4 1概述4 2李亞普諾夫第二法的概述4 3李亞普諾夫穩定性判據4 4線性定常系統的李亞普諾夫穩定性分析小結 第4章李亞普諾夫穩定性分析 是指系統在零輸入條件下通過其內部狀態變化所定義的內部穩定性 即狀態穩定 內部穩定性不但適用于線性系統 而且也適用于非線性系統 對于同一個線性系統 只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性 穩定性是系統本身的一種特性 只和系統本身的結構和參數有關 與輸入 輸出無關 4 1引言 穩定性是控制系統能否正常工作的前提條件 控制系統的穩定性通常有兩種定義方式 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 外部穩定性 是指系統在零初始條件下通過其外部狀態 即由系統的輸入和輸出兩者關系所定義的外部穩定性 即有界輸入有界輸出穩定 外部穩定性只適用于線性系統 內部穩定性 研究系統穩定性的方法 李亞普諾夫第一法 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 李亞普諾夫第一法又稱間接法 它的基本思路是通過系統狀態方程的解來判別系統的穩定性 對于線性定常系統 只需解出特征方程的根即可作出穩定性判斷 對于非線性不很嚴重的系統 則可通過線性化處理 取其一次近似得到線性化方程 然后再根據其特征根來判斷系統的穩定性 以上討論的都是指系統的狀態穩定性 或稱內部穩定性 但從工程意義上看 更重視系統的輸出穩定性 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 線性定常系統平衡狀態漸進穩定的充要條件是系統矩陣A的所有特征值均具有負實部 線性系統狀態穩定性判據 1 線性系統的穩定判據 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 線性定常系統輸出穩定的充要條件是其傳遞函數的極點全部位于s的左半平面 線性系統輸出穩定性判據 如果系統對于有界輸入u所引起的輸出y是有界的 則稱系統為輸出穩定 例題4 1 系統的狀態空間描述為試分析系統的狀態穩定性與輸出穩定性 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 解 1 由A陣的特征方程可得特征值 故系統的狀態不是漸近穩定的 2 由系統的傳遞函數可見傳遞函數的極點位于s的左半平面 故系統輸出穩定 這是因為具有正實部的特征值被系統的零點對消了 所以在系統的輸入輸出特性中沒被表現出來 由此可見 只有當系統的傳遞函數W s 不出現零 極點對消現象 并且矩陣A的特征值與系統傳遞函數W s 的極點相同 此時系統的狀態穩定性才與其輸出穩定性一致 李亞普諾夫第二法 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 李亞普諾夫第二方法又稱直接法 它的基本思想不是通過求解系統的運動方程 而是借助了一個李亞普諾夫函數來直接對系統平衡狀態的穩定性做出判斷 它是從能量觀點進行穩定性分析的 如果一個系統被激勵后 其儲存的能量隨著時間的推移逐漸衰減 到達平衡狀態時 能量將達最小值 那么 這個平衡狀態是漸近穩定的 反之 如果系統不斷地從外界吸收能量 儲能越來越大 那么這個平衡狀態就是不穩定的 如果系統的儲能既不增加 也不消耗 那么這個平衡狀態就是李亞普諾夫意義下的穩定 4 2李亞普諾夫第二法的概述 1892年俄國學者李亞普諾夫發表了 運動穩定性一般問題 最早建立了運動穩定性的一般理論 并把分析常微分方程組穩定性的全部方法歸納為兩類 第一類方法先求出常微分方程組的解 而后分析其解運動的穩定性 稱為間接方法 第二類方法不必求解常微分方程組 而是提供出解運動穩定性的信息 稱為直接方法 它是從能量觀點提供了判別所有系統穩定性的方法 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 穩定性是指系統受外界干擾后 平衡狀態被破壞 但當干擾去掉后 系統仍能自動地回到平衡狀態下繼續工作 具有穩定性的系統稱為穩定系統 不具有穩定性的系統稱為不穩定系統 1 穩定性 一 物理基礎 穩定性是系統本身固有的屬性 線性自動控制系統穩定的充要條件 系統特征方程的全部根是負實部或實部為負的復數 即全部根在復平面的左半平面 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 2 系統的平衡狀態 設系統為 其中 則 對于該系統 如果存在對所有時間t都滿足的狀態 即 則把叫做系統的平衡狀態 對于線性定常系統而言 其平衡狀態滿足 若A是非奇異矩陣 則只有 即對線性系統而言平衡狀態只有一個 在坐標原點 反之 則有無限多個平衡狀態 對于非線性系統而言 平衡狀態不只一個 李亞普諾夫第二法建立在這樣一個直觀的物理事實上 如果一個系統的某個平衡狀態是漸近穩定的 即 那么隨著系統的運動 其儲存的能量將時間的增長而衰減 直至趨于平衡狀態而能量趨于極小值 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 3 李亞普諾夫第二法 對于系統建立一個能量函數 即對于任意時 而 且僅當時 才有 則系統是穩定的 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 由此 李亞普諾夫第二法可歸結為 在不直接求解的前提下 通過李亞普諾夫函數及其對時間的一次導數的定號性 就可以給出系統平衡狀態穩定性的信息 因此 應用李亞普諾夫第二法的關鍵在于能否找到一個合適的李亞普諾夫函數 即能量函數 4 能量函數 廣義能量函數稱為李亞普諾夫函數 如果其不顯含時間t 就記成 設為任一標量函數 其中X為系統的狀態變量 如果具有以下性質 是連續的 是正定的 3 當時 那么函數稱為李亞普諾夫函數 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 能量函數的定義 李亞普諾夫函數的選取不唯一 多數情況下可取為二次型 因此二次型及其定號性是該理論的數學基礎 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 1 二次型函數的定義及其表達式 二 二次型及其定號性 1 二次型函數的定義 在代數式中我們常見一種多項式函數如下其中每項的次數都是二次的 這樣的多項式稱為二次齊次多項式或二次型 以上只是對含有2個變量x y的二次函數來說的 如果將變量個數擴展到n 仍具有相同的含義 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 n個變量的二次其次多項式為稱為二次型函數 即二次型 式中為二次型系數 二次型的定義 由二次型函數的定義可寫成 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 2 二次型函數的矩陣表達式 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 其中 P稱為二次型的矩陣 即P為對稱矩陣 顯然二次型完全由矩陣P確定且P的秩稱為二次型的秩 例題4 2 V X 是向量X的標量函數 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 2 標量函數V X 的定號性 如果對任意非零向量 恒有 且僅當時 則稱為正定的 即 1 正定性 例題4 3 當時 當時 所以 V X 是正定的 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 如果對任意非零向量 恒有 0 且僅當時 則稱為正半定的 即 0 2 正半定性 準正定 例題4 4 當時 當但時 所以 V X 是正半定的 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 3 負定性 例題4 5 當時 當時 0 所以 V X 是負定的 如果對任意非零向量 恒有 0 且僅當時 則稱為正定的 即 0 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 如果對任意非零向量 恒有 0 且僅當時 則稱為負半定的 即 0 4 負半定性 準負定 例題4 6 當時 當但時 所以 V X 是負半定的 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 如果在某個鄰域內 即可為正值也可為負值 則稱為不定的 5 不定性 例題4 7 若 則 如果a b V X 0 b a V X 0 所以 V X 是不定的 對于P為實對稱矩陣的二次型函數V X 的定號性 可用關于矩陣定號性的賽爾維斯特定理來判定 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 3 二次型標量函數定號性判別準則 1 實對稱矩陣P為正定的充要條件是P的各階主子行列式均大于0 即 賽爾維斯特定理 這個定理稱為賽爾維斯特定理 定理4 2對稱矩陣為正定的充分必要條件是 的各階主子式為正 即 對稱矩陣為負定的充分必要條件是 奇數階主子式為負 而偶數階主子式為正 即 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 正定矩陣具有以下一些簡單性質 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 解 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 4 1李亞普諾夫關于穩定性的定義 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 例4 6系統方程為試確定系統平衡狀態的穩定性 解 原點為平衡狀態 選取李氏函數 在任意x值上均可保持為零 則系統在原點處是李亞普諾夫意義下的穩定 但不是漸近穩定的 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 4 4線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 討論 選擇二次型函數為李氏函數 目的 將李氏第二法定理來分析線性定常系統的穩定性 負定 正定 由上一節討論的判據知道系統漸近穩定 故有以下判據 一 線性定常連續系統的穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 且標量函數就是系統的一個李氏函數 判據 線性連續定常系統 在平衡狀態處漸近穩定的充要條件是 給定一個正定對稱矩陣Q 存在一個正定實對稱矩陣P 使滿足 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 1 因為正定對稱矩陣Q的形式可任意給定 且最終判斷結果和Q的不同形式選擇無關 所以通常取 2 該定理闡述的條件 是充分且必要的 說明 3 如果除了在時有外 不恒等于零 則由上一節判據可知 Q可取做半正定 為計算簡單 此時Q可取作如下矩陣 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 應用定理判穩步驟 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 例 用李氏第二法 求使下列系統穩定的K值 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 狀態空間描述為 2 用李氏第二法判穩 令u 0 1 Q能不能取做半正定 2 計算使實對稱矩陣P為正定的k值范圍 由判據4得 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 注意 P為正定實對稱矩陣 解得 根據賽爾維斯特法則 如果P正定 則12 2k 0 且k 0所以系統穩定的k值范圍為0 k 6 現代控制理論 第4章李亞普諾夫穩定性分析 二 線性定常離散系統的穩定性分析 判據 線性定常離散系統的狀態方程為則系統在平衡點Xe 0處漸近穩定的充要條件是 對于任意給定的對稱正定矩陣Q 都存