1 北北 京京 交交 通通 大大 學學 2012 2013 學年第二學期學年第二學期 概率論與數理統計 概率論與數理統計 B 期中考試試卷期中考試試卷 B 答案及評分標準答案及評分標準 一 滿分 6 分 設 A B C 是三事件 且 1 P AP BP C 4 P ABP BC0 1 P AC 8 求 A B C 至少有一個發生的概率 解 由ABCAB 0P ABC P AB 0 故P ABC 0 2 分分 P ABC P AP BP CP ABP ACP BCP ABC 3 15 4 88 4 分分 二 滿分 8 分 一打靶場備有 5 支某種型號的槍 其中 3 支已經校正 2 支未經校正 某人 使用已校正的槍擊中目標的概率為 1 p 使用未經校正的槍擊中目標的概率為 2 p 他隨機地 取一支槍進行射擊 已知他射擊了5次 都未擊中 求他使用的是已校正的槍的概率 設各次 射擊的結果相互獨立 解 解 以M表示事件 射擊了 5 次均未擊中 以C表示事件 取得的槍是已經校正的 則 5 3 CP 5 2 CP 2 分 2 分 又 按題設 1 5 1 pCMP 5 2 1 pCMP 2 分 2 分 由貝葉斯公式 MP MCP MCP CPCMPCPCMP CPCMP 3 分 3 分 2 5 2 1 5 3 1 5 3 1 5 2 5 1 5 1 pp p 1 2 1 3 1 3 5 2 5 1 5 1 pp p 1 分 1 分 三 滿分 8 分 甲乙二人輪流擲一骰子 每輪擲一次 誰先擲得 6 點誰得勝 從甲開始擲 問甲 乙得勝的概率各為多少 解解 以 i A表示事件 第i次投擲時投擲者才得 6 點 事件 i A發生 表示在前1 i次甲 或乙均未得 6 點 而在第i次投擲甲或乙得 6 點 因各次投擲相互獨立 故有 6 1 6 5 1 i i AP 2 分 2 分 因甲為首擲 故甲擲奇數輪次 從而甲勝的概率為 531 AAAPP 甲勝 531 APAPAP 13 A A 因兩兩不相容 42 6 5 6 5 1 6 1 11 6 6 5 1 1 6 1 2 3 分 3 分 同樣 乙勝的概率為 642 AAAPP 乙勝 642 APAPAP 11 5 6 5 6 5 6 5 6 1 53 3 分 3 分 3 四 滿分 8 分 設X的概率密度 1 2 1 10 2 1 0 0 2 x x x x xfX 求 X Y 1 的概率密度 解解 因函數 x xgy 1 嚴格單調減少 它的反函數 1 y yh 當 x0時 y0 2 分分 由第二章 2 公式 2 1 得Y的概率密度為 0 0 0 y yyhyhf f X Y 0 0 0 11 2 y y yy fX 2 分分 因而 2 22 0 0 1 11 01 2 1111 1 2 1 Y y fy yy yyy 即 1 2 1 10 2 1 0 0 2 y y y y yfY 本題X和 X 1 的概率密度相同 4 分分 4 五 滿分 8 分 設二維隨機變量 YX 的概率密度為 2 10y01 0 x y x f xy 其它 求隨機變量 X Y 的邊緣密度函數 yfxf YX 隨機變量 X Y 是否相互獨立 求 yxf YX y Y X fx 解 1 X的邊緣概率密度為 24 0 10d 50 1 d 0 x X x y yx x fxf x yy 其它 2 分 Y的邊緣概率密度為 1 23 Y 10 10d 101 3d 0 y x y xyy y fyf x yx 其他 2 分分 易見 XY f x yfx fy 所以 X Y 不獨立 當01y 時 X Y Y f x y fx y fy 22 3 3 103 1 10 1 1 3 0 x yx yx y yy 其它 2 分分 當01x 時 Y X X f x y fy x fx 2 42 10 0 5 0 x y2y y x xx 其它 2 分分 5 六 滿分 10 分 設隨機變量 X隨機變量 2 max XY 試求X和Y的聯合 分布律及邊緣分布律 解解 X的分布律為 2 1 0 k k e kXP k 2 分分 X的可能值是 2 1 0 Y的可能值為 4 3 2 0 0 2 2 0 XPXYPYXP 0 1 eXP 2 分分 1 1 2 2 1 XPXYPYXP 1 1 eXP 2分分 2 i時 iXPiXjYPjYiXP 4 3 2 0 0 1 j ij ij i e ijiXP ijiXP i 4 分分 即得YX 的聯合分布律及邊緣分布律為 X Y 0 1 2 3 4 5 jYP 2 e e 2 2 e 0 0 0 2 0 i i i e 3 0 0 0 3 3 e 0 0 3 3 e 4 0 0 0 0 4 4 e 0 4 4 e iXP e e 2 2 e 3 3 e 4 4 e 1 6 七 滿分 8 分 考慮一元二次方程0 2 xx 其中 與 分別是將一枚均勻的骰子接連擲兩次先后 出現的點數 試分別計算方程有實根的概率和有重根的概率 解 解 一枚骰子擲兩次 其樣本點總數為 36 2 分分 方程有實根的充要條件為 4 2 或 4 2 方程有重根的充要條件為 4 2 或 4 2 顯然 1 2 3 4 5 6 使 4 2 的樣本點數 0 1 2 4 6 6 使 4 2 的樣本點數 0 1 0 1 0 0 2 分分 由此可見 使方程有實根的樣本點數為 1 2 4 6 6 19 因此 36 19 方程有實根P 2 分分 使方程有實根的樣本點數為 1 1 2 因此 18 1 36 2 方程有重根P 2 分分 7 八 滿分 8 分 設二維隨機變量 YX 服從平面區域 1 22 yxyxD 上的均勻分布 試求隨機變量 22 YXZ 的概率密度函數 解 解 二維隨機變量 YX 的聯合密度函數為 其它 0 1 1 22 yx yxf 2 分 所以 zYXPzZPzFZ 22 當0 z時 0 zFZ 1 分 當10 z時 zyx Z dxdyyxfzYXPzF 22 22 22 11 22 zzdxdy zyx 3 分 當1 z時 1 zFZ 所以 隨機變量Z的分布函數為 2 00 01 11 Z z Fzzx z 因此 隨機變量Z的概率密度函數為 其它0 102zz xfZ 2 分 8 九 滿分 10 分 設二維隨機變量 YX 的聯合密度函數為 C y 01 0 xyx f xy 其它 求 C 求隨機變量 X Y 的邊緣密度函數 yfxf YX 隨機變量 X Y 是否相互獨立 3 求 P XY1 解 因為 d d1f x yx y 即 1 00 dCd1 C 2 x xx yy 得 2 分分 2 X的邊緣概率密度為 x 2 X 0 2 x ydy 3x 0 x 1 fxf x y dy 0 其它 2 分分 Y的邊緣概率密度為 1 2 Yy 2 x y dx 1 2y 3y 0y1 fyfx y dx 0 其他 2 分分 易見 XY f x yfx fy 所以 X Y 不獨立 1 分分 3 1 1 y 2 0y 1 P XY1dy2 xy dx 3 3 分分 9 十 滿分 8 分 設隨機變量 1 0 NX 1 2 XY 試求隨機變量Y的密度函數 解 解 隨機變量X的密度函數為 2 2 2 1 x exf y 則有 111 2 yXyPyXPyFY 1 0 2 1 1 2 22 2 2 2 1 y x y y x dxedxe 2 分 即 2 1 2 0 2 1 2 01 y x Y edxy Fy y 所以 1 2 21 1 221 01 y YY ey fyFyy y 2 分 即 1 2 1 1 21 01 y Y ey fyy y 10 十一 滿分 8 分 根據以往的考試結果分析 努力學習的學生中有 90 的可能考試及格 不努力學習的學生中有 90 的可能考試不及格 據調查 學生中有 90 的人是努力學習的 試問 考試及格的學生中有多大可能是不努力學習的人 考試不及格的學生中有多大可能是努力學習的人 解 解 設 習的被調查的學生是努力學 A 被調查的學生考試及格 B 由題設 有 9 0 AP 1 0 AP 9 0 ABP 9 0 ABP 要求的概率為 BAP和 BAP 4 分 能理清上面的問 題 并以符號表示的給 分 能理清上面的問 題 并以符號表示的給 4 分 分 由 Bayes 公式 有 012195 0 9 011 09 09 0 9 011 0 ABPAPABPAP ABPAP BAP 2 分分 5 0 9 01 09 019 0 9 019 0 ABPAPABPAP ABPAP BAP 2 分分 十二 滿分 10 分 設有隨機變量U和V 它們都僅取1 1 兩個值 已知 2 1 1 UP 1 1 3 1 1 1 UVPUVP 11 1 求U和V的聯合分布律 2 求x的方程0 2 VUxx至少有一個實根的概率 3 求x的方程 2 0 xUV xUV 至少有一個實根的概率 解解 1 6 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 UPUVPVUP 1 1 1 1 1 UPUVPVUP 6 1 2 1 3 1 1 1 3 1 UP 1 1 1 1 1 UPUVPVUP 3 1 2 1 3 2 1 1 1 1 UPUVP 1 1 1 1 1 UPUVPVUP 3 1 2 1 3 2