1 A B C D E F 全等三角形動點問題全等三角形動點問題 一 一 知識回顧 知識回顧 動態(tài)幾何題 是指以幾何知識和幾何圖形為背景 滲透運(yùn)動變化觀點的一類試題 而通過對幾何圖形運(yùn)動變化 使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察 想象 推理等發(fā)現(xiàn) 探索的過程 是 中考數(shù)學(xué)試題中 考查創(chuàng)新意識 創(chuàng)新能力的重要題型 解決這類問題 要善于探索圖形 的運(yùn)動特點和規(guī)律 抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征 化動為靜 以靜制動 熱身練習(xí) 熱身練習(xí) 1 如圖 在等腰 ACB 中 AC BC 5 AB 8 D 為底邊 AB 上一動點 不與點 A B 重合 DE AC DF BC 垂足分別為 E F 則 DE DF 2 例題辨析 例題辨析 例 1 如圖 在等腰 Rt ABC 中 ACB 90 AC CB AC 8 F 是 AB 邊上的中點 點 D E 分別在 AC BC 邊上運(yùn)動 且始終保持 AD CE 連接 DE DF EF 1 求證 ADF CEF 2 試證明 DFE 是等腰直角三角形 3 在此運(yùn)動變化的過程中 四邊形 CDFE 的面積是否保持不變 試 說明理由 4 求 CDE 面積的最大值 例 2 如圖 ABC 的邊 BC 在直線 上 AC BC 且 AC BC EFP 的邊 FP 也在直線 上 邊 EF 與邊 AC 重合 且 EF FP 2 1 在圖 1 中 請你通過觀察 測量 猜想并寫出 AB 與 AP 所滿足的 數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 2 將 EFP 沿直線 向左平移到圖 2 的位置時 EP 交 AC 于點 Q 連 結(jié) AP BQ 猜想并寫出 BQ 與 AP 所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 請證 明你的猜想 練習(xí) 1 如圖 在等腰 Rt ABC 中 C 90 AC 8 F 是 AB 邊上的中點 點 D E 分 別在 AC BC 邊上運(yùn)動 且保持 AD CE 連接 DE DF EF 在此運(yùn)動變化的過程中 下列 結(jié)論 DFE 是等腰直角三角形 DE 長度的最小值為 4 四邊形 CDFE 的面積保持不 變 CDE 面積的最大值為 8 其中正確的結(jié)論是 A B C D 2 2011 湖北隨州 18 7 分 在等腰三角形 ABC 中 ABC 90 D 為 AC 邊上中點 過 D 點作 DE DF 交 AB 于 E 交 BC 于 F 若 AE 4 FC 3 求 EF 長 3 例 2 在中 交的延長線于點 一等腰直角三角尺按如ABC ABAC CGBA BAG 圖 1 所示的位置擺放 該三角尺的直角頂點為 一條直角邊與邊在一條直線上 另FAC 一條直角邊恰好經(jīng)過點 B 1 在圖 1 中請你通過觀察 測量與的長度 猜想并寫出與滿足的數(shù)量關(guān)BFCGBFCG 系 然后證明你的猜想 2 當(dāng)三角尺沿方向平移到圖2 所示的位置時 一條直角邊仍與邊在同一直線上 ACAC 另一條直角邊交邊于點 過點作于點 此時請你通過觀察 測量 BCDDDEBA EDE 與的長度 猜想并寫出與之間滿足的數(shù)量關(guān)系 然后證明你的猜想 DFCGDEDF CG 3 當(dāng)三角尺在 的基礎(chǔ)上沿方向繼續(xù)平移到圖 3 所示的位置 點在線段上 ACFAC 且點與點不重合 時 中的猜想是否仍然成立 不用說明理由 FC A B C FG 圖1 A BC E F G 圖2 D A B C D E F G 圖3 例 3 如圖 在等邊 ABC 中 AB 9cm 點 P 從點 C 出發(fā)沿 CB 邊向點 B 點以 2cm s 的速 度移動 點 Q 點從 B 點出發(fā)沿 BA 邊向 A 點以 5cm s 速度移動 P Q 兩點同時出發(fā) 它們 移動的時間為 t 秒鐘 1 你能用 t 表示 BP 和 BQ 的長度嗎 請你表示出來 2 請問幾秒鐘后 PBQ 為等邊三角形 3 若 P Q 兩點分別從 C B 兩點同時出發(fā) 并且都按順時針方向沿 ABC 三邊運(yùn)動 請問經(jīng)過幾秒鐘后點 P 與點 Q 第一次在 ABC 的哪條邊上相遇 4 三 三 歸納總結(jié) 歸納總結(jié) 動點一般在中考都是壓軸題 步驟不重要 重要的是思路 動點類題目一般都有好幾問 前一問大都是后一問的提示 就像幾何探究類題一樣 如果后面的題難了 可以反過去看 看前面問題的結(jié)論 四 四 拓展延伸 拓展延伸 例 1 在 Rt ABC 中 AC BC C 90 D 為 AB 邊的中點 EDF 90 EDF 繞 D 點 旋轉(zhuǎn) 它的兩邊分別交 AC CB 或它們的延長線 于 E F 1 當(dāng) EDF 繞 D 點旋轉(zhuǎn)到 DE AC 于 E 時 如圖 1 易證 1 2 DEFCEFABC SSS 2 當(dāng) EDF 繞 D 點旋轉(zhuǎn)到 DE 和 AC 不垂直時 在圖 2 和圖 3 這兩種情況下 上述結(jié)論是 否成立 若成立 請給予證明 若不成立 S DEF S CEF S ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請 寫出你的猜想 不需證明 例 2 2014 德州 第 23 題 10 分 問題背景 如圖 1 在四邊形 ABC 中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F 分別是 BC CD 上 的點 且 EAF 60 探究圖中線段 BE EF FD 之間的數(shù)量關(guān)系 小王同學(xué)探究此問題的方法是 延長 FD 到點 G 使 DG BE 連結(jié) AG 先證明 ABE ADG 再證明 AEF AGF 可得出結(jié)論 他的結(jié)論應(yīng)是 EF BE DF 5 探索延伸 如圖 2 若在四邊形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分別是 BC CD 上的點 且 EAF BAD 上述結(jié)論是否仍然成立 并說明理由 實際應(yīng)用 如圖 3 在某次軍事演習(xí)中 艦艇甲在指揮中心 O 處 北偏西 30 的 A 處 艦艇乙在指揮 中心南偏東 70 的 B 處 并且兩艦艇到指揮中心的距離相等 接到行動指令后 艦艇甲向 正東方向以 60 海里 小時的速度前進(jìn) 艦艇乙沿北偏東 50 的方向以 80 海里 小時的速度前 進(jìn) 1 5 小時后 指揮中心觀測到甲 乙兩艦艇分別到達(dá) E F 處 且兩艦艇之間的夾角為 70 試求此時兩艦艇之間的距離 例 3 如圖 1 一等腰直角三角尺 GEF EGF 90 GEF GFE 45 GE GF 的兩條直 角邊與正方形 ABCD 的兩條邊分別重合在一起 現(xiàn)正方形 ABCD 保持不動 將三角尺 GEF 繞 斜邊 EF 的中點 O 點 O 也是 BD 中點 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 1 如圖 2 當(dāng) EF 與 AB 相交于點 M GF 與 BD 相交于點 N 時 通過觀察或測量 BM FN 的長度 猜想 FN BM 相等嗎 并說明理由 2 若三角尺 GEF 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時 線段 FE 的延長線與 AB 的延長線相交 于點 M 線段 BD 的延長線與 GF 的延長線相交于點 N 此時 1 中的猜想還成立嗎 請 說明理由 6 例 4 在平面內(nèi) 旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度而 得到新位置圖形的一種變換 活動一 如圖 1 在 Rt ABC 中 D 為斜邊 AB 上的一點 AD 2 BD 1 且四邊形 DECF 是正方形 求陰影部分的面積 小明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法 將 DBF 繞點 D 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 得到 DGE 如圖 2 所示 一眼就看出這題的答案 請你寫出陰影部分的面積 活動二 如圖 3 在四邊形 ABCD 中 AB AD BAD C 90 BC 5 CD 3 過點 A 作 AE BC 垂足為點 E 求 AE 的長 小明仍運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法 將 ABE 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 得到 ADG 如圖 4 所 示 則 四邊形 AECG 是怎樣的特殊四邊形 答 AE 的長是 活動三 如圖 5 在四邊形 ABCD 中 AB AD CD AD 將 BC 按逆時針方向繞點 B 旋 轉(zhuǎn) 90 得到線段 BE 連接 AE 若 AB 2 DC 4 求 ABE 的面積 例 5 已知 在中 為銳角 是射線上一動點 與不重合 以ABC ACB DBCDC 為一邊向右側(cè)作等邊 與不重合 連接 ADADE CECE 若為等邊三角形 當(dāng)點在線段上時 如圖 1 所示 則直線與ABC DBCBD 直線所夾銳角為 度 CE 若為等邊三角形 當(dāng)點在線段的延長線上時 如圖 2 所示 你在ABC DBC 中得到的結(jié)論是否仍然成立 請說明理由 若不是等邊三角形 且 如圖 3 所示 試探究當(dāng)點在線段ABC BCAC D 7 上時 你在 中得到的結(jié)論是否仍然成立 若成立 請說明理由 若不成BC 立 請指出當(dāng)滿足什么條件時 能使 中的結(jié)論成立 并說明理由 ACB 1 F E DCB A 2 BCDF A E 3 BCF A 問題 1 中結(jié)論不成立 當(dāng) ACB 60 時 能使直線 BD 與直線 CE 所夾銳角為 60 證明 當(dāng) CD AC 時 在 CB 上截取一點 G 使得 CG CA 連接 AG 如圖所示 ACB 60 GAC 是等邊三角形 AC AG AGC GAC 60 ADE 是等邊三角形 AE AD DAE 60 DAE CAD GAC CAD 從而 CAE GAD ACE AGD SAS ACE AGD 60 ECF 180 ACB ACE 60 此時直線 BC 與直線 CE 所夾銳角為 60 當(dāng) CD AC 時 點 C 與點 E 重合 不符合題意 當(dāng) CD AC 時 延長 EC 到 H 在 CB 上截取一點 G 使得 CG CA 連接 AG 如圖所示 同 1 可證 ACE AGD ACE AGD 180 AGC 120 HCF DCE 120 ACB 60 此時直線 BC 與直線 CE 所夾銳角為 60 點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì) 根據(jù)已知進(jìn)行分類討論當(dāng) CD AC 時 當(dāng) CD AC 時 當(dāng) CD AC 時得出答案是解題關(guān)鍵 例 6 在等邊的兩邊 所在直線上分別有兩點為外一點 且ABC ABACMND ABC 探究 當(dāng)點分別愛直線上移動60MDN 120BDC BDCD MN AB AC 時 之間的數(shù)量關(guān)系及的周長與等邊的周長的關(guān)系 BMBN MN AMN QABC L 8 M N D CB A M N D C B A N M D C B A 如圖 當(dāng)點在邊上 且時 之間的MN AB AC DMDN BMNC MN 數(shù)量關(guān)系式 此時 Q L 如圖 當(dāng)點在邊上 且時 猜想 1 問的兩個結(jié)論MN AB AC DMDN 還成立嗎 寫出你的猜想并加以證明 如圖 當(dāng)點分別在邊的延長線上時 若 則MN AB CA ANx 用表示 Q x L 5 5 課后作業(yè) 課后作業(yè) 1 如圖 在等邊的頂點 A C 處各有一只蝸牛 它們同時出發(fā) 分別以每分鐘 1 各ABC 單位的速度油 A 向 B 和由 C 向 A 爬行 其中一只蝸牛爬到終點時 另一只也停止運(yùn)動 經(jīng) 過 t 分鐘后 它們分別爬行到 D E 處 請問 1 在爬行過程中 CD 和 BE 始終相等嗎 2 若蝸牛沿著 AB 和 CA 的延長線爬行 EB 與 CD 交于點 Q 其他條件不變 如圖 2 所示 蝸牛爬行過程中 的大小條件不變 求證 CQE 60CQE 9 3 如果將原題中 由 C 向 A 爬行 改為 沿著 BC 的延長線爬行 連接 DE 交 AC 于 F 其他條件不變 則爬行過程中 DF 始終等于 EF 是否正確 2 如圖 1 ABC 為等邊三角形 動點 D 在邊 CA 上 動點 P 邊 BC 上 若這兩點分別從 C B 點同時出發(fā) 以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 運(yùn)動 連接 AP BD 交于點 Q 兩點 運(yùn)動過程中 AP BD 成立嗎 請證明你的結(jié)論 2 如果把原題中 動點 D 在邊 CA 上 動點 P 邊 BC 上 改為 動點 D P 在射線 CA 和射 線 BC 上運(yùn)動 其他條件不變 如圖 2 所示 兩點運(yùn)動過程中 BQP 的大小保持不 變 請你利用圖 2 的情形 求證 BQP 60 3 如果把原題中 動點 P 在邊 BC 上 改為 動點 P 在 AB 的延長線上運(yùn)動 連接 PD 交 BC 于 E 其他條件不變 如圖 3 則動點 D P 在運(yùn)動過程中 DE 始終等于 PE 嗎 寫出 證明過程 圖 1 圖2 圖 3 10 3 如圖如圖 點 點A E F C在一條直線上 在一條直線上 AE CF 過點 過點E F 分別作分別作DE AC BF AC 連接 連接B D交交AC于點于點G 若 若 AB CD 1 試說明 試說明BD平分平分EF 2 若將 若將 DEC的邊的邊EC沿沿AC方向移動到如圖方向移動到如圖 所示位置時 其所示位置時 其 余條件不變 上述結(jié)論是否成立 試說明理由 余條件不變 上述結(jié)論是否成立 試說明理由 4 如圖 1 中 垂足為 D AF 平 分 交于點 E 交 CB 于點 F 11 1 求