2009 年考研數學真題及答案詳解 第 1 頁 共 20 頁 2009 年全國碩士研究生入學統一考試 數學一試題 一 選擇題 2009 年全國碩士研究生入學統一考試 數學一試題 一 選擇題 1 1 1 1 8 8 8 8 小題 每小題小題 每小題 4 4 4 4 分 共分 共 32323232 分 下列每小題給出的四個選項中 只有一項 符合題目要求 把所選項前的字母填在題后的括號內 分 下列每小題給出的四個選項中 只有一項 符合題目要求 把所選項前的字母填在題后的括號內 1 當0 x 時 sinf xxax 與 2 ln 1g xxbx 等價無窮小 則 A 1 1 6 ab B 1 1 6 ab C 1 1 6 ab D 1 1 6 ab 2 如圖 正方形 1 1x yxy 被其對角線劃分為 四個區域 1 2 3 4 k Dk cos k k D Iyxdxdy 則 14 max k k I A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 3 設函數 yf x 在區間 1 3 上的圖形為 1 f x 2 0 23x 1 O 則函數 0 x F xf t dt 的圖形為 A f x 0 23x1 2 1 1 B f x 0 23x1 2 1 1 1 1 1 1 x y 1 D 2 D 3 D 4 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 2 頁 共 20 頁 C f x 0 23x1 1 1 D f x 0 23x1 2 1 1 4 設有兩個數列 nn ab 若lim0 n n a 則 A當 1 n n b 收斂時 1 nn n a b 收斂 B當 1 n n b 發散時 1 nn n a b 發散 C當 1 n n b 收斂時 22 1 nn n a b 收斂 D當 1 n n b 發散時 22 1 nn n a b 發散 5 設 123 是 3 維向量空間 3 R的一組基 則由基 123 11 23 到基 122331 的過渡矩陣為 A 101 220 033 B 120 023 103 C 111 246 111 246 111 246 D 111 222 111 444 111 666 6 設 A B均為 2 階矩陣 A B分別為 A B的伴隨矩陣 若2 3AB 則分塊 矩陣 OA BO 的伴隨矩陣為 A 3 2 OB AO B 2 3 OB AO C 3 2 OA BO D 2 3 OA BO 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 3 頁 共 20 頁 7 設隨機變量X的分布函數為 1 0 30 7 2 x F xx 其中 x 為標準正 態分布函數 則EX A0 B0 3 C0 7 D1 8 設隨機變量X與Y相互獨立 且X服從標準正態分布 0 1N Y的概率分布為 1 01 2 P YP Y 記 Z Fz為隨機變量ZXY 的分布函數 則函數 Z Fz 的間斷點個數為 A0 B1 C2 D3 二 填空題 二 填空題 9 149 149 149 14 小題 每小題小題 每小題 4 4 4 4 分 共分 共 24242424 分 請將答案寫在答題紙指定位置上分 請將答案寫在答題紙指定位置上 9 設函數 f u v具有二階連續偏導數 zf x xy 則 2z x y 10 若二階常系數線性齊次微分方程0yayby 的通解為 12 x yCC x e 則非 齊次方程yaybyx 滿足條件 02 00yy 的解為y 11 已知曲線 2 02L yxx 則 L xds 12 設 222 1x y z xyz 則 2 z dxdydz 13 若 3 維列向量 滿足2 T 其中 T 為 的轉置 則矩陣 T 的非零特征值 為 14 設 12 m XXX 為來自二項分布總體 B n p的簡單隨機樣本 X和 2 S分別為樣本 均值和樣本方差 若 2 XkS 為 2 np的無偏估計量 則k 三 解答題 三 解答題 15151515 23232323 小題 共小題 共 94949494 分分 請將解答寫在答題紙指定的位置上請將解答寫在答題紙指定的位置上 解答應寫出文字說 明 證明過程或演算步驟 解答應寫出文字說 明 證明過程或演算步驟 15 本題滿分 9 分 求二元函數 22 2lnf x yxyyy 的極值 16 本題滿分 9 分 設 n a為曲線 n yx 與 1 1 2 n yxn 所圍成區域的面積 記 1221 11 nn nn Sa Sa 求 1 S與 2 S的值 17 本題滿分 11 分 橢球面 1 S是橢圓 22 1 43 xy 繞x軸旋轉而成 圓錐面 2 S是過點 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 4 頁 共 20 頁 4 0且與橢圓 22 1 43 xy 相切的直線繞x軸旋轉而成 求 1 S及 2 S的方程 求 1 S與 2 S之間的立體體積 18 本題滿分 11 分 證明拉格朗日中值定理 若函數 f x在 a b上連續 在 a b可導 則存在 a b 使得 f bf afba 證 明 若 函 數 f x在0 x 處 連 續 在 0 0 內 可 導 且 0 lim x fxA 則 0f 存在 且 0fA 19 本題滿分 10 分 計算曲面積分 3 222 2 xdydzydzdxzdxdy I xyz 其中 是曲面 222 224xyz 的外側 20 本題滿分 11 分 設 111 111 042 A 1 1 1 2 求滿足 21 A 的 2 2 31 A 的所有向量 2 3 對 中的任意向量 2 3 證明 1 2 3 無關 21 本題滿分 11 分 設二次型 222 1231231323 122f x x xaxaxaxx xx x 求二次型f的矩陣的所有特征值 若二次型f的規范形為 22 12 yy 求a的值 22 本題滿分 11 分 袋中有 1 個紅色球 2 個黑色球與 3 個白球 現有回放地從袋中取兩次 每次取一球 以 X Y Z分別表示兩次取球所取得的紅球 黑球與白球的個數 求 10p XZ 求二維隨機變量 X Y概率分布 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 5 頁 共 20 頁 23 本題滿分 11 分 設總體X的概率密度為 2 0 0 x xex f x 其他 其中參數 0 未知 1 X 2 X n X是來自總體X的簡單隨機樣本 求參數 的矩估計量 求參數 的最大似然估計量 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 6 頁 共 20 頁 2009 年考研數學一真題解析 一 選擇題 2009 年考研數學一真題解析 一 選擇題 1 1 1 1 8 8 8 8 小題 每小題小題 每小題 4 4 4 4 分 共分 共 32323232 分 下列每小題給出的四個選項中 只有一項 符合題目要求 把所選項前的字母填在題后的括號內 分 下列每小題給出的四個選項中 只有一項 符合題目要求 把所選項前的字母填在題后的括號內 1 當0 x 時 sinf xxax 與 2 ln 1g xxbx 等價無窮小 則 A 1 1 6 ab B 1 1 6 ab C 1 1 6 ab D 1 1 6 ab 答案 A 解析 2 sin 1 f xxax g xx lnbx 為等價無窮小 則 2 222 00000 sinsin1cossin limlimlimlimlim ln 1 36 xxxxx f xxaxxaxaaxaax g xxbxxbxbxbx 洛洛 23 0 sin lim1 6 6 x aaxa b b ax a 3 6ab 故排除 B C 另外 2 0 1cos lim 3 x aax bx 存在 蘊含了1cos0aax 0 x 故1 a 排除D 所以本題選 A 2 如圖 正方形 1 1x yxy 被其對角線劃分為 四個區域 1 2 3 4 k Dk cos k k D Iyxdxdy 則 14 max k k I A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 解析 本題利用二重積分區域的對稱性及被積函數的奇偶性 24 D D兩區域關于x軸對稱 而 cos f xyyxf x y 即被積函數是關于y的 奇函數 所以 24 0II 13 D D兩區域關于y軸對稱 而 cos cos fx yyxyxf x y 即被積函數是 關于x的偶函數 所以 1 01 2cos0 x y y xx Iyxdxdy 3 01 2cos0 x y yxx Iyxdxdy 時 有1 n a時 有1 n b 時 有 22 nnn a bb 則由正項級數的比較判別法可知 22 1 nn n a b 收斂 5 設 123 是 3 維向量空間 3 R的一組基 則由基 123 11 23 到基 122331 的過渡矩陣為 A 101 220 033 B 120 023 103 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 9 頁 共 20 頁 C 111 246 111 246 111 246 D 111 222 111 444 111 666 解析 因為 1212 nn A 則A稱為基 12 n 到 12 n 的過渡矩陣 則由基 123 11 23 到 122331 的過渡矩陣M滿足 122331123 11 23 M 123 101 11 220 23 033 所以此題選 A 6 設 A B均為 2 階矩陣 A B分別為 A B的伴隨矩陣 若2 3AB 則分塊 矩陣 OA BO 的伴隨矩陣為 A 3 2 OB AO B 2 3 OB AO C 3 2 OA BO D 2 3 OA BO 解析 根據CCC E 若 11 1 CC CCC C 分塊矩陣 0 0 A B 的行列式 2 2 0 12 36 0 A A B B 即分塊矩陣可逆 1 1 1 1 0 0000 66 00010 0 B B AAAB BBBA A A 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 10 頁 共 20 頁 1 0 02 3 6 130 0 2 B B A A 故答案為 B 7 設隨機變量X的分布函數為 1 0 30 7 2 x F xx 其中 x 為標準正 態分布函數 則EX A0 B0 3 C0 7 D1 答案 C 解析 因為 1 0 30 7 2 x F xx 所以 0 71 0 3 22 x Fxx 所以 1 0 30 35 2 x EXxFx dxxxdx 1 0 30 35 2 x xx dxxdx 而 0 xx dx 11 2212 22 xx xdxuuu du 所以00 35 20 7EX 8 設隨機變量X與Y相互獨立 且X服從標準正態分布 0 1N Y的概率分布為 1 01 2 P YP Y 記 Z Fz為隨機變量ZXY 的分布函數 則函數 Z Fz 的間斷點個數為 A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 11 頁 共 20 頁 0 0 1 1 1 0 1 2 1 00 1 2 Z FzP XYzP XYz YP YP XYz YP Y P XYz YP XYz Y P Xz YP Xz Y X Y 獨立 1 0 2 Z FzP XzP Xz 1 若0z 而 2 0 xyxxyy fff 內可導 且 0 lim x fxA 則 0f 存在 且 0fA 解析 作輔助函數 f bf a xf xf axa ba 易驗證 x 滿足 ab x 在 閉 區 間 a b上 連 續 在 開 區 間 a b內 可 導 且 f bf a xfx ba 根據羅爾定理 可得在 a b內至少有一點 使 0 即 f 0 f bf a f bf afba ba 任取 0 0 x 則函數 f x滿足 在閉區間 0 0 x上連續 開區間 0 0 x內可導 從而有拉格朗日中值定理可得 存在 0 0 0 0 x x 使得 0 0 0 0 0 x f xf f x 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 16 頁 共 20 頁 又由于 0 lim x fxA 對上式 式 兩邊取 0 0 x 時的極限可得 00 00 0 0 000 0 0 0limlim lim 0 x xx xx f xf fffA x 故 0 f 存在 且 0 fA 19 本題滿分 10 分 計算曲面積分 3 222 2 xdydzydzdxzdxdy I xyz 其中 是曲面 222 224xyz 的外側 解析 222 3 2 xdydzydxdzzdxdy I xyz 其中 222 224xyz 222 222 3 2222 5 2 2 xyzx xxyzxyz 222 222 3 2222 5 2 2 yxzy yxyzxyz 222 222 3 2222 5 2 2 zxyz zxyzxyz 222 3 2222 3 2222 3 2 0 xyz xxyzyxyzzxyz 由于被積函數及其偏導數在點 0 0 0 處不連續 作封閉曲面 外側 2222 1 1 0 16 xyzRR 有 11 3 222 3 2333 134 34 3 xdydzydxdzzdxdyxdydzydxdzzdxdyR dV xyzRRR 20 本題滿分 11 分 設 111 111 042 A 1 1 1 2 求滿足 21 A 的 2 2 31 A 的所有向量 2 3 對 中的任意向量 2 3 證明 1 2 3 無關 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 17 頁 共 20 頁 解析 解方程 21 A 1 111111111111 111100000211 042202110000 A 2r A 故有一個自由變量 令 3 2x 由0Ax 解得 21 1 1xx 求特解 令 12 0 xx 得 3 1x 故 21 10 10 21 k 其中 1 k為任意常數 解方程 2 31 A 2 220 220 440 A 2 1 1 110 2201 2 22010000 44020000 A 故有兩個自由變量 令 2 1x 由 2 0A x 得 13 1 0 xx 求特解 2 1 2 0 0 故 32 1 1 2 10 00 k 其中 2 k為任意常數 證明 由于 12 121 2121221 1 1 1 2 11 12 21 2 21 22 2210 kk kkk kkkk kkk k 1 0 2 故 123 線性無關 2009 年考研數學真題及答案詳解 第 18 頁 共 20 頁 21 本題滿分 11 分 設二次型 222 1231231323 122f x x xaxaxaxx xx x 求二次型f的矩陣的所有特征值 若二次型f的規范形為 22 12 yy 求a的值 解析 01 01 111 a Aa a 01 10 01 1111 111 a aa EAaa a a 22 2 1 1 0 1 2 22 19 12 24 2 1 aaaa aaa aaaa aaa aaa 123 2 1aaa 若規范形為 22 12 yy 說明有兩個特征值為正 一個為 0 則 1 若 1 0a 則 2 20 3 30 符合 3 若 3 0 即1a 則 1 10 2 30 其他 其中參數 0 未知 1 X 2 X n X是來自總體X的簡單隨機樣本 求參數 的矩估計量 求參數 的最大似然估計量 解析 1 由EXX 而 22 0 22 x