1.3 八歲神童 七旬盲翁 觀察出智慧 你見過嗎？這是一張從1989年至2001年流通的10德國馬克的紙幣. 紙幣上的肖像不是政治家，而是德國著名的科學家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777年4月30日1855年2月23日）. 高斯出生在德國中北部一個貧窮的農村家庭. 高斯的祖父是農民，父親是泥水匠，曾做過園丁、工頭、商人的助手和一個小保險公司的評估師. 母親是一個石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似于文盲. 在她成為高斯父親的第二個妻子之前，她從事女傭工作. 高斯有一個很聰明的舅舅，對小高斯很照顧，偶而會給高斯一些指導. 高斯還不到三歲的時候，就跟著父親，在麥堆旁，在工地上，看著父親記工時、算工錢. 在大人不知不覺的情況下，小高斯就靠平日細心、反復的觀察，學會了計算. 有一天，小高斯觀看父親在計算受他管轄的工人們的周薪. 父親喃喃的計著數，最后長嘆一聲表示總算把錢算出來. 當父親念出錢數，準備寫下時，身邊傳來微小的聲音：“爸爸！算錯了，應該是這樣. ”父親驚異地看了小高斯一眼，再算了一次，果然三歲小高斯講的數是正確的. 八歲那年，高斯進入鄉村小學讀書. 數學老師布特納（Bruettner）是一個城里人，覺得在一個窮鄉僻壤教幾個小猢猻讀書是大材小用. 而他又有些偏見：認為窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些孩子數學，用不到花力氣. 有一天，天氣陰蒙蒙的，也是布特納情緒低落的一天. 同學們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來，害怕老師又會在今天捉這些學生處罰了. “今天，你們替我算從1加2加3一直到100的和，誰算不出來就就不能回家吃午飯. ”布特納講了這句話后就一言不發地拿起一本小說坐在椅子上看去了. 教室里的小朋友們拿起石板開始計算:“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10” 石板上寫不下了，小朋友們加到一個數后就擦掉結果，再加下去，數越加越大，很不好算. 有些小朋友的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來. 不一會, 小高斯拿起了石板走上前去. “老師，答案是不是這樣？”“錯了. 去，回去再算！”布特納頭也不抬，揮著那肥厚的手說，他想不可能這么快就會有答案的. 可是高斯卻站著不動，把石板伸向老師面前:“老師！我想這個答案是對的. ” 布特納本來想怒吼起來，訓斥高斯一下，可是斜眼一看石板上整整齊齊寫了這樣的數：5050，他驚奇了起來，因為這正是正確的答案. 這個八歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個數值呢？ 原來，小高斯不是像其他孩子那樣一個數一個數地加，“我把第1個數字與最后一個數字加起來是101，把第2個數字與倒數第2個數字加起來也是101，這樣不是有50個101嗎？”小高斯細心地解釋自己觀察發現的這個方法，那時高斯已經學會了乘法. 小高斯細心地觀察，動腦筋，找規律的發現使布特納覺得羞愧，有經驗的他意識到這是一件不尋常的事，也覺得自己輕視窮人家孩子的觀點是錯誤的. 于是他在小朋友面前極其認真地表揚了高斯，并買了一本最好的數學書送給高斯. 從此以后，高斯更愛好數學，愛好思考了，漸漸有了數學王子的美譽. 那么，高斯為什么會算得這樣快呢？高斯自己說過，能夠在頭腦中進行復雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦. 而這種天賦，正是來自于高斯從小就養成的細心而認真的觀察. 觀察，以及觀察后的認真思考，促使長大后的高斯不僅在數學，而且在物理學、天文學、大地測量學等領域內作出了很多杰出的貢獻. 二十四歲開始，高斯放棄了純數學的研究，作了幾年天文學的研究. 當時的天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已，認為火星和木星間應該還有行星未被發現. 在1801年，意大利的天文學家Piazzi，發現在火星和木星間有一顆新星. 它被命名為谷神星(Cere). 現在我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個，但當時天文學界爭論不休，有人說這是行星，有人說這是彗星. 必須繼續觀察才能判決，但是Piazzi只能觀察到它9度的軌道，再來它便隱身到太陽后面去了. 因此無法知道它的軌道，也無法判定它是行星或彗星. 高斯這時對這個問題產生了興趣，決定尋求這個捉摸不到的谷神星的軌跡. 在反復觀察的實踐過程中，高斯自己獨創了只要觀察三次，就可以來準確地計算星球軌道、預測行星位置的方法. 果然，谷神星準確無誤的在高斯預測的地方觀察到了. 這個方法雖然他當時沒有公布就是統計中有名的“最小平方法”. 1802年，高斯又準確預測并且觀察到了小行星二號智神星(Pallas)的位置. 高斯這樣認真、細致、精巧的觀察工作一直做到七十歲為止. 為了紀念高斯在各個科學領域里面的發現和發明，數學上就用他的名字命名高斯曲線 (正態分布曲線)、 高斯分布（標準正態分布），電磁學的一個單位也叫做高斯. 德國還發行了印有高斯肖像的紙幣引以為德國的驕傲. 從小就養成仔細觀察、認真思考的習慣，是一切大科學家成功的原因之一. 比高斯早70年誕生的卓越的瑞士數學家、自然科學家歐拉(Euler，1707年4月15日-1783年9月18日)在童年時代也有著超凡的表現. 不過，這個大數學家在孩提時代卻一點也不討老師的喜歡，他是一個被學校除了名的小學生. 事情是因為星星而引起的. 當時，小歐拉在一個教會學校里讀書. 每到夜晚，他經常一個人觀察著寂靜而美麗的夜空，數著星星. 有一次，他向老師提問，天上有多少顆星星. 老師是個神學的信徒，他不知道天上究竟有多少顆星，圣經上也沒有回答過. 其實，天上的星星數不清，是無限的. 我們的肉眼可見的星星也有幾千顆. 這個老師不懂裝懂，回答歐拉說：“天上有多少顆星星，這無關緊要，只要知道天上的星星是上帝鑲嵌上去的就夠了. ”歐拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上沒有扶梯，上帝是怎么把星星一顆一顆鑲嵌到一在幕上的呢？上帝親自把它們一顆一顆地放在天幕，他為什么忘記了星星的數目呢？上帝會不會太粗心了呢？”他向老師提出了心中的疑問，老師又一次被問住了，漲紅了臉，心中頓時升起一股怒氣，這不僅是因為一個才上學的孩子向老師問出了這樣的問題，使老師下不了臺，更主要的是，老師把上帝看得高于一切. 小歐拉居然責怪上帝為什么沒有記住星星的數目，言外之意是對萬能的上帝提出了懷疑. 在老師的心目中，這可是個嚴重的問題. 歐拉的年代，對上帝是絕對不能懷疑的，人們只能做思想的奴隸，絕對不允許自由思考. 小歐拉沒有與教會、與上帝“保持一致”，老師就讓他離開學校回家. 回家后無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個牧童. 他一面放羊，一面讀書. 他讀的書中，有不少數學書. 爸爸的羊群漸漸增多了，達到了100只. 原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈，于是用尺量出了一塊長40米，寬15米的長方形土地，周長是110米，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米. 正打算動工的時候，他爸爸發現材料只夠圍100米的籬笆，不夠用. 爸爸感到很為難，若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會小于6平方米. 跟著爸爸的小歐拉一直看在眼里，想在心里，說：“爸爸，不用擔心每頭羊的領地會小于原來的計劃，也不用擔心材料不夠用，我有辦法. ”爸爸不相信小歐拉會有辦法，聽了沒有理他. 小歐拉急了，大聲說，只有稍稍移動一下羊圈的樁子就行了. 爸爸聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情？”但是，小歐拉卻堅持說，他一定能兩全齊美. 爸爸終于同意讓兒子試試看. 小歐拉見爸爸同意了，站起身來，跑到準備動工的羊圈旁. 他以一個木樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮短到25米. 爸爸著急了，說：“那怎么成呢？那怎么成呢？這個羊圈太小了，太小了. ”小歐拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米. 經這樣一改，原來計劃中的羊圈變成了一個25米邊長的正方形. 然后，小歐拉很自信地對爸爸說：“現在，籬笆也夠了，面積也夠了. ”爸爸照著小歐拉設計的羊圈扎上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光. 面積也足夠了，而且還稍稍大了一些. 爸爸心里感到非常高興. 孩子比自己聰明，真會動腦筋，將來一定大有出息. 爸爸感到，讓這么聰明的孩子放羊實在是太可惜了，想辦法讓小歐拉認識了一個大數學家伯努利（Bernoulli，Johann，1667年8月6 日-1748 年1月1日）. 通過這位數學家的推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學的大學生. 這一年，小歐拉才13歲，是這所大學最年輕的大學生. 后來，歐拉15歲大學畢業，16歲獲碩士學位. 成為18世紀數學界最杰出的人物之一. 歐拉是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等數學、物理課本，已出版和發表的有五百多本書和文章，無窮小分析引論、微分學原理、積分學原理等都成為數學中的經典著作. 死后還留下二百多篇文章未發表，以及一大堆不太完整的手稿. 高斯就說過：“研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法. ”在歐拉全集第二冊一篇題為純數學的觀察問題的文章里歐拉這樣寫道：“許多我們知道的整數的性質是依靠觀察得來的，這發現早已被它的嚴格證明所證實. 還有很多整數的性質我們是很熟悉的，可是我們還不能證明；只有觀察引導我們對它們的認識. 因此我們看到在數論它還不是一個完整的理論中，我們可以寄厚望于觀察：它能連續引導我們新的性質，我們較后嘗試證明. 那類靠觀察而取得的知識還沒有被證明，必需小心和真理區別，像我們通常所說它是靠歸納所得的. 我們看過單純的歸納會引起錯誤. 因此我們要非常小心，不要那一類我們靠觀察而由歸納得來的整數的性質當為正確無誤. 事實上，我們要利用這發現為機會，去研究它的性質，去證明它或反證它，這兩方面我們都會學到有用的東西. ”這里，告訴了我們歐拉能作出這樣多的發現的一個秘訣，就是：“依靠觀察得來的. ” 由于過度的工作使28歲的歐拉得了眼病，并且不幸右眼失明了. 沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化成了灰燼. 沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發誓要把損失奪回來，由他口述，他的學生特別是大兒子A歐拉（數學家和物理學家）筆錄，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世，竟達17年之久. 歐拉的一生，是為數學發展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的拼搏精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的. 歐拉在數學上的建樹很多，在數論中，歐拉首先引進了重要的歐拉函數(n)，用多種方法證明了費馬小定理，開創了圖論的研究. 歐拉還創設了許多數學符號，以歐拉的名字命名的數學公式、定理等在數學書籍中隨處可見. 與此同時，歐拉還在物理、天文、水利、建筑以至音樂、哲學方面取得了輝煌的成就. 什么是觀察？現代漢語詞典這樣解釋：仔細察看（事物或現象）. 然而必須說明的是觀察不是單純去看，單純去看可能會視而不見. 觀察是一種有意識，有目的，有計劃而且具有選擇性的感知活動. 它與有意注意結合在一起，與思維相聯系，觀察既包含感官知覺因素又包含思維因素在內. 數學觀察不僅是對數學中的數量關系和空間形式在視覺系統上的感知，更表現為積極的思維活動. 因此觀察是智力的一個重要因素，是思維之始，是獲取信息的基本途徑；它還是解題的向導，分析的基礎. 如何進行觀察呢？第一點要有意識、有目標，處處留心，總想發現點什么. 第二點要有基礎，有必要的相關知識，否則難以看出“門道”，只是外行人看熱鬧. 第三點要有方法，否則就看不到點子上，抓不到要領. 在觀察中，要特別注意從個別中想到一般，從平常中發現異常，尋找到各事物之間，或是事物與過去經驗中有關知識之間任何具有啟發性的聯系或關系. 例如，在我國湖南有一個農村，在1946年以前禾苗年年受到蟲害，糧食老是不夠，畝產最多是五百多斤. 那里的蟲害最厲害的是一種蟻螟的蟲，它們能使稻枯心，農民最初看到禾苗出現了白線子才噴藥. 可是藥噴了，蟲卻沒治好. 有一個農民看到這種情形，他決定要想法子根治這種蟲害，有人卻認為他文化低，不可能做到. 但是他不理會這些意見. 當第一代螟蛾生出后，他就守在田邊觀看，看蛾子如何產卵，發現卵塊的地方就插標記，記下產卵日期，再看它什么時候孵化. 不管刮風下雨，日夜不離田邊，終于掌握到了這種蟲的生長規律，于是就有辦法消滅它. 以后也控制了其它蟲害，糧食畝產后來增至一千二百多斤. 在科學上的發現和發明，如物理上的落體定律，化學上的合成胰島素，鏈霉素，生物上的遺傳規律，在醫學上用針灸醫治聾啞病癥者，等等都是依靠觀察和實驗而成功的. 我國古代，數學家祖沖之（公元429-500年）也是根據他長期觀察的結果，創制出一部新的歷法大明歷，比歷代歷法要精確得多. 在數學學習的過程中，必須學會觀察，要善于選擇數量特征、圖形的特征、式子結構特征、已知與未知的內在聯系等進行觀察. 總之，要求我們擁有一雙能用數學視角觀察生活的眼睛，用數學的眼光觀察現實世界、認識世界，通過自身的觀察，發現、記錄下數學與生活的緊密聯系. 觀察，思考，再觀察，再思考. 最后，作為練習，讓我們一起來欣賞、觀察、思考歐拉發現的，不論什么形狀的簡單凸多面體