寫出等式中未知的分子或分母 1 2 3 1 分析 這類問題要從已知條件入手 根據分式的基本性質 分析變化的過程 如 1 右邊分母 x2 y2是 x y x y 而左邊分母為 x y 所以需將左式的分子和分母同乘以 x y 5 解 未知的分子是 x y 2 2 分析 左邊分子 a2 ab a a b 而右邊分子是 a b 所以需將左式的分子和分母同除以 a 解 未知的分母是 b 3 a2 ab a a b 將分子因式分解 比較分子 發現分子 分母同乘以 a 2ab 即為所求的分母 例 6 把下列分式的分子和分母中各項的系數都化為整數 1 2 1 分析 先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍數為 15 再據分數基本性質 分子和分母同乘以 15 解 2 解 注 必須乘以分子和分母的每一項 避免發生 0 2a 3b 10 2a 3b 這樣的錯誤 6 例 7 不改變分式的值 使下列分式中分子與分母不含 號 1 2 解 根據分式的符號法則得 1 2 注意 分式 分子和分母的符號中 任意改變其中兩個 分式的值不變 1 中改變分式 本身和分母兩個負號 2 中改變分子和分母兩個負號 例 8 不改變分式的值 依照 x 的降冪排列 使分子和分母中 x 的最高項的系數都為正數 1 2 解 1 2 說明 解題可分為三步 1 先將分式的分子和分母都按 x 的降冪排列 這步只是運用加 法交換律 不改變符號 2 將分子和分母的最高項系數化為正數 只要提取公因式 1 即可 提取時注意每項都要變號 3 運用符號法則進行變號 注意 如果分子或分母的首項為負 則必須先將負號提到括號外面 再使用符號法則 要 注意避免下列的錯誤 7 例 9 約分 1 2 解 1 3yz10 注意 分母的因式約去后得 1 分式變為整式 若化簡分式時千萬不要犯下列 錯誤 0 2 注意 分母的負號一般要移去 2 如果分式的分子或分母是多項式 應先分解因式 然后再約分 例 10 約分 1 2 3 4 5 解 1 注意 不要把約成 也不要將最后結果寫成 因為分 式的橫線表示括號 再寫括號就多余了 8 2 注 不要將約做 因為這樣是分子分母都減 a2 不是同除以相同的 整式 3 x2 1 注 不要犯下面的錯誤 x3 x2 4 注意 這里應用到了 2 x 3 x 2 3的變形 5 分子按 x 的降冪排列 分子提取公因式 1 分子 分母都分解因式 約去公因式 x 1 應用分式的符號法則 說明 此題的解法 一方面顯示出分式約分的一般步驟 另一方面在解題的右側的括號內 寫出運算的算理 平日的化簡是不寫這些的 但不是它不存在 在思維上它是不可缺少的 9 分數的乘除法的關鍵是約分 而分式乘除法的關鍵也是約分 就是說 分式乘除法運算的 實質是約分 它能使運算的結果化為最簡分式 同分數的約分一樣 分式的約分是應用分式的 基本性質 把分式的分子 分母同除以它們的公因式 把分式化簡 因此約分的關鍵在于正確 尋找到分式分子 分母中的公因式 附錄 附錄 一 本講教學內容及要求 單元 節次 知識要點 教學要求 分式 1 分式概念 2 有理式概念 A 了解 A 分式的基本性質 1 分式的基本性質 2 分式的符號法則 D 靈活運用 C 掌握 分 式 分式的約分 1 約分和最簡分式 2 約分的根據 3 分式