用心 愛心 專心 1 三角函數的圖象與性質三角函數的圖象與性質 一 一 課標要求課標要求 1 能畫出 y sin x y cos x y tan x 的圖像 了解三角函數的周期性 2 借助圖像理解正弦函數 余弦函數在 0 2 正切函數在 2 2 上的性質 如單調性 最大和最小值 圖像與 x 軸交點等 3 結合具體實例 了解 y Asin wx 的實際意義 能借助計算器或計算機畫出 y Asin wx 的圖像 觀察參數 A w 對函數圖像變化的影響 二 二 命題走向命題走向 近幾年高考降低了對三角變換的考查要求 而加強了對三角函數的圖象與性質的考查 因為函數的性質是研究函數的一個重要內容 是學習高等數學和應用技術學科的基礎 又是 解決生產實際問題的工具 因此三角函數的性質是本章復習的重點 在復習時要充分運用數 形結合的思想 把圖象與性質結合起來 即利用圖象的直觀性得出函數的性質 或由單位圓 上線段表示的三角函數值來獲得函數的性質 同時也要能利用函數的性質來描繪函數的圖象 這樣既有利于掌握函數的圖象與性質 又能熟練地運用數形結合的思想方法 預測 2011 年高考對本講內容的考察為 1 題型為 1 道選擇題 求值或圖象變換 1 道解答題 求值或圖像變換 2 熱點問題是三角函數的圖象和性質 特別是 y Asin wx 的圖象及其變換 三 三 要點精講要點精講 1 正弦函數 余弦函數 正切函數的圖像 1 1 y sinx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 1 1 y cosx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x y tanx 3 2 2 3 2 2 o y x y cotx 3 2 2 2 2 o y x 2 三角函數的單調區間 xysin 的遞增區間是 2 2 2 2 kk Zk 用心 愛心 專心 2 遞減區間是 2 3 2 2 2 kk Zk xycos 的遞增區間是 kk22 Zk 遞減區間是 kk22 Zk xytan 的遞增區間是 22 kk Zk 3 函數BxAy sin 其中00 A 最大值是BA 最小值是AB 周期是 2 T 頻率是 2 f 相位是 x 初相是 其圖象的對稱軸是直線 2 Zkkx 凡是該圖象與直線By 的交 點都是該圖象的對稱中心 4 由 y sinx 的圖象變換出 y sin x 的圖象一般有兩個途徑 只有區別開這兩個 途徑 才能靈活進行圖象變換 利用圖象的變換作圖象時 提倡先平移后伸縮 但先伸縮后平移也經常出現無論哪種變 形 請切記每一個變換總是對字母 x 而言 即圖象變換要看 變量 起多大變化 而不是 角變化 多少 途徑一 先平移變換再周期變換 伸縮變換 先將 y sinx 的圖象向左 0 或向右 0 平移 個單位 再將圖象上各點的 橫坐標變為原來的 1 倍 0 便得 y sin x 的圖象 途徑二 先周期變換 伸縮變換 再平移變換 先將 y sinx 的圖象上各點的橫坐標變為原來的 1 倍 0 再沿 x 軸向左 0 或向 右 0 平移 個單位 便得 y sin x 的圖象 5 由 y Asin x 的圖象求其函數式 給出圖象確定解析式y Asin x 的題型 有時從尋找 五點 中的第一零點 0 作為突破口 要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置 6 對稱軸與對稱中心 sinyx 的對稱軸為 2 xk 對稱中心為 0 kkZ cosyx 的對稱軸為xk 對稱中心為 2 0 k 對于sin yAx 和cos yAx 來說 對稱中心與零點相聯系 對稱軸與最 值點聯系 7 求三角函數的單調區間 一般先將函數式化為基本三角函數的標準式 要特別注意 A 的正負利用單調性三角函數大小一般要化為同名函數 并且在同一單調區間 8 求三角函數的周期的常用方法 經過恒等變形化成 sin yAx cos yAx 的形式 在利用周期公 式 另外還有圖像法和定義法 用心 愛心 專心 3 9 五點法作 y Asin x 的簡圖 五點取法是設 x x 由 x 取 0 2 2 3 2 來求相應的 x 值及對應的 y 值 再描點作圖 四 四 典例解析典例解析 題型 1 三角函數的圖象 例 1 2009 浙江理 已知a是實數 則函數 1sinf xaax 的圖象不可能是 解析 對于振幅大于 1 時 三角函數的周期為 2 1 2TaT a 而 D 不符合要求 它的振幅大于 1 但周期反而大于了2 答案 D 例 2 2009 遼寧理 8 已知函數 f x Acos x 的圖象如圖所示 2 23 f 則 0 f A 2 3 B 2 3 C 1 2 D 1 2 答案 C 題型 2 三角函數圖象的變換 用心 愛心 專心 4 例 3 試述如何由 y 3 1 sin 2x 3 的圖象得到 y sinx 的圖象 解析 y 3 1 sin 2x 3 縱坐標不變 倍橫坐標擴大為原來的 3 sin 3 1 2 xy xysin 3 1 3 縱坐標不變 個單位圖象向右平移 xysin 3 橫坐標不變 倍縱坐標擴大到原來的 另法答案 1 先將 y 3 1 sin 2x 3 的圖象向右平移 6 個單位 得 y 3 1 sin2x 的圖象 2 再將 y 3 1 sin2x 上各點的橫坐標擴大為原來的 2 倍 縱坐標不變 得 y 3 1 sinx 的 圖象 3 再將 y 3 1 sinx 圖象上各點的縱坐標擴大為原來的 3 倍 橫坐標不變 即可得到 y sinx 的圖象 例 4 2009 山東卷理 將函數sin2yx 的圖象向左平移 4 個單位 再向上平移 1 個單位 所 得圖象的函數解析式是 A cos2yx B 2 2cosyx C 4 2sin 1 xy D 2 2sinyx 解析 將函數sin2yx 的圖象向左平移 4 個單位 得到函數sin2 4 yx 即 sin 2 cos2 2 yxx 的圖象 再向上平移 1 個單位 所得圖象的函數解析式為 2 1 cos22cosyxx 故選 B 答案 B 命題立意 本題考查三角函數的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式 的基本知識和基本技能 學會公式的變形 7 2009 山東卷文 將函數sin2yx 的圖象向左平移 4 個單位 再向上平移 1 個單位 所得圖 象的函數解析式是 A 2 2cosyx B 2 2sinyx C 4 2sin 1 xy D cos2yx 解析 將函數sin2yx 的圖象向左平移 4 個單位 得到函數sin2 4 yx 即 用心 愛心 專心 5 sin 2 cos2 2 yxx 的圖象 再向上平移 1 個單位 所得圖象的函數解析式為 2 1 cos22cosyxx 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查三角函數的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式 的基本知識和基本技能 學會公式的變形 題型 3 三角函數圖象的應用 例 5 已知電流I與時間t的關系式為sin IAt 右圖是sin IAt 0 2 在一個周期內的圖象 根據圖中數據求sin IAt 的解析式 如果t在任意一段 1 150 秒的時間內 電流 sin IAt 都能取得最大值和最小值 那么 的最小正整 數值是多少 解析 本小題主要考查三角函數的圖象與性質等基礎知識 考查運算能力和邏輯推理能 力 由圖可知 A 300 設t1 1 900 t2 1 180 則周期T 2 t2 t1 2 1 180 1 900 1 75 2 T 150 又當t 1 180 時 I 0 即 sin 150 1 180 0 而 2 6 故所求的解析式為300sin 150 6 It 依題意 周期T 1 150 即 2 1 150 0 300 942 又 N 故最小正整數 943 點評 本題解答的開竅點是將圖形語言轉化為符號語言 其中 讀圖 識圖 用圖是形數結合的有效途徑 300 300 1 180 1 900 o I t 用心 愛心 專心 6 例 6 1 2009 遼寧卷理 已知函數 f x Acos x 的圖象如圖所示 2 23 f 則 0 f A 2 3 B 2 3 C 1 2 D 1 2 解析 由圖象可得最小正周期為 2 3 于是 f 0 f 注意到與 關于對稱 2 3 2 3 2 7 12 所以 f f 2 3 2 3 2 答案 B 2 2009 寧夏海南卷理 已知函數 y sin x 0 的圖像如圖所示 則 解析 由圖可知 544 2 1 255 89 510 Tx 把代入y si n有 1 si n 答案 9 10 題型 4 三角函數的定義域 值域 例 7 1 已知 f x 的定義域為 0 1 求 f cosx 的定義域 2 求函數 y lgsin cosx 的定義域 圖 用心 愛心 專心 7 分析 求函數的定義域 1 要使 0 cosx 1 2 要使 sin cosx 0 這里的 cosx 以它的值充當角 解析 1 0 cosx 1 2k 2 x 2k 2 且 x 2k k Z 所求函數的定義域為 x x 2k 2 2k 2 且 x 2k k Z 2 由 sin cosx 0 2k cosx 2k k Z 又 1 cosx 1 0 cosx 1 故所求定義域為 x x 2k 2 2k 2 k Z 點評 求三角函數的定義域 要解三角不等式 常用的方法有二 一是圖象 二是三角函數線 例 8 已知函數 f x x xx 2cos 1cos5cos6 24 求 f x 的定義域 判斷它的奇偶性 并求其值域 解析 由 cos2x 0 得 2x k 2 解得 x 42 k k Z 所以 f x 的定義域為 x x R 且 x 42 k k Z 因為 f x 的定義域關于原點對稱 且 f x x xx x xx 2cos 1cos5cos6 2cos 1 cos5 cos6 2424 f x 所以 f x 是偶函數 又當 x 42 k k Z 時 f x 1cos3 2cos 1cos3 1cos2 2cos 1cos5cos6 2 2224 x x xx x xx 所以 f x 的值域為 y 1 y 2 1 或 2 1 y 2 點評 本題主要考查三角函數的基本知識 考查邏輯思維能力 分析和解決問題的能力 題型 5 三角函數的單調性 例 9 求下列函數的單調區間 1 y 2 1 sin 4 3 2x 2 y sin x 4 分析 1 要將原函數化為y 2 1 sin 3 2 x 4 再求之 2 可畫出y sin x 4 的圖象 用心 愛心 專心 8 解 1 y 2 1 sin 4 3 2x 2 1 sin 3 2x 4 故由 2k 2 3 2x 4 2k 2 3k 8 3 x 3k 8 9 k Z 為單調減區間 由 2k 2 3 2x 4 2k 2 3 3k 8 9 x 3k 8 21 k Z 為單調增區間 遞減區間為 3k 8 3 3k 8 9 遞增區間為 3k 8 9 3k 8 21 k Z 2 y sin x 4 的圖象的增區間為 k 4 k 4 3 減區間為 k 4 k 4 5 4 3 4 7 4 5 4 3 4 4 4 o y x 例 10 2002 京皖春文 9 函數 y 2sinx的單調增區間是 A 2k 2 2k 2 k Z B 2k 2 2k 2 3 k Z C 2k 2k k Z D 2k 2k k Z 解析 A 函數 y 2x為增函數 因此求函數 y 2sinx的單調增區間即求函數 y sinx 的單調 增區間 題型 6 三角函數的奇偶性 例 11 判斷下面函數的奇偶性 f x lg sinx x 2 sin1 分析 判斷奇偶性首先應看定義域是否關于原點對稱 然后再看 f x 與f x 的關系 解析 定義域為 R 又 f x f x lg1 0 即 f x f x f x 為奇函數 點評 定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要 但不充分 條件 例 12 2001 上海春 關于 x 的函數 f x sin x 有以下命題 對任意的 f x 都是非奇非偶函數 不存在 使 f x 既是奇函數 又是偶函數 用心 愛心 專心 9 存在 使 f x 是奇函數 對任意的 f x 都不是偶函數 其中一個假命題的序號是 因為當 時 該命題的結論不成立 答案 k k Z 或者 2 k k Z 或者 2 k k Z 解析 當 2k k Z 時 f x sinx 是奇函數 當 2 k 1 k Z 時 f x sinx 仍是奇函數 當 2k 2 k Z 時 f x cosx 或當 2k 2 k Z 時 f x cosx f x 都是偶函數 所以 和 都是正確的 無論 為何值都不能使 f x 恒 等于零 所以 f x 不能既是奇函數又是偶函數 和 都是假命題 點評 本題考查三角函數的奇偶性 誘導公式以及分析問題的能力 注意 k Z 不能不寫 否則不給分 本題的答案不惟一 兩個空全答對才能得分 題型 7 三角函數的周期性 例 13 求函數 y sin6x cos6x 的最小正周期 并求 x 為何值時 y 有最大值 分析 將原函數化成 y Asin x B 的形式 即可求解 解析 y sin6x cos6x sin2x cos2x sin4x sin2xcos2x cos4x 1 3sin2xcos2x 1 4 3 sin22x 8 3 cos4x 8 5 T 2 當 cos4x 1 即 x 2 k k Z 時 ymax 1 例 14 設 0 cossin xbxaxf的周期 T 最大值4 12 f 1 求 a b的值 2 的值終邊不共線 求 的兩根 為方程 若 tan 0 xf 解析 1 sin 22 xbaxf T 2 又 xf 的最大值 4 12 f 22 4ba 且 12 2 cosb 12 2 sina4 由 解出 a 2 b 3 2 3 2sin 42cos322sin2 xxxxf 0 ff 3 2sin 4 3 2sin 4 3 22 3 2 k 或 3 2 2 3 2 k 即 k 共線 故舍去 或 6 k 3 3 6 tan tan k Zk 點評 方程組的思想是解題時常用的基本思想方法 在解題時不要忘記三角函數的 用心 愛心 專心 10 周期性 題型 8 三角函數的最值