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文檔簡介

一、填空 (每小題3分，共15分)1.曲面在(1，2，2)處的切平面方程為x+4y+6z-21=0解：F=x2+2y2+ 3z2-21，Fx=2x，Fy=4yFz=6z法向量n=(2，8，12)，切平面方程2(x-1)+8(y-2)+12(z-2)=0即：x+4y+6z-21=02. W：，f(x，y，z)在W上連續 化為球面坐標系下的三次積分解： 2sin2j=1，j=p4，3. u=x2-2xy3+5y2z 在(1，0，1)的梯度是 (2，0，0) 解：ux=2x-2y3，uy= -6xy2+10yz，uz=5y2u|(1，0，1)= (2，0，0)4. ，f可微，則 2xf+2x2f1-y2f2 解：u=2x，v=y2/x，2xf+2x2fu-y2fv 5. 微分方程的通解是 二、選擇 (每小題3分，共15分)1. ， 則 (B) (B) 絕對收斂 解： 絕對收斂。2. 級數發散，發散，則 ( B )(B) 可能收斂3. y+4y+3y=xe-x 的特解形式為( A ) (A) y*=(ax+b)xe-x (B) y*=ax2e-x (C) y*=(ax+b)e-x (D) y*=axe-x解：特征方程r2+4r+3=0，r=-1，r=-3，y*=(ax+b)xke-x，k=14. z=2xy-3x2-2y2在(0，0) (A)取得極大值 解：zx=2y-6x，zy=2x-4y，A=zxx=-6，B=zxy=2，C=zyy=-4，AC-B2=200，A0。5.：，x: -1 1 ，則的值為解：三、計算 (共70分)11.(6分)計算，D：y2=x 和y = x 圍成的閉區域。解：12. 求，W：，解：13.(6分) 計算，S是的上側。解：增加平面S1：z=0 (1)下側，= 14. (8分) 展開成 x-2 的冪級數，指出收斂區域。解：收斂區域 1 x 315.(8分) 求，和 解：，16.(8分) 求曲面在第一卦限上的一點，使該點處的切平面與三個坐標面圍成的四面體的體積最小。解：設該點P(x，y，z)，切平面：，即四面體的體積：， 解得：， 所求點為，。 17.(6分) 計算，S：被z=b所截下的有限部分。解：，18.(6分) 設 ，j 是可微函數，證明：證明：，19.(6分) 設j(x)具有連續導數，且j(0)=1/2(1)確定j(x)，使得ex+j(x)ydxj(x)dy=du(x，y)(2)求出一個函數u(x，y)解：P=ex+j(x)y，Q=j(x)，由Py=Qx得ex+ j(x)=j(x)j(x)+j(x)=ex, 解得j(x)=Ce

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