學點一 學點二 學點三 學點四 學點五 1 一般地 設函數f x 的定義域為I 1 如果對于定義域I內某個區間D上的兩個自變量的值x1 x2 當x1 x2時 都有 那么就說函數f x 在區間D上是增函數 反映在圖象上 由左至右 圖象連續 2 如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1 x2 當x1 x2時 都有 那么就說函數f x 在區間D上是減函數 反映在圖象上 由左至右 圖象連續 2 如果函數y f x 在區間D上是 那么就說函數y f x 在這一區間上具有 嚴格的 單調性 區間D叫做y f x 的區間 任意f x1 f x2 上升 增函數或減函數 下降 f x1 f x2 單調 3 一般地 設函數y f x 的定義域為I 如果存在實數M滿足 1 對于 都有f x M 存在x0 I 使得 那么 稱M為函數y f x 的最大值 記為ymax M 2 對于任意的x I 都有f x M 使得f x0 M 那么 稱M是函數y f x 的最小值 記為ymin M 4 函數的最大 小 值反映在圖象上 是函數圖象的縱坐標 任意的x I f x0 M 最高 低 點 存在x0 I 學點一判定函數的單調性 分析 熟練掌握基本初等函數的圖象和單調性 有利于更好地掌握復雜的復合函數的單調性 評析 判定函數的單調性 可以從圖象上直觀看出 也可以利用函數本身的性質得出 下列函數中 在區間 0 上是增函數的是 A y x2 2x 1B y C yD y 解析 y x2 2x 1在 1 上遞增 而在 0 1 上遞減 y 在 0 上是減函數 y 在 0 1 上遞增 在 1 2 上遞減 只有y 在 1 上遞增 在 1 上遞增 從而在 0 上遞增 故應選C C 下列函數 在區間 0 2 上是增函數的是 A y B y 2x 1C y 1 2xD y 2x 1 2 B y 在 0 上是減函數 排除A y 2x 1在R上是增函數 故在 0 2 上也是增函數 y 1 2x在 0 上是減函數 排除C y 2x 1 2在 0 上是減函數 在 2 上是增函數 故應選B B 學點二單調性的判定與證明 分析 用函數單調性定義證明 求證 函數f x 1在區間 0 上是單調增函數 證明 對于區間 0 內的任意兩個值x1 x2 且x10 x1x2 0 因為f x2 f x1 1 1 所以f x2 f x1 0 即f x1 f x2 故f x 1在區間 0 上是單調增函數 評析 證明函數在某個區間上是增函數或減函數 用定義證明是最基本的方法 步驟是 設值 作差 變形 判斷符號 下結論 設x1 x2是 內的任意兩個實數 且x10 0 x2 x1 x2x1 0 即f x1 f x2 函數f x x3 1在 上是減函數 根據函數單調性的定義證明 函數f x x3 1在 上是減函數 學點三利用圖象求函數單調區間 分析 先將函數解析式化簡 變為熟悉的基本函數 作出函數f x 的圖象 并指出函數f x 的單調區間 解析 原函數可化為f x x 3 x 3 2x x 3 6 33 評析 1 利用函數圖象確定函數的單調區間 具體做法 先化簡函數式 然后再畫出它的草圖 最后根據函數定義域與草圖的位置 狀態 確定函數的單調區間 顯然函數的增區間為 x2 x3 x4 x5 減區間為 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 利用圖象求函數單調區間是最基本 最直觀的方法 只要作出圖象 求單調區間很容易 如y f x 圖象如下圖所示 求函數y x2 2 x 3的單調區間 如圖所示 在 1 0 1 上 函數是增函數 在 1 0 1 上 函數是減函數 學點四利用單調性求變量范圍 一 在具體函數中利用單調性求變量范圍 1 已知f x x2 2 1 a x 2在 4 上是減函數 求實數a的取值范圍 2 已知f x x3 ax在 0 1 上是增函數 求實數a的取值范圍 分析 二次函數是我們最熟悉的函數 只要遇到二次函數就畫圖象 也可以不將圖象畫出 而在腦海中出現 就會給我們研究問題帶來方便 對于不熟悉的函數 可以利用單調函數的定義去研究與單調性有關的問題 解析 1 要使f x 在 4 上是減函數 由二次函數的圖象可知 只要對稱軸x即可 解得a 5 2 設00 f x2 f x1 ax2 ax1 a x2 x1 x1 x2 x1x2 a 0 f x 在 0 1 上是增函數 又 x2 x1 0 x1x2 a x1x2 又 0 x1 x2 1 x1x2 3 a 3 評析 1 二次函數問題要注意三點 一是開口方向 二是對稱軸 三是頂點坐標 2 有關單調性的問題 當我們感覺太陌生 不熟悉 走投無路時 回到單調函數的定義去 的方法 往往給我們帶來 柳暗花明又一村 的感覺 若函數f x ax2 3a 1 x a2在 1 上是增函數 求實數a的取值范圍 1 當a 0時 f x x在 1 上是增函數 2 當a 0時 要使f x 在 1 上是增函數 a 0 1 3 當a 0時 由二次函數圖象可知f x 不能在 1 上是增函數 綜上所述 a的取值范圍為 0 1 二 在抽象函數中利用單調性求變量范圍設f x 是定義在 0 內的增函數 且f xy f x f y 若f 3 1 且f a f a 1 2 求a的取值范圍 分析 從兩點考慮 一是常數2與f 3 是什么關系 可由f xy f x f y 找出 二是在不等式f a f a 1 2中怎樣 脫 去 f 解析 f xy f x f y 且f 3 1 f 9 f 3 3 f 3 f 3 2f 3 2 又 f a f a 1 2 f a f a 1 f 9 即f a f 9 a 1 評析 1 抽象函數不等式的一般解答方法是利用單調性 脫號 2 脫號 時莫忘定義域對自變量的限制 由單調函數的概念得解得1 a a的取值范圍是1 a 已知函數y f x 是定義在 2 2 上的減函數 且具有如下性質 當x 2 2 時 f x f x 若f m f 2m 1 0 求實數m的取值范圍 由f m f 2m 1 0得f m f 2m 1 f x f x f m f 1 2m 由f x 是 2 2 上的減函數可得解得 m 所求實數m的取值范圍是 m 解析 1 當a 時 f x x 2 任取x2 x1 1 則f x2 f x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 x1 1 x2 x1 0 x1x2 1 1 學點五利用單調性研究函數最值 分析 利用函數單調性求函數最值 已知函數f x x 1 1 當a 時 求函數f x 的最小值 2 若對任意x 1 f x 0恒成立 試求實數a的取值范圍 評析 函數f x 在區間 a b a b 上是增函數 則函數有最大值f b 和最小值f a 1 0 f x2 f x1 0 f x 在區間 1 上為增函數 f x 在區間 1 上的最小值為f 1 2 在區間 1 上 f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 設y x2 2x a x 1 則y x2 2x a x 1 2 a 1遞增 當x 1時 ymin 3 a 于是 當且僅當ymin 3 a 0時 函數f x 0恒成立 故a 3 求函數f x x2 2ax 1在區間 0 2 上的最值 由f x x a 2 a2 1 因為x 0 2 1 當0 a 2時 f x min f a a2 1 當0 a 1時 f x max f 2 22 4a 1 3 4a 當12時 f x min f 2 3 4a f x max f 0 1 1 函數的單調性是對定義域內的某個區間而言 有的函數在整個定義域內具有單調性 如一次函數y 2x 6等 有的函數分別在定義域內的某些區間上單調 但在整個定義域上卻不單調 如反比例函數y 等 所以函數f x 在給定區間上的單調性 反映了函數f x 在區間上函數值的變化趨勢 是函數的局部性質 2 函數在某一點處的單調性無意義 書寫函數的單調區間時 區間端點的開或閉沒有嚴格規定 習慣上若函數在區間端點處有定義 則寫成閉區間 當然寫成開區間也可 若函數在區間端點處無定義 則必須寫成開區間 3 函數定義中的x1 x2應深刻理解 一是任意性 即 任意取x1 x2 任意 兩個字絕不能丟掉 不能為某兩個特殊值 二是x1 x2有大小 通常規定x2 x1 0 三是同屬于一個單調區間 1 在函數單調性中應注意什么問題 2 證明函數單調性的方法和步驟是什么 證明函數單調性只能用定義來證明 不能用復合函數單調性證明 證明函數單調性的步驟 第一步 任意取值x1 x2 在某單調區間I上 且x1 x2 第二步 變形 通過通分 因式分解 配方 有理化等手段 將等式f x2 f x1 的右邊變形 第三步 定號 判斷f x2 f x1 的符號 第四步 下結論 4 若函數f x 在其定義域內的兩個區間A B上都是增 減 函數 一般不能簡單認為f x 在A B上是增 減 函數 如f x 在 0 上是減函數 在 0 上也是減函數 但不能說它在定義域 0 0 上是減函數 5 函數單調性的幾何意義 反映在圖象上 若f x 在區間I上為增 減 函數 則圖象在I上的對應部分從左向右是上升 下降 的 3 函數單調性的判斷方法有哪些 1 定義法 前面已作過敘述 2 直接法 運用已知的結論 直接得到函數的單調性 如一次函數 二次函數 反比例函數的單調性可直接說出 了解以下一些結論 對于判斷函數單調性有一定好處 函數y f x 與y f x 的單調性相反 當f x 0時 函數y 1f x 與y f x 的單調性相反 對于f x 0也成立 在公共區域內 兩增函數的和仍為增函數 增函數減去一個減函數所得函數為增函數 3 圖象法 通過函數圖象直接判斷 4 求函數最值的常用方法有哪些 1 配方法 即將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和 然后根據變量的取值范圍確定函數的最值 2 換元法 通過變量代換轉化為求二次函數在某區間上的最值 3 數形結合法 利用函數圖象或幾何方法求最值 4 函數單調性法 1 函數的單調區間可以是整個定義域 也可以是定義域的一部分 對于具體函數而言 可能有單調區間 也可能無單調區間 不是所有的函數都具有單調性 2 利用函數的圖象判斷函數的單調區間是一種比較直觀的方法 就是由函數y f x 的圖象 從左向右看 在定義域 某個區間 上是上升的 還是下降的 若圖象是上升的 就可以說它在這個區間上是增函數 若圖象是下降的 則可以判斷它在這個區間上是減函數 也就是說 要判斷函數在定義域 某個區間 上的單調性 只要能作出函數的圖象 就會一目了然 3 對于最大值定義的理解 1 M首先是一個函數值 它是值域的一個元素 如f x x2 x R 的最大值為0 有f 0 0 注意對定義第二條中 存在 一詞的理解 2 對于定義域內全部元素 都有f x M成立 任意 是說對每一個值都必須滿足不等式 3 這兩條缺一不可 若只有定義中的第一條 M不是最大值 如f x x2 x R 對任意x R 都有f x 1成立 但1不是最大值 否則大于零的任意實數都是最大值了 最大值的核心就是不等式f x M 故不能只有定義中的第二條 4 若將定義中 1 中的 f x M 改為 f x M 則需將最大值定義中的 最大值 改為 最小值 這就是函數f