自然數(shù)求和公式及其應(yīng)用 聰明的高斯在九歲時(shí)就在短時(shí)間內(nèi)算出了1+2+3+-+100的和，關(guān)于此公式的幾種簡(jiǎn)單代數(shù)證明有好幾種，本文將從幾何的角度對(duì)此公式給出證明，然后舉例說明此公式在生活中的廣泛應(yīng)用。一：探究自然數(shù)求和公式與梯形面積之間的關(guān)系n層1nn最后一層共有n個(gè)nn如圖我們可以把左邊圓圈的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為右邊梯形面積的計(jì)算問題。梯形的面積是S=n(n+1),所以左邊圓圈的個(gè)數(shù)是n(n+1)，所以1+2+3+-+n=n(n+1)此即自然數(shù)求和公式。利用梯形面積公式，我們還可以求出不是從“1”開始的自然數(shù)或等差數(shù)列的求和公式。而此時(shí)求和的重點(diǎn)在于確定梯形的“高”。例1、求13+14+15+-+887的值。我們可以仿照上面的圖形解釋把此問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)梯形的面積。已知此上底是13，下底是887，難點(diǎn)在于確定梯形的“高”，即從13到887中自然數(shù)的個(gè)數(shù)。我們可以從最簡(jiǎn)單開始起止數(shù)123717352766-mn自然數(shù)的個(gè)數(shù)251950-n-m+1所以這個(gè)兩底是13和887的梯形的高就是887-13+1=875。所以此梯形的面積是：（13+887）875=393750，所以13+14+15+-+887=（13+887）875=393750更一般的，我們還可以通過這種列表探尋規(guī)律的方法來求出等差不是“1”的自然數(shù)的求和規(guī)律。（以等差為3的自然數(shù)為例）起止數(shù)14110217-mn個(gè)數(shù)246-（n-m）+1計(jì)算11+15+19+-+411分析，我們可以把它看做一個(gè)兩底邊分別是11和411，（等差為4），高為（411-11）+1的梯形的面積既是所求11+15+19+-+411的值即11+15+19+-+411= （11+411）（411-11）+1=21311二、自然數(shù)求和公式的應(yīng)用例1、50個(gè)同窗好友見面兩兩握手，共握手多少次？我們把50個(gè)同學(xué)編上從150的號(hào)碼。那么1號(hào)同學(xué)要與其余49人握手49次，1號(hào)同學(xué)完成任務(wù)后2號(hào)同樣與余下的48個(gè)同學(xué)握手共握手48次-最后是49號(hào)和50號(hào)同學(xué)握手1次。于是這50個(gè)同學(xué)握手的問題就轉(zhuǎn)化為了1+2+3+-+50的自然數(shù)求和問題。所以握手的總次數(shù)是1+2+3+-+49=（1+49）50=1250（次）A B C D E F G H例2、如圖直線l上有A、B、C、D、E、F、G、H 8個(gè)點(diǎn)，那么這8個(gè)點(diǎn)一共可以確定多少條不同的線段。線段有兩個(gè)端點(diǎn)，因此這類問題又可以轉(zhuǎn)化為這八個(gè)線段兩兩握手的問題。由于點(diǎn)A不與自己握手構(gòu)成線段，所以線段的總條數(shù)是：7+6+-+2+1=（1+7）7=28例3、從一點(diǎn)出發(fā)有6條射線，那么以O(shè)為頂點(diǎn)的角有多少個(gè)？分析：由于一個(gè)角有兩條有公共端點(diǎn)的兩條射線組成，所以，這又可以轉(zhuǎn)化為一條射線和另外一條射線“兩兩握手”的問題。從而轉(zhuǎn)化為自然數(shù)的求和公式：5+4+3+2+1=（1+5）5=15問題1：如果是從一點(diǎn)出發(fā)100條射線，其中不存在與問題2：頂點(diǎn)三點(diǎn)共線的情況，那么此時(shí)共有多少條射線呢？如果是一條直線上有100個(gè)點(diǎn)，那么這100個(gè)點(diǎn)可以確定多少條線段呢？規(guī)律：他們都可以轉(zhuǎn)化為1+2+3+-+99的求和問題。（想想為什么最大數(shù)不是加到100）例4：實(shí)踐應(yīng)用一輛列車往返北京與廣州之間，若北京與廣州之間共有18個(gè)站點(diǎn)（不包括北京與廣州），那么在北京與廣州的列車票價(jià)共有幾種？列車票共有多種？把問題轉(zhuǎn)化為：把京廣線近似地看做是一條直線，在北京與廣州連同起止站點(diǎn)20個(gè)站點(diǎn)共有多少條線段的問題。所以不同的票價(jià)為：1