第 1 頁（共 18 頁） 2016 年上海市閘北區高考數學二模試卷（理科） 一、填空題本大題共有 10題，要求在答題紙相應題序的空格內直接填寫結果，每個空格填對得 6分，否則一律得零分 1已知函數 f（ x） =ax+a x（ a 0， a1），且 f（ 1） =3，則 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）的值是 2已知集合 A=x|x 2| a， B=x|2x 3 0，若 BA，則實數 a 的取值范圍是 3如果復數 z 滿足 |z|=1 且 z2=a+中 a， bR，則 a+b 的最大值是 4在直角坐標 系 ，已知三點 A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4），若向量 ， 在向量方向上的投影相同，則 3a 4b 的值是 5某科技創新大賽設有一、二、三等獎（參與活動的都有獎）且相應獎項獲獎的概率是以 a 為首項，2 為公比的等比數列，相應的獎金分別是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，則參加此次大賽獲得獎金的期望是 元 6 已知 橢圓 C： （ a b 0）的兩個焦點， P 為橢圓 C 上一點，且 若 面積為 9，則 b= 7 ， a， b， c 分別是 A， B， C 的對邊且 ac+c2= 大邊長是 且 小邊的邊長為 8在極坐標系中，曲線 = 與 的公共 點到極點的距離為 9如圖， A， B 是直線 l 上的兩點，且 兩個半徑相等的動圓分別與 l 相切于 A， B 點， C 是這兩個圓的公共點，則圓弧 ， 與線段 成圖形面積 S 的取值范圍是 10設函數 f（ x） =1，對任意 x ， +）， f（ ） 4x） f（ x 1） +4f（ m）恒成立，則實數 m 的取值范圍是 二、選擇題本大題共有 3題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號涂黑，選對得 5分，否則一律得零分 . 第 2 頁（共 18 頁） 11向量 ， 均為單位向量，其夾角為 ，則命題 “p： | | 1”是命題 q： ， ）的（ ）條件（ ） A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充分必要條件 D非充分非必要條件 12已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的點， 平面 B=1， ，則球O 的表面積等于（ ） A 4 B 3 C 2 D 13已知數列 ， =3下列關于 說法正確 的是（ ） A一定為等差數列 B一定為等比數列 C可能為等差數列，但不會為等比數列 D可能為等比數列，但不會為等差數列 三、解答題（本題滿分 75分）本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙的規定區域（對應的題號）內寫出必要的步驟 14（理）在長方體 ， ， ，點 E 在棱 移動 （ 1）探求 于何值時，直線 平面 45角； （ 2）點 E 移動為棱 點時，求點 E 到平面 距離 15某公司生產的某批產品的銷售量 P 萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用 x 萬元滿足 P=（其中 0xa， a 為正常數）已知生產該產品還需投入成本 6（ P+ ）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為（ 4+ ）元 /件 （ 1）將該產品的利潤 y 萬元表示為促銷費用 x 萬元的函數； （ 2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？ 第 3 頁（共 18 頁） 16已知函數 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的周期為 ，圖象的一個對稱中心為（ ，0），將函數 f（ x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移 個單位長度后得到函數 g（ x）的圖象 （ 1）求函數 f（ x）與 g（ x）的解析式； （ 2）求證：存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某種順序成等差數列 17若動點 M 到定點 A（ 0， 1）與定直線 l： y=3 的距離之和為 4 （ 1）求點 M 的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖； （ 2）記（ 1）得到的軌跡為曲線 C，問曲線 C 上關于點 B（ 0， t）（ tR）對稱的不同點有幾對？請說明理由 18已知數列 其前 n 項的和，滿足 （ 1）求數列 通項公式； （ 2）設數列 的前 n 項和為 列 前 n 項和為 證：當 n2， nN*時 1=n（ 1）； （ 3）已知當 nN*，且 n6 時有（ 1 ） n（ ） m，其中 m=1， 2， ， n，求滿足 3n+4n+（ n+2）n=（ ） n 的值 第 4 頁（共 18 頁） 2016 年上海市閘北區高考數學二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、填空題本大題共有 10題，要求在答題紙相應題 序的空格內直接填寫結果，每個空格填對得 6分，否則一律得零分 1已知函數 f（ x） =ax+a x（ a 0， a1），且 f（ 1） =3，則 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）的值是 12 【考點】 指數函數的單調性與特殊點；函數的值 【專題】 計算題 【分析】 由 f（ 1） =3 可得到關于 a 的式子，由 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）得到關于 a 的式子，尋找與已知表達式的聯系即可求解 【解答】 解： f（ 1） =a+a 1=3， f（ 0） =2， f（ 2） =a2+a 2=（ a+a 1） 2 2=7， f（ 1） +f（ 0） +f（ 2） =12 故答案為： 12 【點評】 本題考查指數冪的運算和運算法則，屬基本運算的考查 2已知集合 A=x|x 2| a， B=x|2x 3 0，若 BA，則實數 a 的取值范圍是 a3 【考點】 集合的包含關系判斷及應用 【專題】 數形結合；轉化思想；不等式的解法及應用；集合 【分析】 利用絕對值不等式的解法、一元二次不等式的解法分別解出 A， B，再利用 BA 即可得出 【解答】 解：由 |x 2| a，可得 2 a x 2+a（ a 0）， A=（ 2 a， 2+a）（ a 0） 由 2x 3 0，解得 1 x 3 B=（ 1， 3） BA，則 ，解得 a3 故答案為： a3 【點評】 本題考查了不等式的解法、集合的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題 3如果復數 z 滿足 |z|=1 且 z2=a+中 a， bR，則 a+b 的最大值是 【考點】 復數代數形式的乘除運算 【專題】 計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數 第 5 頁（共 18 頁） 【分析】 由 |z|=1，得 |1，結合 z2=a+ a2+，然后利用基本不等式求得 a+b 的最大值 【解答】 解： |z|=1， |1， 由 z2=a+ a2+， （ a+b） 22（ a2+=2， 故當 時， a+b 的最大值是 故答案為： 【點評】 本題考查復數模的求法，訓練了利用基本不等式求最值，是基礎題 4在直角坐標系 ，已知三點 A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4），若向量 ， 在向量方向上的投影相同，則 3a 4b 的值是 2 【考點】 平面向量數量積的運算 【專題】 計算題；對應思想；向量法；平面向量及應用 【分析】 構造三個向量，起點是原點，那么三個向量的坐標和點的坐標相同，根據投影的概念，列出等式，用坐標表示，移項整理得到結果 【解答】 解：向量 ， 在向量 方向上的投影相同， = ， A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4）， 3a+4=6+4b， 3a 4b=2， 故答案為： 2 【點評】 本題考查了向量的數量積運算、投影，考查了推理能力 ，屬于基礎題 5某科技創新大賽設有一、二、三等獎（參與活動的都有獎）且相應獎項獲獎的概率是以 a 為首項，2 為公比的等比數列，相應的獎金分別是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，則參加此次大賽獲得獎金的期望是 5000 元 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差 【專題】 計算題；轉化思想；綜合法；概率與統計 【分析】 由已知求出獲得一、二、三等獎的概率分別為 ，由此利用一、三、三等獎相應的獎金分別是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，能求出參加此 次大賽獲得獎金的期望 第 6 頁（共 18 頁） 【解答】 解： 某科技創新大賽設有一、二、三等獎（參與活動的都有獎）且相應獎項獲獎的概率是以 a 為首項， 2 為公比的等比數列， 獲得一、二、三等獎的概率分別為 a， 2a， 4a，且 a+2a+4a=1，解得 a= ， 獲得一、二、三等獎的概率分別為 ， 一、三、三等獎相應的獎金分別是以 7000 元、 5600 元、 4200 元， 參加此次大賽獲得獎金的期望 E（ X） = =5000 元 故答案為： 5000 【點評】 本題考查離散型隨機變量的分布列的數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用 6已知 橢圓 C： （ a b 0）的兩個焦點， P 為橢圓 C 上一點，且 若 面積為 9，則 b= 3 【考點】 橢圓的應用；橢圓的簡單性質 【專題】 圓錐曲線的定義、性質與方程 【分析】 由已知得 |2a， =4，由此能得到 b 的值 【解答】 解： 橢圓 C： （ a b 0）的兩個焦點， P 為橢圓 C 上一點，且 |2a， =4， （ | 2=4|4 36=4（ =4 b=3 故答案為 3 【點評】 主要考查橢圓的定義、基本性質和平面向量的知識 7 ， a， b， c 分別是 A， B， C 的對邊且 ac+c2= 大邊長是 且 小邊的邊長為 1 第 7 頁（共 18 頁） 【考點】 正弦定理 【專題】 方程思想；綜合法；解三角形 【分析】 根據余弦定理求出 ，故 b= ，由 c=2a，代入余弦定理計算 a 【解答】 解： ac+c2= = ， B= ， b= c=2a， 三角形的最短邊為 a 由余弦定理得 ，解得 a=1 故答案為 1 【點評】 本題考查了余弦定理，正弦定理，判斷三角形的最長邊和最短邊是關鍵，屬于中檔題 8在極坐標系中，曲線 = 與 的公共點到極點的距離為 1+ 【考點】 簡單曲線的極坐標方程 【專題】 計算題；規律型；轉化思想；坐標系和參數方程 【分析】 聯立方程組 消去 【 解答】 解： = 與 消去 得 （ 2） =2，由于 0，解得 =1+ 故答案為： 【點評】 本題考查極坐標方程的應用，利用 的幾何意義是解題的關鍵 9如圖， A， B 是直線 l 上的兩點，且 兩個半徑相等的動圓分別與 l 相切于 A， B 點， C 是這兩個圓的公共點，則圓弧 ， 與線段 的取值范圍是 【考點】 圓與圓的位置關系及其判定 【專題】 計算題；壓軸題；數形結合 第 8 頁（共 18 頁） 【分析】 結合圖形，可見當 切于點 C 時， S 最大，圓弧 線段 成圖形面積 S 就是矩形 面積減去兩扇形面積，解答即可 【解答】 解：如圖，當 切于點 C 時， S 最大， 此時，兩圓半徑為 1， S 等于矩形 ， 隨著圓半徑的變化， C 可以向直線 l 靠近， 當 C 到直線 l 的距離 d0 時， S0， S 【點評】 本題考查圓與圓的位置關系，數形結合的思想，是中檔題 10設函數 f（ x） =1，對任意 x ， +）， f（ ） 4x） f（ x 1） +4f（ m）恒成立 ，則實數 m 的取值范圍是 【考點】 函數的值；函數恒成立問題 【專題】 計算題；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用 【分析】 由已知得 4 +1 在 x ， +）上恒成立，上由此能求出實數 m 的取值范圍 【解答】 解：依據題意 得 1 41） （ x 1） 2 1+4（ 1）在 x ， +）上恒定成立， 即 4 +1 在 x ， +）上恒成立 當 x= 時，函數 y= +1 取得最小值 ， 4 ，即（ 3）（ 43） 0， 第 9 頁（共 18 頁） 解得 m 或 m ， 故答案為： 【點評】 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意函數性質和等價轉化思想的合理運用 二、選擇題本大題共有 3題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號涂黑，選對得 5分，否則一律得零分 . 11向量 ， 均為單位向量，其夾角為 ，則命題 “p： | | 1”是命題 q： ， ）的（ ）條件（ ） A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充分必要條件 D非充分非必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【專題】 平面向量及應用；簡易邏輯 【分析】 根據向量數量積的運算公式，以及充分條件和必要條件的定義即可得到結論 【解答】 解：若 | | 1，則平方得： 2 2 + 2=2 2 1，即 ，則 ， （ ， ，即 p： （ ， ， 命題 q： ， ）， p 是 q 的必要不充分條件， 故選： B 【點評】 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據向量數量積的應用求出向量夾角是解決本題的關鍵 12已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的點， 平面 B=1， ，則球O 的表面積等于（ ） A 4 B 3 C 2 D 【考點】 直線與平面垂直的性質；球的體積和表面積 第 10 頁（共 18 頁） 【專題】 壓軸題 【分析】 先尋找球心，根據 S， A， B， C 是球 O 表面上的點，則 B=S，根據直角三角形的性質可知 O 為 中點，則 為直徑，根據球的面積公式求解即可 【解答】 解： 已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的點 B=S=1 又 平面 B=1， ， 球 O 的直徑為 2R=， R=1， 表面積為 4 故選 A 【點評】 本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及球的表面積等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題 13已知數列 ， =3下列關于 說法正確的是（ ） A一定為等差數列 B一定為等比數列 C可能為等差數列，但不會為等比數列 D可能為等比數列，但不會為等差數列 【考點】 等差關系的確定；等比關系的確定 【專題】 等差數列與等比數列 【分析】 由條件可得 =4 類討論，即可得出結論 【解答】 解： =3 =4 若 ，則數列 等差數列； 第 11 頁（共 18 頁） 若 ，則數列 首項為 比為 4 的等比數列， 14n 1， 此時 n 1=3n 2（ n2），即數列從第二項起，后面的項組成等比數列 綜上，數列 能為等差數列，但不會為等比數列 故選 C 【點評】 本題考查等差數列、等比數列的判斷，考查學生分析解決問題的能力，正確分類討論是關鍵 三、解答題 （本題滿分 75分）本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙的規定區域（對應的題號）內寫出必要的步驟 14（理）在長方體 ， ， ，點 E 在棱 移動 （ 1）探求 于何值時，直線 平面 45角； （ 2）點 E 移動為棱 點時，求點 E 到平面 距離 【考點】 直線與平面所成的角；點、線、面間的距離計算 【專題】 計算題 【分析】 （ 1）解法一：先找到直線 平面 成的平面角，放入直角三角形中，根據角的大小為 45，來求三角形中邊之間的關系，即可求出 度 解法二：利用空間向量來解，先建立空間直角坐標系，求出 坐標，以及平面 法向量的坐標，因為直線 平面 45角，所以 與平面 法向量成 45角，再用向量的數量積公式即可求出 坐標，進而判斷 E 點位置 （ 2）利用空間向量的知識，點到平面的距離可用公式 來求，其中 為平面的法向量，為 E 點到平面上任意一點的向量 第 12 頁（共 18 頁） 【解答】 解：（ 1）解法一：長方體 ，因為點 E 在棱 移動，所以 平面 而 直線 平面 成的平面角， ， 5 解法二：以 D 為坐標原點，射線 x、 y、 z 軸，建立空間直角坐標系，則點0， 0， 1），平面 法向量為 ，設 E（ 1， y， 0），得 ， 由 ，得 ， 故 （ 2）以 D 為坐標原點， 射線 次為 x、 y、 z 軸，建立空間直角坐標系，則點 E（ 1，1， 0）， 1， 0， 1）， 0， 2， 1）， 從而 ， ， 設平面 法向量為 ，由 令 ， 所以點 E 到平面 距離為 =1 【點評】 本題主要考查了向量法求直線與平面所成角，以及點到平面的距離屬于立體幾何的常規題 15某公司生產的某批產品的銷售量 P 萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用 x 萬元滿足 P=（其中 0xa， a 為正常數）已知生產該產品還需投入成本 6（ P+ ）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為（ 4+ ）元 /件 （ 1）將該產品的利潤 y 萬元表示為促銷費用 x 萬元的函數； （ 2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？ 【考點】 函數模型的選擇與應用 【專題】 應用題；函數的性質及應用 第 13 頁（共 18 頁） 【分析】 （ 1）根據產品的利潤 =銷售額產品的成本建立函數關系； （ 2）利用導數基本不等式可求出該函數的最值，注意等號成立的條件 【解答】 解：（ ）由題意知， y=（ 4+ ） p x 6（ p+ ）， 將 p= 代入化簡得： y=19 x（ 0xa）； （ ） y=22 （ +x+2） 22 3 =10， 當且僅當 =x+2，即 x=2 時，上式取等號； 當 a2 時，促銷費用投入 2 萬元時，該公司的利潤最大； y=19 x， y= ， a 2 時，函數在 0， a上單調遞增， x=a 時，函數有最大值即促銷費用投入 a 萬元時，該公司的利 潤最大 【點評】 本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題 16已知函數 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的周期為 ，圖象的一個對稱中心為（ ，0），將函數 f（ x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移 個單位長度后得到函數 g（ x）的圖象 （ 1）求函數 f（ x）與 g（ x）的解析式； （ 2）求證：存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某種順序成等差數列 【考點】 函數 y=x+）的圖象變換；函數與方程的綜合運用 【專題】 函數思想；轉化思想；數形結合法；三角函數的圖像與性質 【分析】 （ 1）由周期公式可得 ， 0，再由對稱中心可得 值，可得 f（ x）解析式，由函數圖象變換和誘導公式化簡可得； （ 2）當 x（ ， ）時 題轉化為方程 2（ ，）內是否有解，由函數零點的存在性定理可得 第 14 頁（共 18 頁） 【解答】 解：（ 1） 函數 f（ x） =x+）的周期為 ， 0， ， 又曲線 y=f（ x） 的一個對稱中心為（ ， 0）， （ 0， ）， 2 +） =0，可得 ， f（ x） = 將函數 f（ x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變）后可得 y=圖象， 再將 y=圖象向右平移 個單位長度后得到函數 g（ x） =x ）的圖象， 由誘導公式化簡可得 g（ x） = （ 2）當 x（ ， ）時， ， ， 問題轉化為方程 2（ ， ）內是否有解 設 G（ x） =2x（ ， ）， ， ，且函數 G（ x）的圖象連續不斷， 函數 G（ x）在（ ， ）內存在零點 即存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某種順序成等差數列 【點評】 本題考查三角函數圖象變換，問題轉化為方程 2（ ， ）內是否有解是解決問題的關鍵，屬中檔題 17 若動點 M 到定點 A（ 0， 1）與定直線 l： y=3 的距離之和為 4 （ 1）求點 M 的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖； （ 2）記（ 1）得到的軌跡為曲線 C，問曲線 C 上關于點 B（ 0， t）（ tR）對稱的不同點有幾對？請說明理由 【考點】 軌跡方程 【專題】 綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程 【分析】 （ 1）設 M（ x， y），由題意 ，分類討論，可得點 M 的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖； 第 15 頁（共 18 頁） （ 2）當 t0 或 t4 顯然不存在符合題意的對稱點當 0 t 4 時 ，注意到曲線 C 關于 y 軸對稱，至少存在一對（關于 y 軸對稱的）對稱點，下面研究曲線 C 上關于 B（ 0， t）對稱但不關于 y 軸對稱的對稱點即可 【解答】 解：（ 1）設 M（ x， y），由題意 ：當 y3 時，有 ，化簡得： y ：當 y 3 時，有 ，化簡得： 12（ y 4）（二次函數） 綜上所述：點 M 的軌跡方程為 （如圖） （ 2）當 t0 或 t4 顯然不存在符合題意的對稱點 當 0 t 4 時，注意到曲線 C 關于 y 軸對稱，至少存在一對（關于 y 軸對稱的）對稱點 下面研究曲線 C 上關于 B（ 0， t）對稱但不關于 y 軸對稱的對稱點 設 P（ 軌跡 y（ y3）上任意一點，則 ，它關于 B（ 0， t）的對稱點為 Q（ 2t 由于點 Q 在軌跡 12（ y 4）上， 所以 ，聯立方程組 （ *）得 4 12（ 2t 4），化簡得 當 0， 3）時，